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1、函数的零点 高一数学 马君,欢迎走进数学殿堂,方 程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函 数,函数的图象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,(1,0)、(3,0),(1 , 0),无 交 点,x22x3=0,y= x22x+3,问题探究,问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标,函数图象与X轴的交点,方程ax2 +bx+c=0(a0)的根,函数y= ax2 +bx+c(a0)的图象,判别式 =b24ac,0,=0,0,函数的图象与 x 轴的交点,有两个相等的实数根x1
2、 = x2,没有实数根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等的实数根x1 、x2,问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？,函数的零点,定义：,对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,使f(x)=0的实数x,定义辨析：,求函数零点的步骤：,(1)令f(x)=0;,(2)解方程f(x)=0；,(3)写出零点,函数的零点,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)有零点,等价关系,零点的求法,代数法,图象法,函数y=f(x)的图象与x轴有交点,例1:求证函
3、数f（x）=2x2+3x-有两个不同的零点,函数的零点的判定,问题探究,零点存在性的探索,观察函数的图象在区间(a,b)上_(有/无)零点；f(a)f(b)_0（或） 在区间(b,c)上_(有/无)零点；f(b)f(c) _ 0（或） 在区间(c,d)上_(有/无)零点；f(c)f(d) _ 0（或）,零点存在性的探索,结论,结论,零点存在性的探索,讨论：,（1）如果函数具备上述两个条件时， 函数有多少零点呢？,（2）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？,（3）如果把结论中的条件“f(a) f(b)0去掉呢？,（4）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出
4、f(a) f(b)0的结论吗？,（5）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？,如果函数 y=f(x) 在a,b上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异（即f(a) f(b)0）,且是单调函数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。,零点唯一性的探索,例2：试证明函数f(x)=x3+x2+1在区间（-2，-1）上有零点.,证明：,因为：f(-2)=-30f(-1)=10,且函数f(x)在区间( -2，-1 )上的图象是,不间断的,所以函数f(x)在区间（-2，-1）上存在零点.,拓展延伸:函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1)上有零点，那么它更靠近那个端点呢？,
5、1、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ）A m 2 B m2 D m22、函数f(x)=x3-16x的零点为( ) A (0,0),(4,0) B 0,4 C ( 4 ,0), (0,0),(4,0) D 4 ,0,43、函数f(x)= x3 3x+5的零点所在的大致区间为（ ） A （1，2） B （ 2 ，0） C （0，1） D （0， ）,练一练,B,D,A,4、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x,f(x)对应值表：,那么函数在区间1，6上的零点至少有（ ）个 A 5 B 4 C 3 D 2,C,收获与体会:,1函数零点的定义2等价
6、关系 3函数的零点的存在性以及惟一性的判断,用二分法求方程的近似解,竞猜游戏,从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为个。,请你思考,A B C D E F G H I J K L M N O,查找线路电线、水管、气管等管道线路故障、实验,定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，也叫对分法，常用于：,设计、资料查询；,也是方程求近似解的常用方法！,关于解方程,你知道多少?,分解因式法;,公式法;,转化成求函数的零点法;,图象法等等,我国古代数学家已比较系统地解决了部
7、分方程求解的问题,在九章算术,北宋贾宪的黄帝九章算法细草,南宋秦九韶的数书九章中均有记载.,Abel,Galois,在十六世纪,人们已经找到了三次和四次方程的求根公式,但对高于四次的代数方程,类似的努力却一直没有成功.,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于四次的代数方程不存在求根公式.,（1，2）,1.5,f(1.5)0,（1，1.5）,1.25,f(1.25)0,（1.25，1. 5）,1.375,f(1.375)0,（1.25，1.375）,1.3125,f(1.3125)0,（1.3125，1.375）,探一探,求函数 一个零点(精确度0.1
8、).,解:,?,?,?,?,函数的零点近似值可取为1.3125.,1,0.5,0.25,0.125,0.0625,(精确度0.01),对于在区间a,b上连续不断且f(a) f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。,二分法,议一议,给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的 步骤:,1.确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度；,3.计算f(c)：,(2)若 ,则令 (此时零点 );,(3)若 ,则令 (此时零点 );,(1)若 ,则c 就是函数的零点;,2.求区间(a,b)的中点 ,记为c;,借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解(精确度0.1).,解:令,试一试,二分法只能用来求变号零点,自选练习1,A,D,C,B,B,端点函数值异号的区间内有零点, 判断是非,用二分法求 在(1,2)上零点的近似值时, 出 ,则此时可推知零点 .,转 化思想,逼 近思想,数学源于生活,数学用于生活,小结,二分法,数形结合,1.寻找解所在的区间,(1)图像法,(2)试函数值法,2.不断二分解所在的区间,3.根据精确度得出近似解,用二分法求方程的近似解,谢谢大家！,
