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1、第九章 一般均衡及其福利前面关于消费者和生产者行为的讨论，把价格当作所考虑的经济体的外生变量，消费者和生产者都是既定价格体系的接受者。那么，这个既定的价格体系又是如何决定的呢？本章来研究这个问题，价格将被当作经济系统的内生变量看待，由经济系统本身所决定。消费者与生产者、需求与供给的共同作用，既决定了市场价格体系，又决定了各种商品的交易量，而且实现了资源的最优配置，使社会福利达到帕累托最优。这就是本章将要得出的主要结论。尽管在第七章中曾研究局部均衡问题，但那只是关于个别市场的价格决定理论。本章研究的是所有市场上的价格决定问题，即一般均衡问题。通过本章的讨论，我们将会看到市场机制在实现资源最优配置
2、方面起着决定性的作用。本章的重点是讨论阿罗-德布罗均衡模型，分析一般均衡价格的决定机制。第一节 经济系统的一般均衡任何经济社会，都是由许许多多的消费者与生产者所构成，他们通过市场参与经济活动。前面两章，我们用微观分析的方法，对单个消费者和生产者的行为，进行了详细讨论，得出了实现消费最优化与生产最优化的结论。但是，每个人的经济行为并非孤立地存在。生产的目的是为了消费，消费是要通过一定的分配方式，或者进行商品的相互交换，把商品分配给消费者来实现的。因此，人们的经济行为之间是相互联系，相互影响的。人与人之间的经济利益还往往是相互冲突的，尤其是表现在供给与需求这一对矛盾之中。能否使人们之间的这种利益矛
3、盾处于平衡的状态，便是一般经济均衡理论所要研究的问题。一、一般经济均衡思想的由来瓦尔拉是一般经济均衡理论的首创者，他的研究对经济理论的发展具有重大影响，使得人们把研究注意力，从单一商品的价格确定上，转移到整个市场价格体系的确定上去，分析市场机制的作用，研究资源配置等问题。瓦尔拉设想，市场上每个人都服从市场价格体系从背后的调节，根据价格体系作出自己的经济决策。结果，市场上每种商品的总需求与总供给，都只是各种商品价格的函数。瓦尔拉又这样提出了问题：设在一个经济系统中有许许多多的生产者和消费者，生产者追求的是他生产的利润最大，消费者追求消费的效用最大。生产者的利润与消费者的支付能力，都与商品的市场价
4、格体系有关。试问，是否存在一个合适的价格体系，即所谓的均衡价格体系，使得在它之下，生产者与消费者取得全面的供需均衡 (即全系统实现总供给与总需求相等，并且每个经纪人都实现自己的利益最大化)? 这就是一般经济均衡问题。瓦尔拉的一般经济均衡思想，可以追溯到1776年亚当斯密在他的名著国富论中写下的名言：“每个人都在力图应用他的资本，来使其生产品得到最大的价值。一般来说，他并不企图增进公共福利，也不知道所增进的福利为多少。他所追求的仅仅是他个人的安乐，仅仅是他个人的利益。在这样做时，有一只看不见的手引导他去促进一种目标，而这种目标决不是他所追求的东西。由于追逐他自己的利益，他经常促进了社会利益，其效
5、果要比他真正想促进社会利益时所得到的效果为大。” 这段话明显地是为资产阶级自由放任主义唱赞歌，我们应当给予坚决有力的批判。但另一方面，如果抛开它的政治含义，我们就会发现，它提出了一个当时及以后一百多年间，人们从未考虑过的深刻的科学问题。用今天系统论的语言来说，它就是这样的一个问题：有一个包含许多小系统的大系统，每个小系统都各有自己的目标函数，大系统也有它的目标函数。诸小系统的目标函数的最优，可能是相互牵制的。试问，能否有某种调节手段，使得只要各小系统追求自己的目标最优，大系统的目标也就达到最优？1874年，瓦尔拉把亚当斯密所说的“社会利益”解释为“供需均衡”，把“看不见的手”解释为“市场价格机
6、制”，一般经济均衡理论从此就问世了。瓦尔拉还给出了均衡价格体系存在性的数学论证。他写出了一个以需求，供给和价格为未知量的联立数学方程组，并声称由于方程组中独立未知数的个数与独立方程的个数相等，因而方程组有解，一般经济均衡问题也就有解。瓦尔拉同时也看到，如果没有一般经济均衡状态存在性的数学论证作为后盾，他的理论就将是一片空洞。后来人们发现，瓦尔拉给出的数学证明，存在着严重的缺陷。当代数学家无人不哓，独立方程个数与独立未知数个数相等，不能保证方程组有解。我们不能责怪瓦尔拉的数学修养，因为后来用于证明瓦尔拉一般经济均衡存在性，并发现与它等价的Brouwer不动点定理，是于1911年才问世的。我们倒是
7、应当感谢瓦尔拉的数学修养，如果没有当时论证上的错误，那可能就会因为一般经济均衡存在性得不到证明，而淹没一般经济均衡的光辉思想，从而也就不会有后来直至今天那么多人去研究它了。二、经济系统的描述现在我们转到对经济系统的具体刻划上来。构成一个经济系统的要素有两类，一是经济人，另一是经济资源。经济人分为消费者和生产者，消费者是通过他的消费集合与偏好关系来刻划的，生产者是通过其生产集合来刻划的。经济资源是指经济人拥有的商品，包括土地、建筑、矿藏、设备、库存等过去留给现在时刻的一切有用的物品。用表示经济系统中消费者的总个数，表示生产者的总个数，表示市场上商品的总种类数，都是自然数。对消费者，生产者及商品分
8、别进行编号以后，便可称呼消费者、生产者和商品。用和分别表示消费者的消费集合与偏好关系，和分别表示生产者的生产集合和生产函数。经济的总资源可用中的一个向量来表示，它就是经济在初始时刻所拥有商品总向量，是各个消费者拥有的商品向量之总和。鉴于此，资源向量也称为经济的初始财富向量或者初始拥有向量。注意，总资源中包含着劳动和服务这两类商品。经济系统就是由这些消费者、生产者和经济资源构成的系统，记作，并可表示成：如果经济资源为社会所占有，而不为经济中的任何经济个体战友，那么这样的经济就是公有制经济。在公有制经济中，个人收入不是由市场决定的，而取决于社会总收入的分配方式，比如按需分配或按劳分配或平均分配等。
9、公有制经济可简单地表示成为：如果总资源为经济的各个行为主体所分别占有，则这种经济就是私有制经济。用表示私有制经济中消费者所拥有的资源向量，则经济的总资源向量是各个消费者拥有的资源向量之总和：。于是，私有制经济可表示成为：在私有制经济中，消费者的收入由两部分构成：一部分是的价值给他创造的收入，另一部分是他从生产者那里得到的分红。用表示消费者拥有的资源给消费者带来的收入，表示生产者的利润，表示消费者从生产者那里享受到的利润分成比例，则消费者的收入可表示成为：。由于生产者也要消费商品，即生产者也是消费者，因而利润分成比例必然满足如下两个条件：(s1) ；(s2) 。这样，私有制经济可更加明确地表示成
10、为：今后为了更方便起见，就把“经济系统”简称为“经济”。在不区分公有制经济与私有制经济的情况下，经济的表示形式上也可采用简单方式：经济系统中，所有消费者的消费之总和构成了经济的总消费(aggregate consumption)，所有生产者的产品之总和构成了该经济的总产出(aggregate products)。如下定义的商品空间的子集合和，分别称为经济的总消费集合和总生产集合。经济系统中全部经济人的行动可用“经济状态”一词来表述。当消费者选择消费向量，生产者选择生产向量时，经济的状态就是向量组。可见，一种经济状态就是商品空间中的一组向量。今后，我们把经济状态简记为。明显地，经济状态表示了经济
11、的一种商品分配方式或资源配置方式。消费集合与生产集合给经济人的行动带来了限制，使得一些经济状态为不可能达到。那些不可能达到的经济状态，必须排除在考虑之外，剩下来的就只有可达状态了。可达状态的特征有两个：一个特征是这个状态下的诸消费者和生产者的消费与生产都可行，另一个特征是总消费费不超过总供给。即，一个经济状态是可达的(attainable)，是指它满足以下两个条件：(A1) (A2) 由一切可达状态所构成的集合，称为可达状态集合，记作()。凡是能在可达状态中出现的消费者的消费向量，都称为消费者的可达消费，其全体记为，并称为消费者的可达消费集；凡是能在可达状态中出现的生产者的生产向量，都称为生产
12、者的可达生产，其全体记为，并称为生产者的可达生产集。显然，与分别是与的子集。人们更关心可达状态中那些可行的状态，即那些使条件(A2)中的不等式成为等式的可达状态。换言之，经济状态称为是可行的(feasible)，是指满足如下两个条件：(F1) ；(F2) 。经济的所有可行状态的全体，用()表示，称为可行状态集合。现在引入市场均衡概念。市场均衡是把经济状态、消费者收入及市场价格体系三者联系在一起的一个概念。联系着价格和消费者收入的经济状态，可记为。经济状态称为是市场均衡(market equilibrium)，是指满足如下三个条件：(ME1) 是消费者在价格体系和收入下的均衡；(ME2) 是生产
13、者在价格体系下的均衡；(ME3) 经济系统的总需求等于总供给：。市场均衡状态的全体，用()来表示。易见，市场均衡必是可行状态。市场均衡状态中的价格体系，称为均衡价格体系，或者称为市场价格体系。再引入竞争均衡概念。考虑私有制经济，这种经济中每个消费者的收入都由他拥有的资源的价值和从厂商那里得到的分红构成，也就是说，在经济状态中，收入是以下述方式计算的：因此，状态可简记为。当为市场均衡时，就叫做竞争均衡(competitive equilibrium)或瓦尔拉均衡(Walrasian equilibrium)。换句话说，经济状态叫做竞争均衡，是指满足如下三个条件：(CE1) 是消费者在价格体系和收
14、入下的均衡；(CE2) 是生产者在价格体系下的均衡；(CE3) 经济系统的总需求等于总供给：。用()表示瓦尔拉均衡状态的全体。本章章中，总用来表示消费者的需求集映。当它取值为单点集时，它定义了唯一的一个映射，即需求映射，仍用表示之。类似地，用表示生产者的供给集映，当它取值为单点集时，它定义了供给映射，仍用表示之。集映(映射)(其中)和分别称为总需求集映(总需求映射)和总供给集映(总供给映射)。第二节 瓦尔拉均衡模型瓦尔拉当初建立一般经济均衡模型时，由于他的数学修养，让他一开始就对理论采取了数学形式。他设经济系统中有种生产要素和种产品，消费者通过向生产者提供生产要素来获得收入，然后用所获收入去购
15、买生产者的产品进行消费。设生产一单位第种产品，需要投入个单位的第种生产要素。这样，生产个单位的第种产品，就需要投入第种生产要素个单位。设市场上每种商品的总需求与总供给都是商品价格体系的函数，即价格机制对市场进行着调节。经济的均衡状态是使各种商品的总供给与总需求相等的状态。瓦尔拉指出，在各个消费者与生产者只追求各自的最大利益的情况下，价格机制对市场的调节，必能使经济处于均衡状态。瓦尔拉做了这样的分析证明。用表示均衡时对第种生产要素的总供给量，表示均衡时对第种产品的总供给量，为均衡价格体系，它们都是待确定的未知量。与又分别都是总需求量。市场上商品的总种类数，因而分为两部分：，其中是生产要素的价格向
16、量，是产品的价格向量。设第种生产要素的总供给函数是，第种产品的总需求函数是，它们都是以价格体系为自变量的已知函数。这样，就得到了第一组关于的个方程:经济系统要生产出产品向量，需要投入的第种生产要素的总量为，它就是第种要素的总供给量，所以又有第二组个方程:另外，每一种产品的价格都应该等于生产出该产品一个单位所需的成本。这就给出了第三组个方程:以上得到了个未知量的个联立方程组。注意，需求函数与供给函数都是价格变量的零阶齐次函数，因而价格只具有相对的意义，例如可取，结果未知数的个数减少了一个。再注意，均衡时消费者的收支要平衡，即收入要等于支出，而消费者的收入是通过提供生产要素来获得的。所有消费者提供
17、的生产要素总向量是，从而所有消费者的总收入是。所有消费者购买的产品总向量是，从而所有消费者的总支出为。均衡时，应与相等，于是得到下面的恒等式：这个恒等式称为瓦尔拉定律。根据瓦尔拉定律可以推知，前面得到的第二、三组方程中有一个不是独立的，它可以从其余个方程推出。这么一来，独立方程的个数也就减少了一个。剩下来的只有个独立未知数和个独立方程。既然独立未知数个数与独立方程个数相等，瓦尔拉当时就宣称方程组有解，从而一般经济均衡问题有解。这就是原始的瓦尔拉均衡模型。虽然瓦尔拉给出的数学论证是错误的，但是他的思想却是非常地深刻与奥妙。实际上， 在他那个时代， 给出经济均衡存在性的严格数学证明根本不可能。下面
18、来显示一般经济均衡理论的数学深度。首先，我们对瓦尔拉的思想做一个归纳。市场上有种商品，用表示总需求映射，表示总供给映射，并假定它们都是关于价格体系的连续映射。瓦尔拉定律说收支要平衡，因此这两个映射满足如下条件：对任何价格向量，都有这就是瓦尔拉定律的数学形式。前面所述的均衡方程，现在可一般地叙述成：供需均衡方程的解，与超需求映射的零点是一致的。注意，价格的相对性使我们能够把价格向量的变化限制在价格空间的子集合之中：于是，瓦尔拉一般经济均衡的存在性可用下述定理表述：命题A. 对于任何一个连续映射，如果对一切都成立，则必存在满足。这个命题称为瓦尔拉一般经济均衡存在性定理。它看上去似乎并不令人惊奇，然
19、而实际上它却与非常深刻的Brouwer不动点定理等价。命题B(Brouwer). 从到的任何连续映射都有不动点， 即存在满足。本节剩余部分就是来说明命题A和命题B的等价性。命题B命题A：我们可把命题A中的映射看作“超需求映射”，并利用对价格体系进行一次全面调整，调整方法如下。记。当商品的需求大于供给时，采取涨价措施：令，并把作为调整后的价格体系。易见，对任何的，都有，并且这种调整结果关于原价格体系是连续的。命题B告诉我们，这种方式的调价，必然对某种价格体系不起作用，即调整前后的价格相同：。于是对这个价格体系，就有，从而。在等式两边同乘以，然后对求和，可得到从瓦尔拉定律知，。于是，。注意，左边和
20、式中的每一项都非负，因而只有。再注意，当时，。因此，只有，即。命题A得证。命题A命题B：从已给的映射定义映射如下。对任何，令则定义了从到的一个连续映射，并且满足命题A中的条件:，从而存在满足。既然且，可见只有对一切成立。对于每个，不外乎或。当时，从知；而当时，从知。总之，对一切都有，即，从而。注意，且(因为,)，所以。由此可知，即，故是的不动点。命题B得证。以上的讨论说明，即使一个最简单的一般经济均衡模型，其在数学上就已经相当不平凡，可见一般经济均衡思想是多么地深刻与奥妙。第三节 经济系统博弈虽然瓦尔拉对一般经济均衡存在性给出的证明不能令人信服，但是这段证明却保持了半个多世纪，直到二十世纪三十
21、年代以后，人们才逐渐摸索出了新的论证方法。经过许多人的努力，于1954年才由阿罗和德布罗共同重建了一般经济均衡的理论大厦，对一般经济均衡存在性，给出了令人满意的严格数学证明，树起了经济学史上的一块新的里程碑。这段历史发展过程中，值得一提的是博弈论对经济均衡理论的贡献。1950年，纳什(J.F. Nash)应用日本数学家角谷静夫(S. Kakutani)提出的集值映射不动点定理，证明了人博弈纳什均衡的存在性。纳什定理的重要意义之一，在于它的结论可以向经济系统推广，尤其是带附加约束条件的纳什均衡存在性定理，是获得阿罗-德布罗均衡存在性定理的关键所在。本节就来介绍纳什均衡向经济系统的推广，即应用博弈
22、论来研究一般经济均衡问题。一. 经济系统的博弈描述考虑经济系统，其中，和都是非空紧凸集。中的每个经济人都可看作是一个博弈的局中人。消费者的策略集合就是消费集合，生产者的策略集合就是生产集合。由于市场价格体系从背后对人们的经济行为进行调节，因而可把市场也看作是一个局中人，亦即是说，把亚当斯密的“看不见的手”从台后请到台前，把它看作参加博弈的一方，并称其为市场经济人，它的策略集合取为。于是，这个博弈的局势集合为：。博弈中，消费者的收益由他的效用函数确定：对任何，生产者的收益由他的利润(净收入)确定：对任何，市场经济人的收益可看作全社会的超额支出：对任何，其含义是说，市场经济人的行为准则是要让超额需
23、求的价值尽可能地大，而要让超额供给的价值尽可能地小，以起到对市场的调节作用。注意，函数对价格的偏导数为：因此，只要商品存在着超额需求，就有，此时市场经济人的目标就是提高商品的价格。而当商品存在着超额供给时，市场经济人的目标是降低商品的价格。可见，目标函数的定义与实际情况是相符合的。消费者要在预算约束下使效用最大化，因此作为局中人看待的消费者服从的约束条件为：对任何，生产者要使利润最大化，生产方案的选择范围始终是生产集合，因而选择不受约束。这种情况下，约束条件可看作是策略集合。同样，市场经济人的选择也没有附加约束条件，即约束条件可看作是策略集合。这样一来，经济系统可看成是带附加约束条件的博弈。显
24、然，的竞争均衡必然是的纳什均衡。这是因为当是的竞争均衡时，必然是消费者的收益函数在约束条件下的最大值点，也必然是生产者的最大利润点，同时由于，因而对任何，都有，这说明是市场经济人的最优选择。这一切事实证实了是的纳什均衡。进一步，在消费者偏好无满足的假定下，还可把竞争均衡放松成为有自由处置的均衡。所谓是经济的有自由处置的均衡(equilibrium with free disposal)，简称自由处置均衡，是指满足如下三个条件：(EFD1) 是消费者在价格和收入下的均衡消费向量；(EFD2) 是生产者在价格下的利润最大化净产出向量；(EFD3) 。当每个消费者的偏好都是无满足的凸偏好时，从第三章
25、的讨论可知消费者需求满足瓦尔拉法则。这样，对于有自由处置的均衡来说，偏好的无满足性和凸性保证了；而保证了对任何，都有，从而。这就说明，当每个消费者的偏好关系都无满足的凸偏好时，经济的自由处置均衡必然是博弈的纳什均衡。然而，偏好的无满足性在消费集合有界闭的情况下不能成立，因为第二章中曾经证明过：任何连续偏好在的非空有界闭集中都有满足。看来，需要对无满足性条件作修改。事实上，只要注意需求的瓦尔拉法则在“需求向量不是消费集合中的满足向量”这一较弱的要求下就能成立，那么把“无满足性”改换成为“任何可达消费向量在消费集合中都不是满足消费”，再加上偏好的凸性条件，方可保证上面的成立，从而保证对一切成立。于
26、是，如上的结论变为：如果每个消费者的偏好关系都是凸的，并且任何可达消费方案都不是消费者的满足消费，那么经济的自由处置均衡必然是博弈的纳什均衡。反过来，博弈的纳什均衡能够成为经济的自由处置均衡吗？答案是肯定的。事实上，当是博弈的纳什均衡时，显然满足条件(EFD1)和(EFD2)。既然服从预算约束，所以在条件下，结合是的纳什均衡这一事实，我们得到：对任何，。从而对一切成立。这就保证了，即条件(EFD3) 得到满足。可见，当时，博弈的纳什均衡也必然是经济的自由处置均衡。把以上得出的两条结论结合在一起，我们便得到竞争均衡和纳什均衡之间的如下关系：命题1. 设博弈是对经济的博弈描述，其中且。(1) 博弈
27、的纳什均衡必然是经济的自由处置均衡；(2) 当中的诸消费者都具有凸偏好关系，并且任何可达消费方案都不是消费者(在中)的满足消费时，经济的自由处置均衡也必然是博弈的纳什均衡，从而对任何，是经济的自由处置均衡当且仅当是博弈的纳什均衡。因此，经济均衡的存在性问题转化为带附加约束条件的纳什均衡存在性问题。第八章第九节关于带约束条件的纳什均衡存在性定理，给出了该问题的答案。为了保证满足第八章第九节中所述的带附加约束的纳什均衡存在性定理的条件，我们对经济系统提出如下要求：(D1) 与都是的紧凸子集；(D2) 是连续的弱凸偏好关系；(D3) 存在满足；(D4) ；(D5) 且，即生产者都把利润全部分配给消费
28、者。条件(D1)保证了博弈的各个局中人的策略集合都是欧氏空间的紧凸子集，条件(D2)保证了各个局中人的收益函数都是关于局中人自己的策略变元的弱拟凹连续函数，条件(D3)和(D4)(再加上条件(D1)保证了各个约束集映都是连续的，从而第九章第九节中的条件(G1)和(G2)得到满足。这里，对条件(D3)的意义作一点说明。可以把(D3)中的向量理解为消费者的最小需要向量，于是条件(D3)说明消费者拥有的资源都比他的最小需要为大，即消费者的最基本的生活需要是能够得到满足的。既然带约束条件的均衡存在性条件得到满足，的纳什均衡存在，从而经济的自由处置均衡存在，这就是德布罗得到的如下定理：德布罗定理(G.D
29、ebreu). 设经济满足条件(D1)、(D2)、(D3)、(D4)和(D5)，则有自由处置的均衡，即存在经济状态满足条件(EFD1)、(EFD2)和(EFD3)。进一步，如果还满足如下条件：(D6) 各个消费者的偏好关系是凸的，并且任何可达消费方案都不是消费者的满足消费，即对任何，都存在相应的使得。则的任何自由处置均衡都服从瓦尔拉斯定律，即证明. 只需说明自由处置均衡服从瓦尔拉定律。为此，设为的任一有自由处置的均衡。条件（D6）保证了。结合条件(D5)便知，。可见，服从瓦尔拉定律。二. 阿罗-德布罗均衡模型上面提出的德布罗定理，给出了自由处置均衡存在的条件，但它不能令人满意。首先，它所蕴含的
30、自由处置性没有得到明确的表述，应当给其以明确表达。其次，要求消费集合与生产集合都是紧集，从而都是有界集合，是难以找到经济上的合理性的。尤其是生产集合的有界性，把规模报酬不变这一标准情形都给排除在外。因此，需要对一般经济均衡存在性问题进行进一步深入研究。现在的问题是如何给出既有经济意义，又能保证一般经济均衡存在的合理条件。阿罗与德布罗经过一番周密细致的精巧分析，提出了一系列合理假设，给出了经济均衡存在的下述定理，即经典的阿罗-德布罗定理。阿罗-德布罗定理(1954,1959). 设经济满足下述条件:对每个消费者来说，(AD1) 是商品空间的下有界闭凸子集；(AD2) 是连续的、无满足的凸偏好关系
31、；(AD3) 存在满足；对于生产者来说,(AD4) ；(AD5) 总生产集合是的闭凸子集；(AD6) ；(AD7) ；对于利润分成比例来说,(AD8) 且。则经济的竞争均衡存在，即存在经济状态满足如下三个条件：(1) 是消费者在价格和收入下的均衡向量；(2) 是生产者在价格下的均衡向量；(3) 。 定理中的条件(AD6)是说生产过程不可逆；条件(AD7)是说企业对投入要素可以自由处置，即企业可以采取只投入不产出的生产方案。这样就可保证产品不过剩，从而克服自由处置均衡中的产品过剩现象。其它假设的经济意义在以前章节中已作过解释，这里不必重复。我们把满足条件(AD1)至(AD8)的经济，叫做阿罗-德
32、布罗经济。在证明阿罗-德布罗定理之前，对阿罗-德布罗经济的性质作一些探讨。用表示集合的闭包运算，表示集合的凸包运算。即对任何，是包含的最小闭集，是包含的最小凸集。这样，集合和的意义就是明显的了。命题2. 设是的任意有限个非空子集，。则，。尤其是当为闭集时，。证明：包含式和的成立是明显的，因而当为闭集时，。以下证明成立。从数学归纳法可进一步得知，实际上只需证明时这一包含式成立。设任意给定。则。既然是任意给定的，我们有。同样，对任何，都有，因而。命题2得证。命题3. 设是闭凸集，且，则对任何及整数, 存在常数使得只要且, 就有。证明：令，则。事实上, 假如，则存在中有限个向量及加权数，使得。既然是
33、凸集且，我们有，即。显然，。另一方面，。于是，这与相矛盾。可见不能成立，即只有。注意，是紧集。容易验证，紧集的凸包仍然是紧集，因此是紧集，从而是闭凸集。由凸集的分离性定理(见第二章)知，存在使得对一切，都有。既然，因此对一切成立。这就说明。令,，则,。我们指出：对任何，都有。实际上，对于，当时，；当时；的凸性及保证了，从而，可见。现在可以完成命题3的证明了。设,为整数。令，则当且时，因此。命题3得证。命题4. 设是的下有界子集，且为任一整数。则存在常数使得只要且，就有。证明：我们应用命题3来证明命题4。设是集合的一个下界，即对一切成立。令，易见满足命题3的条件，且对每个，都有。再令。从命题3知
34、，存在常数使得只要且，就有。令，则当且时， 且，于是，从而 。命题4得证。定义(闭凸化经济). 阿罗-德布罗经济的闭凸化是指经济，其中。命题5. 阿罗-德布罗经济与它的闭凸化具有相同的总生产集合和相同的可达消费集合。证明：这是因为是闭凸集，从而由命题2可知，即与具有相同的总生产集合。既然与的总生产集合和消费集合都相同，从而也有相同的可达消费集合。证完。命题6. 阿罗-德布罗经济的闭凸化的可达消费集合和可达生产集合都是的有界子集，从而存在的紧凸子集使得 且。证明：事实上，诸消费集合有公共下界，设为它们的一个公共下界。这样，便是总消费集合的下界。用表示经济的总资源向量，即，并令。从命题3知，对于和
35、整数，存在常数使得只要且，就有。现在，设是闭凸化的任一可达状态。则(这是因为，从而)，并且。结合刚刚得出的结论可知，。这说明各个可达生产集合都是有界的，从而集合也是有界的，设为的一个上界。考虑集合，令。从命题4可知，对于这个向量和正整数，存在常数使得只要且，就有。显然，可达状态中的满足这些条件，即(因为是诸的公共下界)，并且，因此对一切成立。这说明可达消费集合是有界的。既然和都是的有界子集，因而必存在的紧凸子集使得 且。命题6得证。命题6保证了下面给出的阿罗-德布罗经济的伴随经济定义的合理性。定义(伴随经济). 设是商品空间的紧凸子集，满足且，其中是阿罗-德布罗经济的闭凸化的可达消费集合，是的
36、可达生产集合。令, ,。这个经济叫做的伴随经济。命题7. 阿罗-德布罗经济的伴随经济具有服从瓦尔拉定律的自由处置均衡。证明：我们来验证伴随经济满足德布罗定理的条件。首先，由于和都是闭凸集，因而与都是的紧凸子集，条件(D1)得到满足。其次，原来在上连续、凸的偏好关系，现在在上当然也是连续凸的，更是连续弱凸的，条件(D2)得到满足。条件(D4)和(D5)是明显得到满足的。以下来看条件(D3)和(D6)。由所满足的条件(AD3)知，存在使得。再从条件(AD4)知，。因此，状态是经济和的可达状态，这说明，条件(D3)得到满足。对于条件(D6)，由于经济、闭凸化及伴随经济具有相同的可达消费集合，并且已知
37、偏好是凸的，因此只需说明任何可达消费向量都不是消费者在中的满足消费。为此，设是任一可达消费方案。从偏好的无满足性知，不是消费者在中的满足消费，即存在使得。从的凸性知，对一切成立。注意(为定义伴随经济的紧集)，因此必然存在实数使得。记，则且，这说明不是消费者在中的满足消费。条件(D6)得到满足。既然伴随经济满足德布罗定理的全部条件，因此具有服从瓦尔拉定律的自由处置均衡。命题7得证。到此，我们看到阿罗和德布罗对经济提出的条件虽然是很普通的，但这些普通条件却隐藏着经济系统的一些很深刻的性质。这些性质将能保证竞争均衡的存在性。阿罗-德布罗定理的证明：证明的思路是从伴随经济的服从瓦尔拉定律的自由处置均衡
38、，导出阿罗-德布罗经济的竞争均衡。根据命题7，设是伴随经济的服从瓦尔拉定律的自由处置均衡(这样的均衡必然存在)。记，则且。再记，则从知。从知，对任何实数，都有。的凸性保证了对一切实数成立。令，应用集合的闭性，便得到。于是，存在使得。我们指出：是经济的竞争均衡。事实上，是的可行状态，即，这一点是明显的。于是，为了证明是经济的竞争均衡，只需说明下面两个事实：事实1：且是生产者在价格体系下(在中)的均衡。事实2：是消费者在价格与收入下的均衡。先来证明事实1。既然是经济的可达状态，因而也是伴随经济的可达状态，这说明。再从是的自由处置均衡可知，应有。又给出，从而只有对一切成立。现在，设任意给出。假如，则
39、在连接和的线段内的任何一点处，都有。从(为定义伴随经济的紧集)可知，在线段内存在一点使得。对于这个点，当然也有。然而，集合的凸性保证了，因此。结合是的自由处置均衡，又有，出现矛盾。矛盾的结论说明不成立，即只有。这就说明是生产者在价格体系下在生产集合中的利润最大的净产出方案，即是生产者在价格体系下的均衡，事实1得到证明。再来证明事实2。设任意给出，且满足。假如。既然在的内部，可以在线段内找到一点使得。的凸性保证了，于是，而且偏好的凸性保证了。另外，和又保证了。既然是的自由处置均衡，于是从和可知，这与相矛盾。可见，不能成立，故只有。这就证明了是消费者在价格体系和收入下的均衡，即是中服从预算约束的效
40、用最大化向量。事实2得到证明。到此，阿罗-德布罗经济的竞争均衡存在性得到证明。第四节 均衡的福利含义前一节通过把一般均衡的存在性问题, 转化成为博弈的纳什均衡存在性问题，应用角谷静夫的不动点定理，得到了一般经济均衡存在性的严格证明。但一般均衡的意义不只在于它的存在性，更重要的是通过一般均衡来配置经济资源，这种资源配置方式是最优的，它能给社会带来最大福利。本节就来论证这一点。一经济有效性一个经济是否有效率，要看这个经济中经济资源是否得到了有效利用。经济效率一词就是专门用来表达经济资源的有效利用程度的。经济资源的有效利用程度，要以生产者提供的产品使消费者得到的满足程度来判断。只要生产要素的投入使用
41、能够让生产者向社会提供一定的产品供消费，从而消费者从产品消费中得到一定的满足，那么这种经济就具有一定的效率。如果说生产要素能够重新组合，使得按照新的组合来投入使用时生产者向社会提供的产品使消费者得到了更大程度的满足，那么生产要素的这种新组合方式，就要比以前的那种使用方式更为有效，相应地经济也就更有效率。如果生产要素的组合使用方式已经使经济达到了最有效率的状态，即按照其他任何组合方式来使用生产要素，都会使(某些)消费者的满足程度有所降低，那么就说此时的经济效率最大，资源配置最优，社会福利最大。为了准确表达经济效率概念，同本章第一节一样，设经济系统中有个消费者，个生产者，种商品，总资源向量为。于是
42、，所考虑的经济可写为：经济状态称为是对经济状态的一种帕累托改进(Pareto improvement)，是指：(PI1) 和都是的可行状态；(PI2) 对一切成立；(PI3) 至少对某个消费者来说，成立。帕累托改进的意义在于保证所有消费者的生活水平不降低的情况下，还要至少使某些消费者的生活水平有所提高，从而社会福利水平得到提高。如果一种可行经济状态已经不存在帕累托改进，那么就说这种经济状态是帕累托有效的(Pareto efficient)，或者说是经济有效的(economically efficient)。换言之，状态的经济有效性等价于：(PE1) 是可行状态；(PE2) 其他任何可行状态都不
43、是的帕累托改进。(一) 公有制经济的效率生产资料的公有制是社会主义市场经济的基础。所谓生产资料的公有制，可以表达为：经济的总资源向量不为个人私有，而为大家公有。这些总资源是过去留给现在的一切有用的物品，它们可能作为生产要素用于生产，也可能作为消费品直接用于消费。在充分利用市场机制对经济进行调节的情况下，公有制经济的一般均衡可用市场均衡来表达。只要实现市场均衡，那么公有制经济中各个个体的利益都将达到最大，而且社会总需求等于社会总供给。下面来看公有制经济实现市场均衡时的经济效率。公有制经济第一福利定理设公有制经济中诸消费者的偏好关系都是局部无满足的。如果是的市场均衡，那么经济状态必是帕累托有效的。
44、证明设是的市场均衡。偏好的局部无满足性保证了。这是因为，假若，则从偏好的的局部无满足性可知存在使得且，这与是消费者在价格体系和收入下的均衡(效用最大化向量)相矛盾。因此，只有。现在，用反证法来证明的经济有效性。假定不是帕累托有效的，则存在可行状态使得且对某个消费者，有。我们指出：且。事实上，假如，那么偏好的局部无满足性保证了存在满足且，这与是消费者在价格体系和收入下的均衡(效用最大化向量)相矛盾，故只有成立。而的成立，完全是由于是消费者在价格体系和收入下的均衡所致。既然且，因此。再注意，是生产者在价格体系下的均衡(利润最大化向量)，因此。这样，我们有，即。然而，和都是可行经济状态，所以。这就给
45、出，出现了矛盾。可见的非帕累托有效性之假定不能成立，即一定是帕累托有效的。第一福利定理得证。公有制经济第二福利定理设公有制经济满足下面条件：(1) 消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集；(2) 偏好关系是连续的、凸的，并且还具有如下的单调性： (3) 生产集合是非空凸集。如果是的帕累托有效状态并且，则存在价格体系和收入分配状态使得是的市场均衡。证明本定理的证明要用到凸集分离性定理(见第二章)。设是经济的帕累托有效状态，并且。令,偏好的凸性保证了集合是凸集。既然也是凸集，因此是凸集。(i). 事实上，对于任何，令，则由和定理中的条件(2)可知，即，从而, 。由此可得，。这就证明了。(ii).
46、用反证法证明(ii)。假定，则存在使得。从的定义知，必有经济状态满足：, 。现在，定义另一经济状态如下：， ，。显然，是的可行状态，并且由于而有，同时。所以，是的帕累托改进，这与的帕累托有效性相矛盾。矛盾的结论说明，不能成立。故只有，(ii)得证。(iii). 存在向量使得对一切成立。事实上，(i)保证了非空，(ii)说明了。于是，应用凸集分离性定理便知存在向量使得对一切成立。但从(i)知，因此这个向量必然为正向量，即，(iii)得证。以这个向量作为价格向量，并以作为消费者的收入。下面，我们来说明是经济的市场均衡。(iv). 对一切成立。事实上，对于消费者来说，设为任意给出。定义经济状态：,。
47、令，我们有：且。于是，从(iii)可知，即。(iv)得证。(v). 对一切成立。事实上，任给使。既然，存在满足。偏好的单调性保证了；而的连续性又保证了存在实数使得 ，从而。这样，(iv）便告诉我们，。既然且，我们又有。由此可知，这便说明。(v)得证。(vi). 对一切成立。实际上，对于生产者来说，任意给定以后，定义经济状态：,。令，则，从而由(iii)可知，即。这就证明了(vi)。(v)说明是消费者在价格体系和收入下的均衡，(vi)说明是生产者在价格体系下的均衡，而本来就是的可行状态，因此是经济的市场均衡。第二福利定理得证。(二) 私有制经济的效率私有制经济中，生产资料归私人所有，也就是说，经济资源为各个消费者分别占有。每个消费者的收入来源都有两部分，一部分是他提供自己拥有的资源所得到的收入，另一部分是他从生产者那里得到的利润分成。这样，私有制经济可写成：其中是消费者拥有的资源向量，社会总资源为，是生产者向消费者的利润分成比例，。私有制经济第一福利定理设私有制经济中诸消费者的偏好关系都是局部无满足的。如果是的竞争均衡，那么经济状态必然是帕累托有效的。证明当是经济的竞争均衡时，令 ，则是的市场均衡，因而经济状态是帕累托有效的。私有制经济第二福利定理设私有制经济满足
