化工过程分析与模拟 Ippt课件.ppt

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1、化工过程模拟培训,2,主要内容,1. 过程系统工程简介2. 化工过程的数学模型与数学模拟3. 化工过程模拟的基本方法4. 化工流程动态模拟5. 稳态模拟实例及化工流程模拟软件简介,3,过程系统工程：是在系统工程、化学工程、过程控制、计算数学、信息技术等学科的边缘上产生的一门综合性学科，它以处理物料能量信息流的过程系统为研究对象。系统工程的形成与发展系统工程学科，产生于20世纪的40年代，在60年代形成了体系。1981年，在日本京都召开第一届国际过程系统工程学术会议，标志这一学科的正式形成。1991年，中国系统工程学会过程系统工程专业委员会正式成立。,1. 过程系统工程简介,4,现代化工生产的发

2、展要求系统工程方法的引入：（1）过程工业向规模化、大型化、综合化方向发展。（2）企业发展的综合化、多目标化。（3）能源紧张、自然资源短缺。（4）缩短开发到工业实践的时间。（5）过程工业信息化的要求。,1. 过程系统工程简介,5,1. 过程系统工程简介,企业信息化的发展进程,6,过程系统模拟过程系统工程研究的基础和核心工具,过程系统分析（模拟）：对于系统结构确定的现有过程系统进行分析，即建立系统的数学模型，对整个系统进行数学模拟，预测在不同条件下系统的特性和行为，发现其薄弱环节予以改进。,过程系统综合：按规定的系统特性，寻求所需的系统结构及其各子系统的性能，并使系统按规定的目标进行优化组合。,过

3、程系统优化：参数优化和结构优化。参数优化是指，在一已确定的系统流程中对其中的操作参数进行优选，以满足某些指标达到最优；如果改变过程系统中的设备类型或相互间的联结，以优化过程系统，称为结构优化。,7,过程模拟,设计,操作,管理,计划与调度要生产什么，要生产多少，何时要生产，分销何处？,供应链最优化从原始原料采购到管理,过程模型预测工厂如何表现,先进过程控制多重过程与设备限制,实时最优化决定与改变工厂最佳操作状况,操作训练发展标准化工厂操作技术,过程信息管理监控工厂表现,8,过程模拟在节能中的应用,以节能为目标的装置操作模拟优化装置（设备）模拟换热网络的模拟流程模拟,9,2. 化工过程的数学模型与

4、数学模拟,一、化工过程的数学模型模型：用物理或数学方法对真实过程中发生的现象进行描述。化工过程模型化：在现有理论、实验研究、工程实践的基础上，通过分析研究及科学、合理简化，抽象出能够深刻、正确反映过程系统本质的数学描述，即数学方程组。,建立数学模型：找到尽可能简单的数学描述方法，使之能足够精确地描述所研究的过程特性。,10,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,数学模型的分类：稳态模型：描述过程的状态不随时间变化的模型，一般为代数方程组。动态模型：描述过程的状态为时间的函数，即反映过程在外部干扰下引起的不稳定过程或开车、停车过程，或某些生产函数操作过程时间 t 是主要的自变量，一般为常微分方程组

5、。集中参数模型：描述过程的参数不随空间位置变化，而被看作在整个系统中是均一的。模型中各种参数的位置与空间位置无关。一般为代数或常微分方程组。分布参数模型：描述过程的状态常数随空间位置变化，即过程参数变化与空间位置有关。一般为常微分或偏微分方程组。,11,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,机理模型：在对过程本质进行理论分析基础上得到的模型。概念清晰，物理意义明确，但往往很难做到。经验模型（黑箱模型）：靠回归实验或生产数据得到的模型。只反映输出与输入的关系，不能反映过程本质。适用范围有局限性。由大量数据中归纳出有用的经验模型的方法形成了一个新的热点分支，称为“数据挖掘与知识获取（data min

6、ing and knowledge discovery）”半经验半理论模型：介于以上二者之间，既有一定的理论基础（模型方程形式），又有实验数据支持（模型参数的取值）。是最具有实际意义，最常用的模型。,12,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,化工过程的数学模型：把与过程有关的数量关系归纳成为反映过程机理与特性的数学方程组。主要包括三个部分： 单元模型：描述各种化工单元操作的模型； 过程结构模型：表达各单元在系统中的排列结构； （单纯对系统工况进行模拟的模拟型问题） 表述设计要求部分：流程结构已知条件下的设计计算，求取某些满足设计要求下的参数或变量。 （流程结构已知的设计型问题）,13,2. 化

7、工过程的数学模型与数学模拟,数学模型的组成：常数数值已确定的量，在运算过程中一直保持不变。参数常数的一种，但每次计算后可以改变数值，用于再次计算。变量外部变量系统输入变量，控制变量。内部变量系统给定输入变量后出现的变量，不可控制变量。状态变量系统内部在某一时间t所处状态的一组变量。函数关系描述组成模型的各种常数、参数、变量之间的相互关系，通过函数关系可建立所需数学模型。,14,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,数学模型的包含的内容：物料衡算和能量衡算方程。考虑物流运动的流型，表示物流的温度、组成以及有关的一些性质，例如密度、粘度、热容等的分布；物流局部微元的“基本”过程方程，包括传质、传热过

8、程和化学反应过程的描述；各种过程参数间理论的、半经验的或纯经验的关联式，例如传质系数和物流速度的关联式，物流的热容及其组成的关联式等；对过程参数的约束。模拟某些过程时，必需注意客观存在的对某些参数变化范围的约束。,15,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,模型的简化：科学的简化 能更深刻地反映事物的本质 解决复杂过程与有限手段和方法的矛盾简化的要求： 主要矛盾、重要变量得以反映 满足过程模拟的需要或其他目的 适应当前的实验条件和数学描述 适应现有计算机的处理能力,16,二、稳态过程单元操作模型,稳态过程（单元操作）:,特征：1、过程单元边界以内质量累积流量为零； 2、所有各物流质量流量都是恒定

9、的。,17,过程系统分析与模拟的主要研究对象：性能模型,即：从已知输入变量计算输出变量 X0 = G XI 表征输入输出的过渡状态的算子， 用适宜的函数来表达,性能模型：主要包括两大类物理器械模型 化学器械模型,18,19,1. 物流混合器（MIN）（绝热混合，不发生相变）,已知：FI，TI，XI；FJ，TJ，XJ求：FK，TK，XK1) 总物料平衡式 FK FIFJ2) 组分平衡式 FKxKiFIxIiFJxJi (i=1, 2, , c 表示混合物的各个组分) xKi(FIxIiFJxJi)/FK,求FK,求xKi (c-1个方程，c-1个变量),20,3) 热量平衡方程,两股物流温度不同

10、 物流 I 吸热（放热）QIQJ 物流 J 放热（吸热）不妨设 TJTI Cpi组分定压摩尔比热 T 绝对温度,求TK（非线性方程）,21,2. 流股分割器（SPL）,将一股物流分成组分完全相同的N个分流,分流 i ，分割率（N-1个）,已知：FI，TI，XI，分割率求：FJ，TJ，XJ ； FK，TK，XK,22,两股输出物流的流股分割器数学模型：,1) 总物料平衡式 FJ FI FK（1 ） FI2) 组分平衡式 xJixIi xKixIi (i=1, 2, , c1)3) 温度平衡式（热量平衡无吸热、散热，温度不变） TJTI TKTI4) 压力平衡式（可以不考虑） PJPI PKPI,

11、23,3. 等温闪蒸,闪蒸器：在一定压力和由热交换器维持的一定温度下。,已知：F，zi，P，T，Ki，求： L，V，xi ，yi,1) 总物料平衡式： FLV2) 组分平衡式： FziLxiVyi (i1，C-1)3) 归一化方程：4) 相平衡方程： yiKixi (i1，C),24,整理与计算：,通过整理上述2C2个方程，可得：其中：V/F 为汽化率。采用Rachford-Rice建议，利用： 进行收敛计算代入，得： 单调函数，近似线性，没有极值，初值不影响收敛，V/F 在0，1变化。,25,迭代求解：,迭代方法：牛顿拉尔森法，Wegstein法等,26,例：4组分混合物,27,相态判断：,

12、在流程模拟中，当物流的温度、压力或组成发生变化时，需要判断物流的相态汽相、液相、汽液两相。 判断物流相态 作一次等温闪蒸计算 若 f(0)0 且 f(1)0，过热蒸汽,28,4. 绝热闪蒸（无换热）,在一定压力PF，温度TF下的流体，通过阀门绝热膨胀到较低的压力PVPLP，流体部分液化（或汽化），在闪蒸器中发生分相作用。 由于热量未得到补充，在膨胀前后的流体温度（T）会发生变化。已知：HF，PF，F，zi，P(=PV=PL)，Ki，求： L，V，xi ，yi，T,29,数学模型：,首先得到：加上：5) 热力学平衡方程整理得到：,30,迭代计算：,（1）如果进料中组分的沸点相差很小“窄沸点体系”

13、， 方程 f (V/F, T)=0，对K敏感。（2）如果进料中组分的沸点相差很大“宽沸点体系”， Ki距离远，方程 f(V/F, T)=0，对V/F敏感。,31,五、换热（管壳式换热器模拟）,单管程，单壳程，流体无相变，逆流换热,已知：Fa，Fb，T1，T2，总面积A0，传热系数U，流体比热Ca，Cb求：T3，T4,假设： 稳态（给定各点的条件不随时间而变） 均匀（任一横截面上每种流体的温度、速度是均匀的） 沿轴向忽略热传导 忽略管壁温差，忽略周围热损失,32,取一个微元段dz,dz=dA/A0边界条件：A0，z0；AA0，z1对微元作热平衡：dQUdA(Ta-Tb)UA0dz(Ta-Tb)微

14、元段流体温度变化：dTadQ/FaCa，dTbdQ/FbCb边界条件：z0，Q(0)0，Ta(0)T1；z1，Tb(1)T2,33,继续：,设：传热单元数（无因次） NaUA0/FaCa，NbUA0/FbCb 流动热容比：rFaCa/FbCb整理得到：解此方程组得到：,34,继续：,换热器内传递的总热量：QEIFaCa(T1T2)流体比热：Ca，Cb是T的函数 若：温度变化不大，Ca，Cb可假设为常数 若：温度变化比较大，则 单组分比热：CpabTcT2dT3 多组分气体比热：多管程换热器：建立相应的数学模型求解，只是复杂一些。,35,6. 化学反应器数学模型,反应器：进行化学反应的过程单元，

15、化工装置中最关键的设备。模拟条件： 明确被模拟的对象反应器的类型，并根据化学反应机理，建立可靠的数学模型。有模拟对象反应器的结构参数：如反应器的结构尺寸；冷却单元的传热面积；有关催化剂的装置；床深度等有反应器的工业试验数据或生产运行数据（如操作工艺条件，温度、压力、组成等）以及模拟的工艺条件允许范围（模拟弹性）有反应物流在反应过程中的热力学数据：如反应平衡常数，反应热，粘度，导热系数，催化剂的热性系数等构成反应器数学模型的基础： 物料衡算；热量衡算；动量衡算；反应速率式,36,非均相固定床反应器模型,已知：FT0, FA0, xA0, T0, L, A0求：xA, T沿反应器的分布（即：反应产

16、物（某一组分）、温度 沿床层深度变化的规律）,对一个微体积作平衡计算：微元段进口： FT, FA, xA, T微元段出口： FT, FA+dFA, xA+dxA, T+dT,37,继续：,组分A的物料平衡： FA(FA+dFA)rAdV0 热量平衡： FTCpTFTCp(T+dT)HdFAdQ0 FAFTxA dVA0dL初始条件： 整理方程：反应速率方程：,38,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,建模过程,39,化工开发放大中的试验与数学模拟关系,40,稳态流程模拟作为应用工具，也受一定能力的限制。 实测数据的获取与准确性数学模型的有效性和准确性 数学解算工具的局限性应用经验模型时的危险性

17、,41,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,二、化工系统的数学模拟模拟：就是在模型上做实验，以寻求原型中过程的规律性。物理模拟：在实验装置上进行模仿真实过程的实验。数学模拟：应用已建立的过程系统的数学模型在计算机上求解，从而获得过程系统的特性和行为规律。,42,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,自由度的概念：(Degrees of Freedom) 自由度：描述一个系统的状态所需变量的数目与建立这些变量之间数量关系的独立方程的数目之差。化工系统模型中，Nvariable Nequation模型求解前，必须给 ND 个变量赋值设计变量“自由”选择 ND 个变量设计变量选取与赋值不同系统的设计方

18、案不同设计变量确定后，余下的 Nequation个变量（状态变量）组成的 Nequation 个方程（状态方程），确定系统的一个状态。,43,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,例：苯甲苯混合器,设计变量：,状态变量,状态方程,苯-甲苯混合器的数学模型：,44,设计变量的选择确定的化工系统 确定的自由度常规精馏塔：一股进料塔顶、塔底二股出料没有中间再沸器、中间冷凝器设计变量：进料变量（流率、组成、热焓）+ 塔压 + 4 个设计变量模拟型问题：理论级数、进料位置、塔顶（或塔底）馏出量、回流比塔顶、塔底的产品组成设计型问题：轻关键组分的塔顶回收率、重关键组分的塔底回收率、进料位置判据、回流比理论级

19、数、进料位置、塔顶和塔底馏出量,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,45,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,设计变量（自由度）的选择原则（1）所选择的设计变量必须真正独立例：塔顶和塔底轻组分回收率不能同时为设计变量。因为：二者和为1。（2）设计变量的选择应使问题求解尽量方便例：理论上，可以选择4个理论级上的温度为设计变量，但是，由于求解困难，这样选择没有意义。,46,设计变量的选择，会影响到模型的求解例：,选择设计变量：（ x3，x4 ）（x5，x6），5个方程联立求解（x1，x2），无法求解,2. 化工过程的数学模型与数学模拟,47,典型单元设备的自由度,2. 化工过程的数学模型与数学模拟

20、,48,氨合成系统的稳态过程数学建模 举例,氨合成系统反应温度： 400500，压力：300 kg/cm2催化反应N2 + 3H2 2NH3平衡时，氨的合成转化率为12。保持连续稳定操作的条件：新鲜原料气体的流量、组成恒定；反应器在恒温、恒压下操作；各分离器闪蒸温度、闪蒸压力恒定；排空物流的排空比率恒定。,混合组分1N22H23NH34Ar5CH4,49,数学模型（只考虑物料衡算） 混合器,j = 1,2,5，表示5种混合组分物流编号：1，2，10,5个方程,50,混合器,j = 1,2,5,5个方程,51,反应器 ,反应平衡方程： K：平衡常数，P：反应压力,5个方程,52,汽液平衡方程k1

21、,k2,k5为PD，TD下的组分平衡常数,高压分离器 ,10个方程,53,低压分离器 ,10个方程,汽液平衡方程 k1,k2,k5为PF，TF下的组分平衡常数,54,分流器 ,10个方程,其中，f为分割率,55,分子分率约束式,10个方程,共计：Ne 55 个方程,56,（1）方程类型：物料平衡方程组： 无反应质量平衡（分子量平衡） 有反应原子数目平衡分子分率约束式：设备约束式（描述流程结构）：设备参数（12个）,反应平衡常数分割率汽液平衡常数汽液平衡常数,57,氨合成系统数学模型,5个方程,5个方程,5个方程,10个方程,10个方程,10个方程,10个方程,混合器1：,混合器2：,反应器3：

22、,分割器5：,分离器4：,分离器6：,分子分率：,方程数：Ne 55,58,（2）变量个数：变量总数：Nv Ns （Nc1）NpNv 变量总数Nv 10 （51）12 72Nc 通过过程单元的各边界组分数Nc 5Ns 通过过程单元的流股数Ns 10Np 设备参数个数Np 12（Nc1） 组分数流股的流量变量 方程数：Ne 55； 变量数：Nv 72 设计变量 d 72 55 17 （个） 可选设备参数 12 个 可选进料物流变量：F1，x11，x12，x14，x15为设计变量,59,3 化工过程模拟的基本方法,化工过程系统的数学模型 大型非线性方程组过程模拟 求解 大型非线性方程组 描述过程系

23、统的数学模型方程组的复杂性，决定了过程系统模拟计算难以用手工计算完成，利用计算机计算的解算方法可归纳为三类：序贯模块法（Sequential Modular Method）面向方程法（Equation Oriented Method）联立模块法（Simultaneously Modular Method）,60,3.1 序贯模块法（Sequential modular approach）,序贯模块法是通过模块的依次序贯计算求解系统模型的一种方法。系统的基本组成部分是模块（子程序），模块可以描述物性、单元操作以及流程其他功能，并编成通用的子程序。单元模块对同一类设备具有通用性。过程系统模型中还包

24、括流股联结方程，即描述系统中各单元之间联结情况的方程。,61,单元模块：,3.1 序贯模块法,62,氨合成系统信息流图,氨合成系统反应温度： 400500，压力：300 kg/cm2催化反应N2 + 3H2 2NH3平衡时，氨的合成转化率为12%,63,子系统识别带有循环的子系统,对氨合成系统，识别出2个带有循环的子系统。,流线2、3、4、5、7和单元、组成的循环子系统,64,子系统识别带有循环的子系统,对氨合成系统，识别出2个带有循环的子系统。,流线3、4、8、10和单元、组成的循环子系统,65,子系统切割序贯求解,氨合成系统序贯求解流程图,66,子系统切割序贯求解,氨合成系统序贯求解流程图

25、,67,带有循环回路的不可分割子系统,子系统识别 各种方法,A、B、C、D是系统内可以独立求解的最小的子系统，即不可分割子系统，四个子系统的求解顺序为ABCD。,采用序贯模块法进行系统模拟，首先必须通过系统分析，识别出过程系统的不可分割子系统，及其序贯求解的顺序。,68,子系统识别 1 基于信息流图的单元串搜索法,在信息流图上，任选一节点单元，按其任一输出流线方向搜索单元串，直到出现下面两种情况之一： 沿该单元的任一输出流线往前搜索，前面再无单元节点，即将该单元记录下来，并从流程中剔除； 被搜索的单元串中的某一单元又重新出现，即发现一个再循环回路。把该回路中含有的单元合并成一个“虚拟单元”节点

26、，继续。 不断重复步骤、，直至所有单元和虚拟单元均被记录下来。,69,6，7，8,2，3,70,子系统识别 2 基于相邻矩阵的回路搜索法,相邻矩阵：有n个节点组成的系统的相邻矩阵是nn方阵。相邻矩阵中的行和列的序号均代表节点的序号。行序号表示流线流出的节点；列序号表示流线流入的节点；矩阵元素的数值由节点之间的连接情况决定。,71,子系统识别 2 基于相邻矩阵的回路搜索法,相邻矩阵,72,子系统识别 2 基于相邻矩阵的回路搜索法,Steward提出的回路搜索法的步骤： 从相邻矩阵中，剔除全为0的列及其对应的行，并记录下相应的节点号，写在求解序列的前面。从相邻矩阵中，剔除全为0的行及其对应的列，并

27、记录下相应的节点号，写在求解序列的后面。 由通路搜索法在相邻矩阵中找到回路，用虚拟节点代替组成回路的节点，并构造新的相邻矩阵。其中，虚拟节点在相邻矩阵中行、列的值，为其包含的所有节点行、列值的布尔加和。 重复步骤，直至剔除并记录下所有节点。,73,(A,B,C)L1,(L1,D,E)L2,H,A,B,C,D,E,F,G,I,74,子系统切割 各种方法,子系统C带有循环回路，可按照某一规则（如切割流线数最少、切割流线上变量数最少等）选择最佳切割流线。本例中，可选择切割流线8，即在流线8上设置收敛模块。,选择切割回路上的循环流线，即给被选择的物流变量赋以假定值，实现循环回路中各单元的序贯求解。,7

28、5,子系统切割 切割判据,不可分割子系统的切割问题是寻找最优切割集的优化问题。切割判据： 切割流线数量最少。 切割流线的物流变量总数最少。 出于某种考虑，对各流线进行加权后，切割流线的加权和最小。权重的大小可以反映切割流线将引起的迭代收敛的困难程度。 切割简单回路的总数最少。尽量避免一个简单回路多次被切割，每个简单回路被切割一次最好。,76,子系统切割 简单回路与回路矩阵,在信息流图上，简单回路指的是从某一节点出发，沿流线方向逐次通过不同的节点和流线，再回到原出发节点所形成的单向环路。,回路矩阵 系统共包括m个简单回路，n条流线。 表示简单回路i中包含流线j； 表示简单回路i中不包含流线j。,

29、77,子系统切割 简单回路与回路矩阵,简单回路：回路中任一单元只经过一次。L1 = 1，2，5L2 = 1，2，3，4L3 = 3，6,s1 = L1，L2s2 = L1，L2s3 = L2，L3s4 = L2s5 = L1s6 = L2,回路矩阵,78,子系统切割 1 回路切割法,1966年，W.Lee & D.F.Rudd原则：切割流线数最少,79,（2）找出只含一个非0元素的行，把其非0元素对应的列确定为切割流线，并从矩阵中删去该列，及其非0元素对应的行。（3）重复（1）（2），直至零矩阵。,子系统切割 1 回路切割法,（1）删去回路矩阵中不独立的列若： ，则 不独立，删去,最佳切割方案

30、（2，3）,80,对于回路i，至少存在一项aij与xj同时为1，即：回路i必然被断开。,子系统切割 2 基本切割法,1973年，T.K.Pho & L.Lapidus，把优化理论应用于切割集的选择以切割原则为判据最小加权和判据,求取切割流线的加权和最小,整数规划中的特殊问题 “01规划”,81,切割流线的收敛 各种方法,过程系统的数学模型是一组非线性方程组，切割流线变量的收敛问题可认为是一个迭代求解非线性方程组的问题。,当假设值 X 与计算值 Y 之差小于收敛容差时：则Y为切割流线变量的收敛解。,82,切割流线的收敛 基本知识,过程系统的数学模型是一组非线性方程组，切割流线变量的收敛问题实际上

31、是一个迭代求解非线性方程组的问题：当假设值x与计算值y之差小于收敛容差时：则x为切割流线变量的收敛解。,83,收敛单元：数值迭代求解非线性方程组的子程序。适用于收敛单元的数值方法一般应尽可能满足：（1）对初值的要求不高。切割变量的初值可根据流线的实际意义给出，要求初值组数少的方法更实用。（2）数值稳定性好。好的迭代方法应该对各种问题都能得到收敛的解。（3）收敛速度快。三个主要影响因素：迭代次数；函数G(x)的计算次数，即一次流程回路的模拟计算；矩阵求逆的次数。（4）占用计算机存储空间少。流程模拟计算量大，数值计算的存储空间问题也需要考虑。,84,1、直接迭代法（Direct substitut

32、ion method） （1）显式方程（2）迭代公式：（3）收敛特性： n=1，线性收敛,切割流线的收敛 非线性代数方程的数值解法,收敛,85,直接迭代法迭代收敛性的几何解释,发散,振荡发散,振荡不稳定,86,（1）显式形式（2）迭代公式其中： 松弛因子 (relaxation factor) 当 ，为直接迭代法（3）收敛特性 n=1，线性收敛,2、部分迭代法（partial substitution method）,对振荡不收敛的情况很有效适当改变，可能会改进收敛性,87,（1）显式形式（2）迭代公式连接(k1)点、(k)点直线：与直线yx的交点：,3、韦格斯坦法（Wegstein meth

33、od）,88,（1）隐式形式（2）迭代公式基本思想：设法将非线性方程转化为某种线性方程近似求解f(x) 在 xk 点一阶展开： 得到：,4、牛顿法（Newton method）,方向,步长,89,单变量非线性方程数值解法比较,90,方程组的迭代求解迭代通式：X(k+1) = X(k) + X(k)收敛判据绝对误差:相对误差：,方程组的表达方式,切割流线的收敛 非线性代数方程组的数值解法,91,1、直接迭代法与部分迭代法,1）显式表达：X = (X)2）迭代公式: X(k+1) =X(k) + (X(k) - X(k) 即： xi(k+1) =xi(k) + (i(X(k) - xi(k) (i

34、=1,n)当 1时，转化为直接迭代公式： X(k+1) = (X(k) 即： xi(k+1) = i(X(k) (i=1,n),“一个方程迭代一个变量”,92,2、韦格斯坦法（Wegstein method）,1）显式形式：X = (X)2）迭代公式：也可以表示为：3）收敛性：1 n 2，超线性收敛。“一个方程收敛一个变量”,93,3、牛顿拉夫森法（Newton-Raphson method）,1）隐式形式 F(X)02）迭代公式函数向量F(X) 在 X=X(k) 处一阶台劳展开，可得： F(X) = F (X(k) + J(k) (X-X(k) = 0迭代公式：X(k+1) = X(k) -

35、 (J(k)-1 F(X(k)或加入阻尼因子t(k): X(k+1) = X(k) - t(k) (J(k)-1 F(X(k)式中，Jacobian矩阵：3）收敛性：n = 2，二次收敛“每个变量的收敛与整个方程组有关”,94,例：,a=0.0001 ，X*=(1,8,4)T初值：X(0)=(2,10,5)T，直接迭代， 20次，收敛Wegstein， 10次，收敛Newton-Raphson， 4次，收敛 X(0)=(4,10,5)T，直接迭代， 22次，收敛Wegstein， 14次，收敛 X(0)=(4,3,5)T， 发散 X(0)=(8,2,1)T， 发散,局部收敛性,95,4、拟牛顿

36、法(Quasi-Newton method)的基本思路,用矩阵 H(k) 代替Newton-Raphson法中的 (J(k)-1公式： X(k+1) = X(k) - H(k) F(X(k)H(k) 构造方法不同一系列Quasi-Newton 法,96,3.1 序贯模块法,优点： 对每类设备单元，建立通用的单元模型；根据单元模型的特点，选择适宜、高效的求解算法，共同构成单元模块。这种单元模块的继承性强。 在流程水平上，利用模块顺序求解的方法进行收敛计算，出现错误或计算不收敛时，便于依据流程纠错。 模拟计算中的信息流与实际过程中的物流和能流相互对应，直观联系强，有助于研究人员的理解和掌握。缺点：

37、 当流程中存在多层嵌套的循环物流，或遇到需要迭代的设计型及优化型问题时，这一方法需要在流程水平上反复迭代，计算效率较低。,97,序贯模块法的模拟系统,几乎所有的商业化的稳态模拟软件都采用序贯模块法进行流程计算。 序贯模块法的模拟系统已经经历了三代发展：20世纪60年代的Flexible Flowsheet（美国Kellogg）70年代FLOWTRAN（美国Monsanto公司）80年代的ASPEN（美国麻省理工学院）、PROCESS（美国Simulation Science公司，后改名为PROVISSION）等,98,3.2 面向方程法（Equation-oriented approach）,

38、面向方程法：将描述流程系统的所有数学模型汇集到一起，形成一个非线性方程组，联立求解。又称联立方程法。,99,氨合成系统数学模型,混合器1：,混合器2：,反应器3：,分割器5：,分离器4：,分离器6：,分子分率：,非线性方程组，N 55,规范建模：各单元模块单独建立模型增加单元模块间的流股连接方程,100,1. 过程系统数学模型的特点,过程系统数学模型的特点（1）高维大型非线性方程组系统的模型方程组： X 状态变量； W 设计变量；F( ) 系统模型方程组，其中包括：物性估算方程：计算混合物在各种状态下的物性单元模型方程：包括物料平衡方程、能量平衡方程、反应动力学方程、传递方程等过程单元间的联结

39、方程：描述过程系统结构的拓扑关系设计规定方程,101,1. 过程系统数学模型的特点,（2）方程组的复杂性过程系统数学模型所包含的方程的种类非常复杂，是一个极其复杂的混合型方程组：过程系统由若干单元组成，整个系统的总变量数很大现代化工物料、热量充分利用，热集成度高，组成了高度交联的流程拓扑结构线性代数方程，如物料平衡方程非线性代数方程，如化学平衡方程、热力学方程、物性估算方程；微分方程，如化学反应动力学方程、描述反应器内部传递特征的偏微分方程,102,1. 过程系统数学模型的特点,（3）方程组的稀疏性无论描述全系统的方程组的维数有多高，函数关系有多复杂每个过程单元所涉及的仅局限于几个方程，且每个

40、方程往往仅涉及少数几个变量。化工系统的模型方程组是 超大型 稀疏矩阵。描述方程组的稀疏程度稀疏比：N0/N2 N描述系统的方程组的阶数 N0为方程组线性化后的系数矩阵含非零元素的数目。大型化工系统的数学模型，稀疏比一般小于1，约为0.20.5。,103,1. 过程系统数学模型的特点,初值的选取困难：变量维数大 迭代的收敛稳定性对初值要求苛刻产生初值的方法： 利用严格模型在基点附近产生一组简化模型，利用序贯模块法产生一组初值 产生一组近似线性模型，联立求解线性方程组得到初值 直接用严格模型按序贯模块法直接迭代数次后，得到初值变量物理意义的限制迭代计算中通过增补必须的等式约束或不等式约束对变量的取

41、值加以适当限制，以避免变量在迭代过程中失去物理意义或超出计算的定义域引起的计算失败。,104,现状模型对象日益庞大方程模型的变量和方程数量呈几何增长例：大型装置的冷区分离序列稳态数学模型的维数：30000维联立方程法的核心问题：求解超大型稀疏非线性方程组。,105,求解 超大型 稀疏 非线性 方程组思路,求解稀疏方程组的特殊的解算方法：只对非零元素进行运算，以提高运算速度；压缩贮存系数矩阵的非零元素，减少存储空间； 求解方法大致可分为两类：降维求解法和线性联立求解法。,106,2. 大型稀疏非线性方程组的降维解法,对大型稀疏非线性方程组降维的方法： 针对全流程的模型方程组的直接降维建立独立的物

42、性估算模块取消单元间的联结方程 利用处理大系统的“化整为零”的求解思路方程组的分解,107,1) 建立独立的物性估算模块,过程系统的数学模型中一半以上的方程是物性估算方程，约有7080的模拟机时消耗在物性计算上。两类处理物性估算的方法：(1) 从系统模型中将物性估算方程独立出来 单独构成物性估算模块，不参与方程组的联立求解在求解联立方程组迭代更新变量时 调用物性估算模块，可以大大减少必须联立求解的方程数。,(2) 考虑到物流的焓值、平衡常数的计算十分频繁，利用简化线性模型将焓值和平衡常数的计算加入方程组的联立求解中，只将其余的物性估算仍然保持在物性模块中。 此法将加快计算速度与减小方程组规模的

43、两目标进行折衷的方法。,108,2) 取消单元间的联结方程,联结方程是用来描述过程系统中各个单元间的拓扑关系的方程。 取消联结方程后，不仅描述系统的中间物流变量减少了一半，而且模型方程组的阶数也相应减少了。,取消方程Y1X2用 X2 代替 Y1,109,3) 方程组的分解,方程组分解：对大型的稀疏方程组，可以利用适当的方法分解成若干个较小的、非稀疏的方程组。依次求解这一系列较小的方程组实现对原方程组的求解，进而达到降阶和增大稀疏比的目的。方程组分解的对象：数学模型（方程组）的结构方程组分块的结果：必须联立求解的不可再分子方程块 联立求解 序贯求解方程组切断的对象：不可再分子方程块中的变量,11

44、0,实现方程组分解的方法可以借鉴子系统分割的方法。将方程组的基本结构用信息流图、相邻矩阵等形式表示出来，可利用不可分割子系统识别的方法进行方程组的分解。方程组分解联立方程法简化计算的手段之一，可选子系统分解序贯模块法进行计算的手段之一，必备,整个方程组求解,一系列独立、较小的方程组求解,前提：可分块方程组必须是稀疏方程组。,111,不相关子方程组的识别,子方程组：方程组内由一部分方程所组成的局部。不相关子方程组：子方程组中只含有特有的某些变量，这些变量不出现在其他子方程组中。不相关子方程组可以独立求解，而不影响其他子方程组。识别不相关子方程组：通过事件矩阵的行、列调换顺序，得到“分块对角矩阵（

45、block diagonal matrix）”，识别出不相关子方程组。,112,事件矩阵的行、列调换，识别出不相关子方程组,事件矩阵,113,不相关子方程组识别方法,步骤： 挑选关联矩阵中含非0元素最多的一列，求取该列非0元素所在行的并，形成新行，取代原来的几行。 重复，直至每列只含一个非0元素。,114,（继续）,通过简化合并后的关联矩阵：每一行 表示一个子方程组这个不相关子方程组是由最初矩阵中的几行（几个方程）合并组成的,115,对于n阶稀疏方程组，常常可以找到一个包含有k1（k1n）个变量的k1阶子方程组。这个k1阶子方程组可以单独求解。 k1个变量被求解后，其余的n-k1个方程中还可以

46、再找出包含有k2（k2n-k1） 个变量的k2阶子方程组，k2阶子方程组也可以单独求解重复这一过程，最终把原方程分解成一系列可顺序求解的子方程组。 例：,事件矩阵,不可分解子方程组的识别,116,对事件矩阵的行、列进行重新排序，可以得到一个分块的下三角矩阵。,不可分解子方程组的识别,分块下三角矩阵(block lower triangular matrix) ：主对角线方向上，各分块以上的上三角部分中元素均为0。,117,方程组的输出变量集,输出变量：可以通过其所存在的方程中的其它变量求解的变量。方程组中，每一个方程有一个输出变量，每个变量只能被某一个方程指定一次。变量与方程的不同的匹配关系，

47、就构成方程组不同的输出变量集。一个方程组的输出变量集一般是多解的。,118,（a）预分配 挑选非0元素最少的一列中非0元素最少的一行，作为预选的输出变量标记出来；删除此行此列。重复预分配过程。最后，如果剩余的唯一行、列相交点为非0元素，表明预分配成功，即已经得到方程组的输出变量集；如果剩余的唯一行、列相交点为0元素，表明预分配不成功，转入再分配步骤。（b）再分配（斯图尔特通路，Steward path） 从剩余行的任一非0元素出发，重复采用下图所示规则，直至找出一条到达剩余列的任一非0元素的通路。这时，带有标记的元素即为一个输出变量集。,确定方程组输出变量集的斯图尔特通路法,119,信息流图的

48、构成,用信息流图表示方程组：节点方程有向线方程间传递的输出变量信息,120,单元串搜索法：f1，f4f3f2，f5,对上图进行整理，可以得到如下的信息流图,不同的输出变量集不同的信息流图，可以得到同样的方程组分块的结果,121,形成相邻矩阵,把代表输出变量的非0元素调整到主对角线上,剔除主对角线上元素，得到一个相邻矩阵,转置后，得到习惯上的相邻矩阵，此时可用回路搜索法、可及矩阵法进行方程组分块,122,3. 联立线性方程组法解大型稀疏非线性方程组,1) 线性化方法将非线性方程组线性化，联立求解线性方程组。由于线性化引入了误差，所以要借助迭代使线性化方程组的解，逐渐逼进非线性方程组的解。,n维非

49、线性方程组在数学上可以表达为：用n维线性方程组逼近，可表达为：该线性方程组的解为：将 作一阶展开可得到牛顿型的迭代公式：其中，J为Jacobian矩阵，即一阶偏导数矩阵,123,令 AJ ，可得：这时，近似线性方程的解等于牛顿型解，且具有二阶收敛性。线性化得到的迭代公式和参数值为：如果方程组F(X)0的第j个方程为非线性方程：fj(X)0，则其线性化形式为：,124,2) 稀疏线性方程组的解法,减少求解的计算时间和存储空间，通常有两方面的技术：只存储非零元素的压缩存储技术只对非零元素进行计算的技术,（1）稀疏矩阵的压缩存储 用一个实型数组存储非零元素，用两个整型数组分别标识对应非零元素所在的行

50、号和列号。,标识数组结束,125,（2）填充量,新出现的非零元素被称作填充量。填充量与消元成零的非零元素之差称作填充增量。填充量与主元选取的次序有关。,126,（3）主元容限减少填充与提高数值稳定性和计算精度往往是矛盾的。人为地规定了一个界限 （0），当矩阵元素的绝对值大于，该元素就具备了作为主元的资格，若引入的填充量也不是很大，就可定为主元。这个界限称为主元容限。 值可以经验给定，但它应该满足提高计算精度和减少填充量的统一要求。,127,4. 结构化联立方程建模,当代化学工业着眼于过程，层次分明，流程清晰，系统庞大。联立方程法的组成元素仅是变量和方程，即一个复杂的大规模稀疏方程组。联立方程模