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1、第一章 集合与函数概念,第二章 基本初等函数,第三章 函数应用,http:/,数与形,本是相倚依焉能分作两边飞数无形时少直觉形少数时难入微数形结合百般好隔离分家万事休切莫忘,几何代数统一体永远联系莫分离 华罗庚,http:/,图示法,一、知识结构,http:/,一、集合的含义与表示,1、集合：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合,2、元素与集合的关系：,3、元素的特性：确定性、互异性、无序性,（一）集合的含义,http:/,(二)集合的表示,1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并放在 内,2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在x| 内,3.图示法 Venn图,数轴,
2、http:/,二、集合间的基本关系,1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集. 若集合中元素有n个，则其子集个数为 真子集个数为 非空真子集个数为,2、集合相等：,3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,2n,2n-1,2n-2,http:/,三、集合的并集、交集、全集、补集,全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，用U表示,A,B,http:/,0或2,题型示例,考查集合的含义,http:/,考查集合之间的关系,http:/,1,2,3,4,5,3,http:/,返回,http:/,1.设 ,其中 ,如果 ，求实数
3、a的取值范围,扩展提升,http:/,2.设全集为R，集合 ，（1）求： AB，CR(AB)；（数轴法）（2）若集合 ,满足 ，求实数a的取值范围。,http:/,练习,1.集合A=1,0,x,且x2A,则x 。,3.满足1,2 A 1,2,3,4的集合A的个数有 个,-1,B,3,http:/,函数的复习主要抓住两条主线,1、函数的概念及其有关性质。,2、几种初等函数的具体性质。,http:/,函数,函数知识结构,http:/,B,C,x1x2x3x4x5,y1y2y3y4y5,y6,A,函数的三要素：定义域，值域，对应法则,A.B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一
4、个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。,一、函数的概念：,思考:函数值域与集合B的关系,http:/,二、映射的概念,设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:AB为集合A到集合B的一个映射,映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一,http:/,函数的定义域：,使函数有意义的x的取值范围。,求定义域的主要依据,1、分式的分母不为零.2、偶次方根的被开方数不小于零.3、零次幂的底数不为零.4、对数函数的真数大于零.5、指、对数函数的底数大于零且不为1.
5、,6、实际问题中函数的定义域,http:/,（一）函数的定义域,1、具体函数的定义域,1.【-1,2）（2，+）2.（-，-1）（1，+）3.（34,1】,http:/,复合函数定义域的求法,复合函数求定义域的几种题型,解:,由题意知:,解：,由题意知:,解： 由题意知:,练习:,D,解： 由题意知:,练习,(1)当K=0时, 30成立,解:,题型四：已知函数的定义域，求含参数的取值范围。,解:定义域是R,综上知:实数a 的取值范围为,二、函数值域求解,1、观察法：,总结：观察法就是利用常见函数的值域来求函数的值域.,2、配方法：,总结：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法， 一般是根据函数
6、所给x的取值范围结合函数 的图象求得函数的值域.,例1、求函数 的值域,例2、求函数 的值域,3、换元法,总结：换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域 容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.,例4、求函数 的值域,4、分离常数法,5、反解法：,6、判别式法,解：,，,函数的定义域为R，原式可化为：,整理得,（1）若y=1,即2x=0,则x=0 ；,综上：函数是值域是,7、图象法,例7、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.,解：将函数化为分段函数形式：,由图象可知，函数的值域是,3 ，,三、函数的表示法,1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 象 法,如何求函数解析式,一、【配凑
7、法（整体代换法）】,如何求函数解析式,一、【配凑法（整体代换法）】,可把 看成一个整体，把 右边 变为由 组成的式子，再换元求出 的式子。,若已知,的表达式，欲求,的表达式，,二、【换元法】,等式变形,解题步骤：,把 t 换成 x,把 x 换成 t,等式变形(用 t 表示 x ）,解题时，把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。,二、【换元法】,解题步骤：,把 t 换成 x,把 x 换成 t,等式变形(用 t 表示 x ）,解题时，把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。,若已知 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知
8、条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得 的表达式。,三、【待定系数法】,正比列函数,反比列函数,一次函数,二次函数,由怛等式的性质，得,故所求函数的解析式为,若已知 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得 的表达式。,三、【待定系数法】,由怛等式的性质，得,故所求函数的解析式为,待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，,配凑法与换元法所依据的数学思想完全相同-整体思想。,配凑法,换元法,待定系数法,四、【方程组法】,对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式，依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把
9、和另一个函数看成未知数，解方程组得函数 的解析式。此类方法类似于解二元一次方程组，故称为方程组法。,四、【方程组法】,对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式，依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把 和另一个函数看成未知数，解方程组得函数 的解析式。此类方法类似于解二元一次方程组，故称为方程组法。,五、【赋值法 (特殊值代入法)】,10,f（x1）f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,三、函数的单调性,用定义证明函数单调性的步骤:,(1) 设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且x1x2;,(2) 作差， f(x1)f(x2) ;,(3)变形，通
10、过因式分解转化为易于判断符号的形式,(4)判号， 判断 f(x1)f(x2) 的符号；,（5）下结论.,http:/,设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以 下几个命题： (x1-x2)f(x1)-f(x2)0； (x1-x2)f(x1)-f(x2)0； 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为_. 解析 依据增函数的定义可知，对于，当自变 量增大时，相对应的函数值也增大，所以可推 出函数y=f（x）为增函数.,1函数奇偶性的概念(1)偶函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的_一个x，都有_，那么称函数yf(x)是偶函数(2)奇函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的
11、_一个x，都有_，那么称函数yf(x)是奇函数,f(x)f(x),f(x)f(x),任意,任意,四、函数的奇偶性,1奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于_对称(2)奇函数的图象关于_对称2函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系(1)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是_，且有_.(2)若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f(x)在(0，)上是_,y轴,原点,增函数,最小值M,增函数,3.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填 “相同”、“相反”）.(2)在公共定义域内， 两个奇函数的和是
12、_,两个奇函数的积是偶 函数； 两个偶函数的和、积是_； 一个奇函数，一个偶函数的积是_.,奇函数,偶函数,奇函数,相同,相反,基础自测1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 （ ） A.y=2x-3 B.y=-3x2 C.y=ln 5x D.y=-|x|cos x 解析 A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函 数.设y=f(x)=ln 5x=xln 5,f（-x）=-xln 5= -f（x）.,C,2.（2008全国理）函数 的图象关于 （ ） A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 解析 f（x）是奇函数.f（x）的图象关于原点对称.,C,3.（200
13、8福建理）函数f（x）=x3+sin x+1 (xR), 若f（a）=2，则f（-a）的值为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析 设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数. f（x）=g（x）+1.f（a）=g（a）+1=2， g（a）=1， g（-a）=-1，f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.,B,4.(2011年全国大纲卷)设f(x)是周期为2的奇函数,当0 x1时,f(x)=2x(1-x),则f(-)等于(),2已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)()A2 B2C98 D98解析：f(x4
14、)f(x)，f(7)f(34)f(3)f4(1)f(1)又f(x)f(x)，f(1)f(1)2122，f(7)2，故选A.答案：A,0,3已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的表达式为_,设x0，则x0，代入f(x)的解析式利用奇偶性即可得到结论.,设x0，则x0，代入f(x)的解析式利用奇偶性即可得到结论.,函数的图象,1、用学过的图像画图。,2、用某种函数的图象变形而成。,（1）关于x轴、y轴、原点对称关系。,（2）平移关系。,（3）绝对值关系。,http:/,反比例函数,1、定义域 .2、值域,3、图象,k0,k0,http:/,二次函数y=a
15、x2+bx+c(a0)的图像和性质,向上,向下,图 象,性 质,y,x,0,y=1,(0,1),y=ax(a1),y,x,(0,1),y=1,0,y=ax(0a1),定 义 域 :,值 域 :,恒 过 点：,在 R 上是单调,在 R 上是单调,a1,0a1,R,( 0 , + ),( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .,增函数,减函数,指数函数 的图像及性质,当 x 0 时，y 1.当 x 0 时，. 0 y 1,当 x 1；当 x 0 时， 0 y 1。,图 像 性 质,a 1 0 a 1,定义域 :,值 域 :,过定点,在(0,+)上是,在(0,+)上是,对数函数 的图
16、像与性质,( 0,+),R,(1 ,0),即当x 1时,y0,增函数,减函数,y0,y=0,y0,y0,y=0,y0,底数,幂,真数,指数,对数,2.指数式与对数式的互化:,2022/12/25,指数函数与对数函数 唐辉成,（2）几种常见对数2.对数的性质与运算法则（1）对数的性质 =_;logaaN=_(a0且a1).,e,ln N,lg N,logaN,10,N,N,负数与零没有对数(即N0).,(3)对数恒等式,对数的基本性质:,积、商、幂的对数运算性质：如果 a 0，且a 1，M 0， N 0 有：,将指数运算性质与对数运算性质的对照:,（a0,且a1,M0,N0 ）,指数运算性质,对
17、数运算性质,2022/12/25,指数函数与对数函数 唐辉成,（2）对数的重要公式 换底公式: (a,b均大于零且不等 于1)； 推广logablogbclogcd= _. (3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0,N0,那么 loga(MN)=_; =_;,logad,logaM+logaN,logaM-logaN,对数换底公式：,(-,0)减,(-,0减,(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),公共点,(0,+)减,增,增,0,+)增,增,单调性,奇,非奇非偶,奇,偶,奇,奇偶性,y|y0,0,+),R,0,+),R,值域,x|x0,0,+),定义域,y=x-1,y=
18、x3,y=x2,y=x,函数性质,幂函数的性质,2,1,x,y,=,http:/,双勾函数模型,奇偶性,单调性,趋势分析,值域,定义域,渐进线,奇偶性,单调性,值域,定义域,渐进线,奇偶性,单调性,抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如类比法、赋值法添、拆项等）。,高考题和平时的模拟题中经常出 现 。 抽象性较强；综合性强； 灵活性强； 难度大。,没有具体给出函数解析式但给出某些函数特性或相应条件的函数,抽象函数问题,http:/,http:/,一、一次函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y),解：,例1:,http:/,解法2：,http:/,例2：,解：,二.指数函数模型:f(x+y)=f(x)f(y),证明：,三.对数函数模型：f(xy)=f(x)+f(y),例4：,解：,
