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1、D题 会议筹备61008211 霍雨翀61008212 陆晨宇61008217 成康一、摘要本文讨论的是如何在题目给定的条件下对不同组合的备选宾馆进行筛选，从而确定会议筹备（包括今年与会人员的预测、各类房间的预定数量、宾馆的选择及人员的入住安排、会议室的预定、客车的预定与安排五个方面）的最佳方案。本文根据题目要求提炼得到选择方案应考虑的三个要点：所选宾馆数少，花费低，宾馆之间距离小即所选的宾馆相对集中本文首先根据以往四届的会议回执、与会情况以及本届会议回执的代表人数，采用线性回归的方法利用SPSS13.0建立模型，预测出本届会议的实到人数。由于用回归方法求得的预测值往往比实际值偏小，如不加以修
2、正，会产生较大的偏差。因此我们接着又用概率统计模型，对所求结果加以修正，在95%置信度的情况下，求得本届预测实到会议人数为656人。接着，我们再根据本届会议的代表回执中有关住房要求的信息，根据回执中的比例，得出本届实到与会人员的住房要求的信息。在此基础上，利用LINGO编程得到完全满足本届会议代表住房要求的数量最少的宾馆组合：。其次，按照回执中各种要求的不同权重来确定实际的订房人数从而确定我们应预定的各类房间数。选择结果是：双人间1、双人间2、双人间3、单人间1、单人间2、单人间3预定的数目分别为：99间、69间、22间、142间、88间、54间。具体在各个宾馆的预定方案可以参见正文部分的表7
3、. 我们考虑到会有很小的一部分概率会议实到人数比预测人数大。如果在预订宾馆时不留有一定的裕度的话，则会造成代表的不满及大会名誉成本的损失。但是如果预订的客房太多而代表不来的话，组办方又要承受空方费的损失。为此，我们定义了描述组办方多定套房损失以及代表不满意造成的名誉成本损失之和“损失函数”，并通过MATLAB数值求解得出在不同实际情况下的最佳客房预定的“裕度空间”。然后我们根据节约经济的原则，在假设各分组会议人数相等的前提下，首先分别对会议室和客车选择方案建立了线性规划模型，并利用Lingo9.0编程对其进行求解，确立了每组备选方案中最佳会议室及客车租借的方案。我们分析了将会议室和客车和客车分
4、开求解的不足之处，继而提出了该问题的第二个模型，将会议室选择和租借车辆的总费用进行最优化。在求解过程中，我们从节约费用和实际的角度出发，规定300米以内不安排车辆接送，并规定在选定会议室之后，由于代表并不熟悉会议室的具体位置，所以采用针对每组会议安排客车接送代表的方式。即每组会议有特定的车辆安排，开会前将该组会议住在需要接送宾馆的所有代表接至会场，会后将代表分别送回宾馆。选择结果：会议室租借：挑选号宾馆中150人的会议室两间；号宾馆中180人、130人的会议室各一间；号宾馆中140人的会议室两间。客车租借：共选择45人的客车两辆，33人的客车4辆二、问题的重述某会议服务公司负责承办一届全国性会
5、议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。筹备组要在10家宾馆中选定几间来为代表预定房间。为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。 备选宾馆的名称用代号至表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。要根据附表2与附表3从以往几届会议情况来预订宾馆客房。而预定的客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预
6、订客房数量不足，则将引起代表的不满。会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。三、模型假设（1）6个分组会议同时进行.（2）每个代表参加各个会议的概率均为1/6.（3）客车接送正常，不会出现意外情况而需额外再增加费用.（4）客车可以不按现实的交通规则行走.（5）所有代表
7、均是在同一天入住宾馆，并在所有会议结束的第二天退房离开.（6）实际与会人员的住宿要求可按回执代表住宿要求的比例计算.（7）所有会议为平均分组会议，即上午和下午的六组会议规模相同.（8）所有代表上午、下午各参加一组会议.（9）所有寄回回执的代表最终是否参加会议以及没有寄回执的代表最终是否参加会议是相互独立的.（10）代表的住房要求只能从他们的回执中获取（11）在300米以内不安排车辆接送，并规定一辆车只能从某一宾馆送到某一特定会议室，中途不停车。 四、符号说明 表示宾馆i是否被选中 表示会议室i是否被选中 会议室租借总价格 租接送车的总价格 表示从会议室i到宾馆j是否需要接送 从宾馆j到会议室i
8、开会的人数 第i个会议室价格 到会议室i的座位数是45、36、33的客车租用的数量 45、36、33座客车的租金五、问题分析根据题意，我们首先需建立合理模型，预测本届会议的实到人数及住房要求。在预定宾馆客房方面，代表的满意程度与会议筹备组预定的房间是否能满足其要求有直接关系，由此可选用合理方法从10家宾馆中选择出一定数量的宾馆的组合。在确定备选宾馆的选择方案之后，由于会议规模及参加各组会议的代表人员的不确定性，需按照代表满意，经济，方便的原则选择合适的会议室和客车租用方案，从而最终得到最优化的结果。首先，我们要解决的是确定人数问题。因为如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空
9、房费，而若出现预订客房数量不足，又将引起代表的不满，所以人数的确定应该综合往年的情况来考虑，预定的房间数量也要比实际的略多一点。接着，我们再根据回执中住房要求信息及权重（权重=）来确定要求各类不同规格的房间的具体人数。人数与房间数确定后该考虑的就是宾馆的确定了。其中，所选宾馆应尽量相对集中，因为客房房费由与会代表自付，所以关于这方面的经济花费问题我们可以忽略不考虑。为了兼顾方便的原则，会议室的选定一定是在我们已选定的宾馆中选择，这样才能减少因开会而导致的与会代表走动的数量。由于宾馆会议室的半天的费用和包车的费用相近，所以既可以先确定会议室，再安排车辆，也可以把会议室租赁和包车的费用结合起来考虑
10、并进行优化。下面将就两种方法分别讨论。客车的选定是根据代表所住的宾馆到他要去开会所在宾馆的距离和人数的多少来预定安排的。事实上，在一定的距离之内，代表是可以步行与会的，我们规定：在300米以内，不安排车辆接送。以节省租车费用。并规定在选定会议室之后，由于代表并不熟悉会议室的具体位置，所以采用针对每组会议安排客车接送代表的方式。即每组会议有特定的车辆安排，开会前将该组会议住在需要接送宾馆的所有代表接至会场，会后将代表分别送回宾馆。六、模型的建立与求解问题一：本届会议与会代表数量的预测模型一：根据以往四届会议回执和与会情况，可以计算得到以往四届会议的实到人数（实到人数=发来回执的代表数量-发来回执
11、但未与会的代表数量+未发回执而与会的代表数量）。将实到人数作为因变量y，发来回执的代表人数作为自变量x，作散点图如下。 图一 以往历届会议实到人数与提交回执人数散点图图1中散点位置提示两变量之间可能存在线性关系，故对其线性拟合。线性回归方程：相关系数R2=0.999，说明线性拟合效果很好。 将本届发来回执代表数量作为自变量x进行预测，得到本届实到预测人数为638人。但事实上，预测本届会议的与会代表数量时，用往届实际到会人数对发来回执人数的回归模型，根据统计学的只是，若用线性回归，结果通常偏低，如不加调整，会有较大的偏差。于是我们提出下面的模型二。模型二：对题给出的前几届会议代表回执和与会情况数
12、据进行统计发现，发来回执但未与会的代表比例稳定，为30%，未发回执而与会的代表比例约为17.6%。与会代表比例、均值和方差见表1。可以认为，发来回执未与会的代表比例和未发回执而与会的代表比例服从正态分布，并取置信度为95%，则应取置信区间下分位点作为发来回执未与会的代表预测数量，取置信区间上分位点作为未发回执而与会的代表预测数量。其计算公式为：表1 历届与会代表比例、均值和方差 选项第一届（比例）第二届（比例）第三届（比例）第四届（比例）均值方差发来回执但未与会的代表0.28250.32300.29660.29960.30040.0145未发回执而与会的代表0.18100.19380.1838
13、0.14630.17620.0179将数据代入上式计算得到与会代表总数为655.25人，向上取整数为656 人。同时对方差较大的未发回执而与会的代表比例进行正态分布的卡方检验（见表2 ），以证实其假设的合理性。 表2 未发回执而与会的代表比例的卡方检验分段点F 值概率理论频数x2卡方值临界值0.160.18300.18300.73180.09830.18463.84150.190.77890.59592.38370.06180.220.99270.21380.85520.0245从卡方检验的检验的结果来看，模型二求得的结果是科学，合理的。因此，把模型一的结果修正为：本届实到预测人数为656人。
14、 问题二：确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量1.确定各类客房预定的数量表3 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）合住1合住2合住3独住1独住2独住3男154104321076841女784817592819将本届实到预测人数（656人）按表3中的比例分配得：表4：本次会议代表对于住房要求的预测信息（单位：人）合住1合住2合住3独住1独住2独住3男1289628926237女704216502617注：表4中数据的得出采用了四舍五入的方法，以便使总人数接近预测值。我们根据表4中的数据确定了各类客房（合住1、合住2、合住3、独住1、独住2、独住3）的需求量，得表5，如下：表5
15、：代表要求的各种规格的住房需求总数合住1合住2合住3独住1独住2独住3房间需求量99692214288542.确定在哪几个宾馆预订客房目标：a.选择宾馆数量少 b.选择的宾馆之间的距离短 在到场人员数量估算好的前提下，首先我们只考虑目标a选择宾馆数量少，来确定选择的宾馆书数序号。采用0-1规划，设= （i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）考虑到如果单人间的数量不够，就可以让一个代表单独住一个双人房，因此，我们确定如下的规划步骤： Step1：选取某一个宾馆的组合，先检验其各价位双人间的总数是否满足代表们的要求。Step2：在检验该组宾馆的各价位的单人间与双人间的数量总和是否满足代表们
16、的需求。Step3:求解上述规划模型，得到一组或是多组的最优解，在这机组最优解里面挑选宾馆聚集度最高的一组（为后面节省预订客车费用做铺垫）。作为最终的决策。具体表达式如下：规划目标：约束条件：用LINGO求解上述模型，具体代码及软件求解结果参见附录1。结果如下：被选定的宾馆序号为、。3.确定各价位，各种类客房的预定方案下面以满足代表住房要求作为第一指标进行分配。Step1：将宾馆的各种房间根据价格和单双间分为六种规格，制表6，并将房间需求量加入表6中。表6 10家宾馆的客房情况和与会代表的房间需求量宾馆双人间1双人间2双人间3单人间1单人间2单人间30503003020856500005024
17、02700504500007040000004030403005000400304040004500060006000010000房间需求量9969221428854注：双人间13和单人间13分别对应合住1合住3和独住1独住3Step2：根据选定的宾馆和预测的不同价位要求的代表数量来分配宾馆房间，分配情况如表7所示：（代表应尽量集中在宾馆、中，因为这两个宾馆距离较近，可以节省接送费用）表7 选中宾馆的房间分配宾馆序号住房类别合住185间（170人）14间（28人）独住166间（66人）76间（76人）合住265间（129人）4间（8人）独住280间（80人）8间（8人）合住322间（44人）独
18、住328间（28人）26间（26人）总计人数152人299人82人130人问题三：对问题二的进一步讨论代表满意度事实上，虽然我们已经在问题一中用线性回归法预测了本届会议与会代表数量，并用概率统计的方法进行了修正，从而较为精确、可信的求出了本届会议与会代表的预测数量。但是，仍有很小的一部分概率会有如下情况发生：即实际与会代表的数量比预测的大，从而使预定的房间数目不够，造成代表的不满意。解决这一问题的办法是，适当的多定一些客房。由于造成与会代表的数量比预测大的原因大部分是未提交回执而实际到来的代表数目超过预期，因此对这部分代表组委会也无从事先预知他们对住宿的要求，因此可以假设住宿条件对这部分代表的
19、满意度影响不大。对于多预定的那部分套房，由于组织方各种房间都会预订，假设每种套房预定的数量一样多（即平均一间套房住1.5个人），由附表中的数据可以看出，平均每种客房每间大约180元，为方便起见，把这作为多定一间套房的平均成本。定义描述组办方多定套房损失以及代表不满意造成的名誉成本损失之和“损失函数” (其中，d是多预订客房的数量，a是未能安排到客房的代表数量，a越大，组办方名誉成本损失越大。)设K是实际与会代表的数量比预测值多的量，由假设(9),K服从二项分布。（m是与会代表可能数量的上限，p是代表未寄回执而来的概率。）而且：由以上表达式即可求出 S的期望为（1）要求出d，使最小。(1)式无法
20、解析的求解。我们设定几组数据，用MATLAB作数值计算，得如下几点结论：1） 对于所取的m，p，k，都是随着d先减小，再增大，在最小值附近变化很小。所以应该参考的最小值，给定约束条件可以确定的m，确定合适的.2） 综合考虑经济效益和社会声誉，对于m=700，若p取0.05，则d可取5，若p取0.01，则d可取3.问题四：宾馆会议室的选择以及租车方案的确定模型三（1）会议室的安排在平均分组会议的前提下，依据假设（2），可得每组会议的人数为110左右。会议室应尽量选在代表居住的宾馆内。在宾馆中找到容量大于等于110人的会议室。并根据容量进行排序得到。表8 号宾馆的会议室情况分组会议所选间数规模间数
21、价格（半天）宾馆代号200人11500元1200人11200元3200人11000元7180人11500元2150人21200元1150人11000元3140人2 800元7130人21000元2根据表8可以得到，对于宾馆组合，其会议室费用（半天）的函数可以分别表示为：其中，在（0，1）中取值（表示不选择此种规格会议室或只选择一间）;在（0，1，2）中取值（表示不选择此种规格会议室，选择一间或选择两间）同时需要满足运用Lingo编程来进行最优化选择以后，得到结果：（见附录2）对于的组合 ：，此时其余自变量为0；（2）针对会议室的客车安排在选定会议室之后，由于代表并不熟悉会议室的具体位置，所以采
22、用针对每组会议安排客车接送代表的方式，即每组会议有特定的车辆安排，开会前将所有代表接至会场，会后将代表分别送回宾馆。通过上述安排可知，两种组合的客车安排相同，故只需进行客车组合的最优化安排。备选客车情况如表9所示：表9 备选客车情况座位数453633价格（半天）800700600单个会议所选数量可得费用（半天）的函数为：限制条件为：根据Lingo的最优化选择，得到结果：（见附录3）,此时。全天费用总计为：(单位：元)Sum1=min Y1 2+min M 6 2=35200（3）模型三的评价这种建模方法把会议室和租车分开来求解，虽然也能求得较为满意的结果，但是租车的费用与租会议室的费用相近，如
23、果先只考虑会议室费用而忽略会议室地址对租车费用的影响的话，可能会对全局的最优解产生影响。同时如果距离较近，我们可以不安排车辆接送，以节省费用。因此我们提出了如下的改进模型。模型四综合考虑会议室选址对开会费用以及租车费用的影响。规定：300米以内不安排车辆接送。会议室应尽量选在代表居住的宾馆内。宾馆中容量大于等于110人的会议室有11间，将它们分别设为X1、X2X11具体如下：会议室规模价格（半天）宾馆代号200人1500元1150人1200元1150人1200元1180人1500元2130人1000元2130人1000元2200人1200元3150人1000元3140人 800元7140人 8
24、00元7200人1000元7这样，依据300米以内不安排车辆接送的原则，并规定在选定会议室之后，由于代表并不熟悉会议室的具体位置，所以采用针对每组会议安排客车接送代表的方式，即每组会议有特定的车辆安排，开会前将该组会议住在需要接送宾馆的所有代表接至会场，会后将代表分别送回宾馆。可得下表： 会议室宾馆X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X1100000011000000000111111111110011100011111000注：表中，0表示不需用车接送，1表示需要用车接送，设为，表示从宾馆j到会议室i是否需要车子接送。同时，根据问题二求解的结果，可得住在每个宾馆中的代表占代表总人数的百
25、分比,如下表所示：表10 个宾馆居住代表占总人数的比例宾馆居住人数(比例)0.230.450.120.20由于我们事先不知道多少代表参加哪个分组会议,因此可以按照平均的、随机的方式处理。即：1）.在每个会议室的容量至少为与会总人数的1/6；2）.在一个会议室里开会的代表按照表10中的比例分布在各个宾馆中。继而我们提出如下规划模型：设=（i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，11）设是第i个会议室价格，到会议室i的座位数是45、36、33的客车租用的数量分别是，它们的费用分别是.设从宾馆i到会议室j的人数分别为： 则可得：规划目标：约束条件：用LINGO软件求解上述规划模型，代码和结果参
26、见附录4。结果显示，选择会议室：，即挑选号宾馆中150人的会议室两间；号宾馆中180人、130人的会议室各一间；号宾馆中140人的会议室两间。一共要派45座的车2辆，33座的车4辆。一天的总费用一共是20000元。模型的评价与改进模型四将会议室选择和租借车辆的总费用进行最优化，比较科学，全面的顾及了会议室的选择、租车的选择之间的相互影响关系，比较有效地克服了模型三的缺点。但是，宾馆的选择、各宾馆居住代表人数的分配对会议室的选择，租车的选择也是有影响的。最精确的方法应该是在确定了所选宾馆以后，以每个宾馆居住人数，会议室的选择地址为求解变量，以各宾馆房间数，会议室数量等为约束田间进行求解。但这样极
27、为麻烦，求解量过于巨大。所以相比较之下，在求得所选宾馆之后，凭经验分配各宾馆居住代表的数量还是较为可行的。由于LINGO软件在求解最优解的过程中只显示所有最优解中的一组，这就给我们讨论宾馆的聚集度的问题上带来一定的困难。聚集度可以按如下方式定义：宾馆聚集度：J=1/S（S为将组合内所有宾馆都包围在内的最小面积的圆的面积，如下图所示）。为克服这一问题，我们可以在MATLAB中编程求解此最优化问题。事实上，由于LINGO本身在求解最优化问题时，内部的算法还是较为单一的，并不总是能保证求得的是最优解。可以在MATALAB中用遗传算法对这一优化问题进行尝试，并与LINGO求解的结果进行比较。 图 宾馆
28、聚集度的定义参考文献1杨启帆，数学建模，北京：高等教育出版社，2005年2张文彤，世界优秀统计工具spss11.0统计分析教程（高级篇），北京：北京希望电子出版社，2002年6月3杨启帆，何勇，谈之奕。数学建模竞赛。浙江大学出版社。2006年5月附录附录1model:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10;85*x2+50*x3+50*x4+70*x5+50*x7+40*x8=99;50*x1+65*x2+24*x3+45*x4+40*x5+40*x6+40*x8=69;30*x1+30*x6+60*x9+100*x10=22;85*x2+77*x3+50*x4+
29、70*x5+40*x6+90*x7+40*x8=241;80*x1+65*x2+24*x3+45*x4+40*x5+70*x6+85*x8=157;50*x1+30*x6+30*x7+120*x9+100*x10=76;bin(x1);bin(x2);bin(x3);bin(x4);bin(x5);bin(x6);bin(x7);bin(x8);bin(x9);bin(x10);求解结果Global optimal solution found. Objective value: 4.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations
30、: 0 Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 1.000000 X2 1.000000 1.000000 X3 1.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 1.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000 X9 0.000000 1.000000 X10 0.000000 1.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4.000000 -1.000000 2 86
31、.00000 0.000000 3 70.00000 0.000000 4 8.000000 0.000000 5 11.00000 0.000000 6 12.00000 0.000000 7 4.000000 0.000000附录2model:min=1500*X1+1200*X2+1000*X3+1500*X4+1200*X6+1000*X7+800*X9+1000*X10;X1+X2+X3+X4+X6+X7+X9+X10=6;x11.1;x21.1;x31.1;x41.1;X62.1;X72.1;X92.1;X10=106;gin(a);gin(b);gin(c);end求解结果Glo
32、bal optimal solution found. Objective value: 2000.000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost A 1.000000 800.0000 B 0.000000 700.0000 C 2.000000 600.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 2000.000 -1.000000 2 5.000000 0.000000附录4代码：model:sets:meetingroom/m1.m1
33、1/:price,select,peoplenumber;bus/x1.x3/:money,number;endsetsmin=sum(meetingroom:price*select)+sum(bus:money*number);number(1)*45+number(2)*36+number(3)*33=sum(meetingroom:select*peoplenumber); !number(1),number(2),number(3);sum(meetingroom:select)=6;for(meetingroom:bin(select);for(bus:gin(number);sum(bus:number)=6;data:price=1500 1200 1200 1000 1000 1500 1200 1000 800 800 1000;people
