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1、第七章 轴的扭转,圆轴的弹性扭转非圆截面杆件的弹性扭转圆轴的弹塑性扭转非圆截面杆件的弹塑性扭转,71 圆轴的弹性扭转,应力分量：,应力分量：,平衡微分方程,应力边界条件：,侧面：,端面：,用应力表示的相容方程：,弹性解：,2. 应变分量：,2. 位移分量：,位移分量：,位移条件： （1）坐标原点固定： （2）原点的单元固定：,x,y,z,o,M,t,r,位移分量：,（1）坐标原点固定：,（2）原点的单元固定：,过原点沿 z 向的线段在 xoz、zoy 面内不转动：,过原点沿 x 向的线段在 xoy面内不转动：,刚体位移为零。,单位长度的相对扭转角,平截面假设,72 非圆截面杆件的弹性扭转,一、
2、应力分量,平衡微分方程,用应力表示的相容方程：,用扭转应力函数表示的相容方程。,边界条件：,侧面：,侧面边界条件：,多连域：,端面：,二、 应变分量：,三、位移分量：,不计刚体位移,q 为单位长度的相对扭转角,w,解题步骤：,（1）确定扭转应力函数：,（2）确定应力函数中的待定常数：,（3）确定应力分量：,（5）确定单位长度的扭转角及位移分量：,w,多连体：,例题1：椭圆截面杆的扭转,o,a,b,x,y,解：,满足：,M,端面边界条件：,例题1：椭圆截面杆的扭转,解：,应力分量：,单位长度的扭转角：,位移分量：,扭杆的横截面不再保持为平面，而翘曲为曲面。,例题2：空心圆轴的扭转,o,a,b,x
3、,y,解：,满足：,M,端面边界条件：,四、弹性扭转的薄膜比拟,比拟：,两个概念完全不同的问题，如果数学表达式相同，可借助比较直观的简单问题讨论复杂的抽象的问题。,薄膜在均匀压力作用下的垂度与等截面扭杆问题的应力函数在数学上是相似的，故可用比拟方法求扭转问题的解答。,（2）边界形状与扭杆横截面相同。,（1）薄膜均匀张在水平边界上。,（3）给薄膜施加均匀压力。,薄膜上的点产生垂度,薄膜具有柔顺性,薄膜只受表面张力作用,公式推导：,（1）建立坐标系：,（2）取微元体：,薄膜单位长度上的张力：T,薄膜在周边上的挠度：,薄膜与支承面间体积的2倍：,（1）薄膜的垂度对应扭转应力函数，薄膜与支承面体积的2
4、倍对应扭矩。,讨论：,（2）薄膜在 y 方向斜率对应扭杆在同一点处 x 方向的剪应力。薄膜在 x 方向斜率对应扭杆在同一点处 y 方向的剪应力的大小。,扭杆横截面上某一点沿任意方向的剪应力，等于薄膜对应点处沿垂直方向的斜率。,最大剪应力对应于薄膜斜率最大处。,剪应力 t 等于 j 的梯度的模，方向沿 j=const 曲线（薄膜中的等高线）的切线方向。j 的等值线称剪应力迹线。最大剪应力产生于j 的梯度最大处（薄膜中等高线密度最大处）。,（3）剪应力环量定理：,在扭转应力函数的闭合曲线上，剪应力沿其迹线的回路积分（剪应力环量）与所围面积成正比。,证明：,（4）利用薄膜比拟不仅可用实验方法模拟扭转
5、问题，而且有助于寻找应力函数，分析扭杆内的应力分布情况，找出最大剪应力的位置。,例题3：矩形截面杆的扭转,解：,ab,应力函数：,y,应力函数：,应力函数：,应力分量：,一般情况：,五、薄壁杆件的扭转,1. 开口薄壁杆件,第 i 个长条：,（薄膜比拟）,2. 闭口薄壁杆件,外边界：,内边界：,取：,A：杆壁中心线包围的面积,最大剪应力发生在壁厚最小处。,剪应力环量定理：,h,a,y,x,等厚薄壁杆件：,S ：杆壁中心线全长, 剪力流,S1、 S2、 S3 ：剪应力t1、 t2、 t3作用线全长,3. 具有两个内边界的闭口薄壁杆件,剪应力环量定理：,A1,d3,q,h2,3. 具有两个内边界的闭
6、口薄壁杆件,A2,d1,d2,h1,h3,t1,t2,t3,解答：,74 圆轴的弹塑性扭转,理想弹塑性材料：,1.弹性极限扭矩,ts,弹性解：,屈服条件：,2. 弹塑性阶段,ts,3. 塑性极限扭矩,ts,rp,4. 残余应力：当扭矩加至 Mp 后再卸载至零，在圆轴中产生的应力。,Mp :,卸去的应力： （按弹性计算）,残余应力：,74 非圆截面杆件的弹塑性扭转,一、弹性解,二、全塑性解,塑性应力函数,平衡方程：,屈服条件：,Tresca ：,Mises ：,全塑性条件下构件内应力函数应满足的基本方程,边界条件：,侧面上无面力：,端面上：,讨论：,对于理想弹塑性材料，剪切屈服极限 k 为常数，
7、 | grad p |=k 表明：应力函数 p 所代表的曲面斜率为常数。 p (x,y) 是一个等倾斜面构成的多面体，其坡度为k.所有 p (x,y)的等值线是相互平行的，且与截面的周边界平行。截面上的总剪应力 t 与 p (x,y) 的等值线相切。塑性极限扭矩Ml 是塑性应力函数所代表曲面所界体积的 2 倍。Nadai: 沙堆比拟法。,Nadai 沙堆比拟法：作一个形状与杆件截面相同的底板。在底板上堆放干沙，直至不能再增加为止。沙子的内摩擦系数为常数，沙堆表面为斜率为常数的曲面等倾面。,W：沙堆任意点的高度,a：沙子的内摩擦角,Nadai 沙堆比拟法：,w,W,a,1,k,比拟条件：,例题1
8、：圆轴的扭转的塑性极限载荷,R,例题2：矩形截面杆扭转的塑性极限载荷,正方形：,例题3：空心圆截面杆扭转的塑性极限载荷,o,a,b,比拟：沙堆外表面为等倾面，内边界处高度为常量截锥体,三、弹塑性解,弹性区：,塑性区：,边界条件：,侧面上无面力：,交界线上：,Nadai 薄膜屋顶比拟法：在一平板上开一个形状与杆件截面相同的孔。在孔上张紧一薄膜。在薄膜受压力作用的上面，用透明材料作一与沙堆比拟形成的表面相一致的等倾顶盖（屋顶）,P = 0 ：膜水平,P0 ：膜向上弯曲，弹性变形,膜刚接触屋顶：弹性极限状态，截面开始屈服。,膜接触屋顶：弹塑性状态，相贴部分薄膜具有等倾斜率为塑性区；未接触部分为弹性区。,矩形截面杆扭转的薄膜屋顶比拟,弹塑性阶段,弹性阶段,全塑性阶段,塑性区,弹性区,
