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1、材料力学,期中复习,重点内容材料力学的主要研究内容：物体受力后发生的变形、 由于变形而产生的内力以及由此而产生的失效和控制失效的准则。 强度、刚度和稳定性的概念 所谓强度，是指构件抵抗破坏的能力。 所谓刚度，是指构件抵抗变形的能力。 所谓稳定性，是指构件在荷载作用下保持其平衡形 式而不发生突然转变的能力。,第1章 材料力学的基本概念,材料力学的基本概念,重点内容 变形固体及其理想化的四种基本假设,连续性假设 微观不连续，宏观连续 各向同性假设 固体在各个方向上的力学性能完全相同 小变形假设 假设物体的几何尺寸、形状的改变与其总的尺寸相比 是很微小的。,重点内容 应力与应变的概念 应力是分布力在
2、截面上某一点的集度。其中垂直于截面的称为正应力；平行于截面的称为切应力。 正 应力的正负号：拉应力为正，压应力为负 切应力的正负号：使其对作用部分产生顺时针转动趋势者为正，反之为负 应变：当材料在外力作用下不能产生位移时，它的几何形状和尺寸将发生变化，这种形变就称为应变,材料力学的基本概念,第2章 杆件的内力与内力图,本章介绍杆件在轴向拉伸或压缩、扭转、平面弯曲 等 基本变形及组合变形下的内力计算。 重点知识 杆件的基本变形形式 1. 轴向拉伸与压缩变形 受力特点及变性特点：作用在直杆上的外力或外力的合力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或压缩。,杆件的内力与内力图轴力图：表示轴力沿杆轴
3、的变化规律的图线。,杆件的内力与内力图,杆件的受力与变形特征是：杆件受到在垂直于其轴线 的平面内的力偶作用，杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动。 扭转外力偶矩的计算,2.扭转变形,扭矩的正负号规定,按照右手螺旋法 则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。,截面,n,Mx,扭矩图的绘制 ：以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图,杆件的内力与内力图,3. 平面弯曲变形 受力特点及变形特点：作用于杆上的外力垂直于杆的轴线，原为直线的轴线变形后为曲线。 平面弯曲梁的内力：剪力和弯矩,剪力和弯矩的正负号约定,当截面上的剪力使所考虑的梁端有顺时针转动趋势着为正，反之为负；当弯矩使所
4、取梁段产生向下凸变形的为正，反之为负。,杆件的内力与内力图,剪力方程和弯矩方程 弯矩图和剪力图,一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化，若以横坐标 x 表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为 x 的函数。,剪力方程,弯矩方程,依照剪力方程和弯矩方程绘制的内力曲线图( x轴-横截面位置，y轴-剪力弯矩) 称为剪力图和弯矩图。,弯矩、剪力与荷载集度之间的关系,上述各式为梁的平衡微分方程有平衡微分方程可得出如下结论：,杆件的内力与内力图,1）当q = 0时FS(x)=常数，剪力图为一水平直线段M(x)为一次函数，弯曲图为一斜直线段当q =常数时（均布载荷）FS(
5、x)为一次函数， 剪力图为一斜直线段 当q 0 时（分布载荷向上），单调上升 当q 0 时（分布载荷向上），抛物线上凸 当q 0 时（分布载荷向下），抛物线下凸,2）当剪力FS(x) = 0 时，弯矩取极值 当FS(x) 0 时，弯矩为递增函数 当FS(x) 0 时，弯矩为递减函数集中载荷作用处，剪力有突变，弯矩连续，但呈现一个尖点集中力偶作用处，弯矩有突变，剪力连续,1. 简易法作梁的内力图,就是利用荷载集度和剪力、弯矩的微分关系，很方 便地绘制出剪力图和弯矩图。,2、利用叠加原理绘制剪力图和弯矩图 当梁承受几个荷载共同作用时，梁的某一横截面上 的弯矩，就等于各个荷载单独作用下该截面的弯矩的
6、代数和。,3、组合变形杆件的内力与内力图 在实际工程中，不少杆件在各种不同荷载共同作用下，会同时产生两种或两种以上的基本变形，这类变形称为组合变形。,重点知识 轴向拉压杆件的横截面上的应力,第3章 轴向拉压杆件的强度与变形计算,横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀,得到横截面上正应力公式为:,轴向变形, 轴向拉压杆的变形计算,公式的适用条件,1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律,2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。,横向应变,泊松比,泊松比 v 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于
7、各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系,胡克定律的又一种表达式,拉压超静定计算,拉压杆的强度计算,拉压杆的特点是横截面上的正应力均匀分布，而且各点均处于单向应力状态，因此对于等截面直杆其强度条件为:,FNmax是杆中的最大轴力（内力）,从变形几何方面列变形协调方程,利用力与变形之间的关系，列补充方程,联立平衡方程、补充方程，即可求未知力,第4章 材料在拉伸和压缩时的力学性能,材料的力学性能：是指材料在外力作用下变形与破坏的 性能。 低碳钢在拉伸时的力学性能,对低碳钢Q235试件进行拉伸试验，通过s-e 曲线，整个试验过程可以分为四个阶段:,弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 颈缩阶段,典型的
8、塑性材料,材料在拉伸和压缩时的力学性能,（1）延伸率,断裂时试验段的残余变形，l试件原长,5%的材料为塑性材料； 5%的材料为脆性材料。,（2）断面收缩率,断裂后断口的横截面面积，A试件原面积,Q235的断面收缩率60%。,冷作硬化与冷作时效,:,对卸载后的试样立即重新加载，材料 比例极限得到了提高，而断裂时的塑性应变减少了，这种现象称为冷作硬化,材料在拉伸和压缩时的力学性能,若对卸载后的试样停留一段时段时间再重新加载，则材料的比例极限有更大的提高，其强度极限得到提高，这种现象称为冷作时效,材料在拉伸和压缩时的力学性能,灰口铸铁拉伸时的力学性能,铸铁拉伸的应力应变曲线,曲线的特征：只有断裂时的
9、强 度极限，强度极限是衡量其强度的唯一标准,铸铁直到拉断也没有出现颈缩现象，断口是平直的，是典型的脆性材料,材料在拉伸和压缩时的力学性能,低碳钢压缩的应力应变曲线,低碳钢压缩,在屈服阶段以前，低碳钢压缩力学性能与拉伸力学系能相同。在屈服阶段以后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，抗压能力也继续增高，因而测不出压缩时的强度极限。,材料在拉伸和压缩时的力学性能,铸铁压缩,铸铁压缩的应力应变曲线,压缩后破坏的形式:无明显的塑性变形,脆性材料抗压强度也远高于抗拉强度，适宜做受压构件,材料在拉伸与压缩时的力学性能,许用应力 材料的许用应力 取决于材料的极限应力和安全系数，即 = /n 对于塑性材料，屈服
10、极限作为极限应力 对于脆性材料，强度极限作为极限应力,应力集中,因构件截面尺寸突变而造成的局部区域内应力应力显著增大的现象,重点内容: 圆轴扭转时横截面上的切应力,第4章 扭转杆件的强度与刚度计算,截面上某点的切应力,该截面上的扭矩-内力矩,所求的点至圆心的距离,截面对圆心的极惯性矩,扭转杆件的强度与刚度计算,对某一截面而言，Mx 为常数， Ip 也是常数，因此横截面上的切应力是 r 的线性函数,圆心处 r = 0 t = 0,外表面 r = r max t = t max,取,Wp 截面的抗扭截面模量，单位 mm3 m3,扭转杆件的强度与刚度计算,圆截面的极惯性矩和扭转截面系数,对于实心圆截
11、面,对于空心圆截面,扭转杆件的强度与刚度计算,纯剪切的切应力互等定理,在单元体相互垂直的平面上，切应力必定成对存在，它们大小相等，都垂直于两个平面的交线，方向则同时指向或同时背离交线，这一规律成为 切应力互等定理。,单元体四个侧面均只有切应力而无正应力 纯剪切状态。,圆轴扭转时横截面上的应力状态是 纯剪切状态。,扭转杆件的强度与刚度计算,圆轴的扭转变形及相对扭转角,对于轴长为L,扭矩T为常数的等截面圆轴,同种材料阶梯轴扭转时或各段的扭矩不同,相对扭转角j 的单位: rad,扭转杆件的强度与刚度计算,圆轴的强度计算,圆轴扭转时，横截面上每点都处于纯剪切状态，切应力沿径向线性分布，横截面上最大切应
12、力位于圆轴表面，因此，等直圆轴的强度条件是:,圆轴的刚度计算,单位长度扭转角的最大值不得超过某一规定的许用值,第6章 应力状态分析及强度理论,应力状态的概念,应 力,哪一个面上？哪一点？,哪一点？哪个方向面？,指明,应力状态是指过受力体内一点所有方位面上应力的集合，又称为一点处的应力状态,应力状态分析及强度理论,2.主单元体 围绕一点按三个主平面方位截取的单元体。,1.主平面 单元体中切应力为零的截面。,3.主应力 主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,应力状态分析及强度理论,应力状态分类：单向应力状态、二向应力状态（平面应力状态）、三向应力状态（空间应力状态） 二向应力状态的解
13、析法和图解法,应力圆的绘制,1. 确定点D(sx,txy),2: 确定点D(sy,tyx) tyx= -txy,3: 连接DD与s 轴交于C点,4: 以C为圆心，CD（CD）为半径画圆。,利用应力圆确定a 角上的正应力和切应力,由x轴到任意斜面法线n 的夹角为逆（顺）时针的a角，在应力圆上从D点也按逆（顺）时针转动，且使对应的圆心角为2a。（2倍角关系）,利用应力圆求主单元体（主应力的大小和方位）,注意A1,A2两点,这两点的切应力为0 主应力,三向应力状态的应力圆,最大切应力,最大应力最小应力,应力状态分析及强度理论,广义胡克定律,以上被称为广义胡克定律。,工程中常用的四种强度理论,最大拉应
14、力理论（第一强度理论） 最大拉应力是引起材料断裂的主要原因。 断裂条件：复杂应力状态下 等于单向应力拉伸 断裂时的最大拉应力（公式见课本106）最大拉应变理论（第二强度理论） 最大拉应变是引起材料断裂的主要原因。 断裂条件：材料最大拉应变 达到材料单向拉 伸断裂时的最大拉应变 （公式见课本107）,最大切应力理论（第三强度理论） 最大切应力理论认为，引起材料屈服的主要原因是最大切应力，不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力值，材料就发生屈服破坏。相应的强度条件（见课本107） 形状改变能密度理论（第四强度理论） 形状改变能密度理论认为，引起材料屈服的主要是形
15、状改变能密度，不论材料处于何种应力状态，只要形状改变能密度达到材料单向拉伸屈服时的形状改变能密度，材料就发生屈服破坏。相应的强度条件（见课本107）,工程中一种常见的应力状态的强度条件,如图所示的平面应力状态 根据第三强度理论与第四强度理论建立的强度条件：,第7章 截面的几何性质,设该图形形心 ( yc , zc ),与均质等厚薄板重心坐标相同,由以上可知，若S z= 0和S y=0，则y c= 0和 z c =0。图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心。,1、静矩与形心,静矩的量纲 L3 m3 mm3,截面的几何性质,惯性矩和极惯性矩,定义：,平面图形对 z 轴的惯性矩（二次矩）,平
16、面图形对 y 轴的惯性矩（二次矩）,若以 r 表示微面积dA至原点O的距离,图形对坐标原点O 的极惯性矩,截面的几何性质,常见简单截面图形的几何性质,平行移轴公式,梁弯曲时的正应力和切应力公式,第8章 平面弯曲杆件的应力与强度计算,AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为横力弯曲,CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。,平面弯曲杆件的应力与强度计算,cc 是中性层和横截面的交线，称为中性轴,中性层：梁变形后，由于横截面仍保持为平面，所以沿截面高度，从材料的纵向伸长区到缩短区，中间必有一层材料的长度不变，这一层称为中性层,梁的正应力
17、计算公式,对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当横截面的弯矩为正时，则s ( y )沿截面高度的分布规律:,受压一侧正应力为负，受拉一侧正应力为正,由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。,取 称为弯曲截面系数,横力弯曲时梁横截面上的切应力,矩形截面梁的切应力公式,横截面上的剪力,整个截面对中性轴的惯性矩,梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩,所求切应力点的位置的梁截面的宽度。,在截面的两端，y = h/2,在中性层，y =0,梁的强度计算,一般情况下梁的各个横截面上既有剪力又有弯矩，因此必须要进行正应力强度计算和切应力强度计算，对于等截面梁，其基本
18、公式是:,第三类危险点：正应力与切应力均较大处。 强度条件：,梁的合理强度设计,梁的合理受力梁的合理截面形状变截面梁和等强度梁,弯曲中心,弯曲中心的位置仅取决横截面的形状和尺寸，而与荷载和材料的性质无关,第九章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程,梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。,某截面的竖向位移，称为该截面的挠度,某截面的法线方向与x轴的夹角称为该截面的转角,挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位置有关，可以表示为关于 x 的函数。,平面弯曲杆件的变形与刚度计算,积分法求梁的变形,梁的挠曲线近
19、似微分方程,对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁 EI 为常数）,再进行一次积分,可得到挠度方程,其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。,平面弯曲杆件的变形与刚度计算,边界条件,在约束处的转角或挠度可以确定,连续条件,在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边界条件或连续条件将其确定。,叠加法求梁的变形,在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷
20、共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。,用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材172-173页表9-1计算得出。,对梁进行分段刚化，利用受力与变形等效的原则来处理,首先刚化AB段，这样BC段就可以作为一个悬臂梁来研究，,再刚化BC段，由于BC段被刚化，可将作用于BC段的均布载荷简化到B支座 ，得到一个力和一个力偶,力F直接作用于支座，对梁的变形没有影响，力偶M引起简支梁AB的变形，同样， 段上的均布载荷也将引起AB段变形，,逐段刚化法求解变形,梁的刚度条件,为使梁具有足够的刚度，需根据工程的要求限制梁的最大挠度与最大转角分别不超过各自的许用值。梁的刚度条件可表达为（见175页公式） 变形比较法解简单超静定梁 1)确定超静定次数，选择静定基，解除多余约束，用相应的多余约束力代替多余约束的作用。 2）求出在原荷载和多余约束力的共同作用下所引起的多余约束处的变形。 3）用变形比较法列出变形协调方程，作为补充方程。 4）由补充方程和平衡方程求解出支座约束力。,
