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1、第二章 命题逻辑等值演算,本章内容,等值式基本等值式等值演算置换规则析取范式和合取范式析取范式与合取范式主析取范式与主合取范式,2.1 等值式,两公式什么时候代表了同一个命题呢？抽象地看，它们的真假取值完全相同时即代表了相同的命题。设公式A,B共同含有n个命题变项，可能A或B有哑元，若A与B有相同的真值表，则说明在2n个赋值的每个赋值下，A与B的真值都相同。于是等价式AB应为重言式。,2.1等值式,2.1等值式,(pq) (pq)的真值表,2.1等值式,例、 判断下列各组公式是否等值：（1）p(qr)与(pq)r （2）(pq)r与(pq)r,2.1 等值式,基本等值式,2.1 等值式,基本等
2、值式（续）,2.1 等值式,基本等值式（续）,2.1 等值式,等值演算与置换规则,2.1 等值式,应用举例证明两个公式等值,2.1 等值式,例、证明两个公式不等值,2.1 等值式,应用举例-判断公式类型,2.1 等值式,应用举例-判断公式类型,2.1 等值式,应用举例-判断公式类型,2.2 析取范式与合取范式,2.2 析取范式与合取范式,2.2 析取范式与合取范式,2.2 析取范式与合取范式,2.2 析取范式与合取范式,命题公式的方式,2.2 析取范式与合取范式,求公式的范式举例,2.2 析取范式与合取范式,求公式的范式举例,2.2 析取范式与合取范式,极大项与极小项,2.2 析取范式与合取范
3、式,极大项与极小项,2.2 析取范式与合取范式,2.2 析取范式与合取范式,主析取范式与主合取范式,2.2 析取范式与合取范式,主析取范式与主合取范式,2.2 析取范式与合取范式,主析取范式与主合取范式求公式的主范式,2.2 析取范式与合取范式,主析取范式与主合取范式求公式的主范式,2.2 析取范式与合取范式,主析取范式与主合取范式求公式的主范式,2.2 析取范式与合取范式,主析取范式与主合取范式求公式的主范式,2.2 析取范式与合取范式,主范式的用途与真值表相同,2.2 析取范式与合取范式,主范式的用途,2.2 析取范式与合取范式,主范式的用途,2.3 联接词的完备集,N元真值函数定义：就是
4、有n个自变量的函数，其自变量和函数值都是真值为0或者1。一元真值函数有4个,2.3 联接词的完备集,N元真值函数二元真值函数有16个,2.3 联接词的完备集,N元真值函数一般地，n元真值函数共有多少个呢？每个自变量有2个取值方式，n个自变量共有2n 个不同取值方式。对n个自变量的每个取值方式，函数值有2个取值方式，即为0或1，故n元真值函数共有 个。例如，3元真值函数共有 =256个。一般地，函数F:0,1n0,1称为n元真值函数，其中：0,1n为0，1的卡氏积。,2.3 联接词的完备集,真值函数与命题公式的关系 对于每个真值函数，都可以找到许多与之等值的命题公式。以2元真值函数为例，所有矛盾
5、式都与F0等值，所有的重言式都与F15等值。又如F13(pq) (pq) (pq) (pq)(pq)(pq)。更重要的是，每个真值函数与唯一的一个主析取范式（主合取范式）等值。还以2元真值函数为例， 0（矛盾式）， （pq） m1， （pq） m2，（pq）（pq） m2m3, 反过来，每个主析取范式对应无穷多个与之等值的公式，所以每个真值函数对应无穷多个与之等值的命题公式。由定理2.5可知，每个命题公式对应唯一的与之等值的真值函数。,2.3 联接词的完备集,联结词完备集 定义：设S是一个联结词集合，如果任何n(n1)元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集。定理
6、：S=,是联结词完备集。因为任何n(n1)元真值函数都与唯一的一个主析取范式等值，而在主析取范式中仅含联结词,，所以S=,是联结词完备集。,2.3 联接词的完备集,联结词完备集 以下联结词集都是完备集：(1) S1=, (2) S2=, (3) S3=,(4) S4=,(5) S5=, 解答：(1)，(2)的成立是显然的。(3) 由于S=,是联结词完备集，因而任何真值函数都可以由仅含S中的联结词的公式表示。同时对于任意公式A,B,AB (AB) (AB),因而任意真值函数都可以由仅含S3 = ,中的联结词的公式表示，所以S3是联结词完备集。(4) AB (AB)。 (5） AB AB。,2.3
7、 联接词的完备集,单元素联结词构成的联结词完备集 设p、q为两个命题，复合命题“p与q的否定式”（“p或q的否定式”）称作p,q的与非式（或非式），记作pq(pq)。符号()称作与非联结词（或非联结词）。pq为真当且仅当p与q不同时为真（pq为真当且仅当p与q同时为假）。pq(pq） pq(pq）,2.3 联接词的完备集,单元素联结词构成的联结词完备集 ，都是联结词完备集。 证 已知,为联结词完备集，因而只需证明其中的每个联结词都可以由定义即可。而 p (pp）pp；pq( pq) ( pq) (pq)(pq) ；pq( pq) (pq) pq (pp)(qq) ；由上可知是联结词完备集，类似可证是联结词完备集。 ，都是二元联结词。,End of Chapter 2,
