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1、第十二章 机械振动,chapter 12,mechanical vibration,如：机械振动、电磁振动、分子振动、原子振动。,任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.,机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.,如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及原子的振动等.,机械振动的特点：,（1）有平衡点。,（2）且具有重复性。即具有周期性振动。,机械振动的分类：,（1）按振动规律分： 简谐、非简谐、随机振动。,（2）按产生振动原因分： 自由、受迫、自激、参变振动。,（3）按自由度分： 单自由度系统、多自由度系统振动。,（4）按振动位移分： 角振动、线振动。,（5）按系统参数特征分： 线性、非线性
2、振动。,简谐振动 最简单、最基本的振动.,12-1 简谐振动,一 弹簧振子的振动,弹簧振子,若弹簧本身的质量和摩擦力忽略不计，即只有弹性恢复力作用下的质点的模型称为弹簧振子,平衡位置,物体所受合力为零，物体所在位置称为平衡位置。,自然长度 l0,平衡位置(原点）,任意位置,令,即简谐振动的微分方程,该微分方程的通解,简谐振动的运动学方程,是由谐振子本身的性质决定的，称为振动系统的固有角频率。,简谐振动的振动方程,弹簧振子在弹性恢复力作用下的振动是简谐振动。,（1）运动学定义：物体位移随时间按余弦函数（或正弦函数）规律变化的运动称为简谐振动。x = A cos(t + ),（2）动力学定义：物体
3、仅受下式的合力作用的振动称为简谐振动。F = - k x,（3）简谐振动的运动微分方程 d2x / dt2+ 2 x = 0,简谐振动定义,讨论:竖直方向的弹簧振子的运动是否简谐振动？,选取受力平衡点作为位置坐标原点,小球在为置坐标 处所受弹性力,x,合外力,的解：,均与水平弹簧振子结果相同,例二,三 描写简谐振动的三个特征量,从描写简谐振动的运动学方程 中可看出，一个简谐振动系统，若确定了A、，则简谐振动系统的振动就完全确定了，因此称这三个量为简谐振动的三个特征量。,1 振幅A,物体的运动范围为： ，将物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振动的振幅。,X,2 周期和频率,（1） 周期,完成
4、一次振动需时间-振动的周期。,（2）频率,每秒内振动的次数称为频率，单位：赫兹（HZ）,角频率,对单摆,周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关,3 相位,X,( 取 或 ),4 常数 和 的确定,或,取,例四,例一,A = 0.04 (m),T = 2 (s),w = 2 p / T = p (rad /s ),t=0时,在不能延伸的轻线下端悬一小球m，小球在重力和拉力作用下，在铅直平面内作往复运动，这样的振动系统称为单摆。,悬线与铅直方向之间的角度作为小球位置的变量，称为角位移，规定悬线在铅直线右方时，角位移为正 。,悬线的张力和重力的合力沿悬线的垂直方向指向平衡位置。,二 单摆的振动,模
5、型,平衡位置-铅直方向,任意位置,当很小时 sin ( 5 ),符合简谐振动的动力学定义,由牛顿第二定律,单摆运动学方程：,恢复力,12-2 简谐振动的能量,线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒,以弹簧振子为例,（振幅的动力学意义）,总机械能,振幅不变,均随时间而变且能量相互转换,例 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩檫），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解:,例 质量为 的物体，以振幅 作简谐运动，其最
6、大加速度为 ，求：,解 （1）,（2）,（3）,由,12-3 旋转矢量,描述谐振动的方法：,2. 曲线法：,3. 旋转矢量法：,1. 函数法：,t+,t = t, : 初相位,t+ ：相位,11,t = 0,t+,t = t, : 初相位,t+ ：相位,11,t = 0,t+,t = t, : 初相位,t+ ：相位,11,t = 0,t+,t = t, : 初相位,t+ ：相位,11,t = 0,t+,t = t, : 初相位,t+ ：相位,11,t = 0,t, : 初相位,t+ ：相位,11,t = 0,循环往复,A旋转一周，投影点作一次全振动，所需时间为谐振周期。,t+,t = t,11
7、,t = 0,矢量 画法小结,续上,振动质点位移、速度与特征点 (t=0时对应的),x00时在1,4象限v00时在3,4象限,例1. 一物体沿 x 轴作简谐振动，A= 12cm, T = 2s 当t = 0时, x0= 6cm, 且向x正方向运动。,解：（1）由旋转矢量图看,（2）t =0.5s 时, 物体的位置、速度、加速度。,求（1） 初位相。,（2）t =0.5s 时,例一,例三,相位差：表示两个振动状态相位之差 .,1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.,2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）,例 已知振动曲线求初相位及
8、相位。,如图所示的xt振动曲线，已知振幅A、周期T、且t=0 时 ，求：,(1)该振动的初相位；,(2)a、b两点的相位；,(3)从t=0到a、b两态所用的时间是多少?,方法二，用旋转矢量法,由已知条件可画出t=0时振幅矢量，同时可画出，时刻的振幅矢量图如图所示。由图可知，,(3),(1),(2),例 已知振动曲线求初相位及相位。,如图所示的xt振动曲线，已知振幅A、周期T、且t=0 时 ，求：,(1)该振动的初相位；,(2)a、b两点的相位；,(3)从t=0到a、b两态所用的时间是多少?,解：方法一,(1) 由题图可知， t=0时，,(2) 由题图a点，,则a点的相位,由题图b点，,故b点的
9、相位为 :,(3) 设从t=0到两态所用的时间为ta、tb,12-4 振动的合成,第三节 振动合成,解析法推导：,其中，,解之可得：,1）相位差,同相位,合振幅最大,相互加强,2）相位差,反相位,合振幅最小,相互削弱,振动合成二,若,与,较大且相差不大，,频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.,（包络线）,两分振动的频率,合振动频率,n,8.5 Hz,(,),(,),(,),(,),合振幅每变化一周叫做一拍，单位时间出现的拍次数叫拍频。拍的频率为两个分振动的频率之差。,一拍,质点运动轨迹,1） 或,（椭圆方程）,直线,2）,3）,直线,正椭
10、圆,4. 振动方向垂直、不同频率的谐振动的合成,轨迹曲线称为李萨如图形。,一般轨迹曲线复杂，且不稳定。,由切点数之比及已知频率可测未知频率。,可以证明：,两振动的频率之比 成整数时, 合成轨迹稳定。,图形形状还与位相差及振幅有关,46,振动合成四,小议链接2,用旋转矢量描绘振动合成图,任意形状的刚体悬挂后绕一固定轴作小角度摆动，称为复摆。,设质心到转轴距离为L，则当其摆角为时刚体受到的重力矩为：,当很小时 sin ( 5 ),根据转动定理：,【复摆】,（ 点为质心）,复摆运动学方程：,恢复力矩,复摆动力学方程：,是位相，是角频率：,复摆的周期,例五,解,（1）简谐振动方程,代入,（2）由起始位置运动到 处所需要的最短时间.,法一 设由起始位置运动到 处所需要的最短时间为,解法二,起始时刻,时刻,
