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1、,第十三章 应力状态分析,13-1 引言,一、应力状态的概念,1. 点的应力状态,过受力构件内一点所作各截面上的应力情况，即过受力构件内一点所有方位面上的应力总体。,2. 一点应力状态的描述,以该点为中心取无限小正六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。,单元体三对面的应力已知，单元体平衡,单元体任意部分平衡,由截面法和平衡条件可求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。,二、应力状态的分类,1.主平面,单元体上无切应力的平面。,2.主应力,作用在主平面上的正应力。,3.应力状态的分类,任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对
2、主应力，且有：,（按代数值大小排序）, 三向应力状态,三个主应力都不等于零。, 二向应力状态,两个主应力不等于零。, 单向应力状态,只一个主应力不等于零。,13-2 平面应力状态应力分 析的解析法,一、任意斜截面上的正应力和切应力,平面应力状态下任意斜截面上应力表达式, 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体内任意点的矩顺时针为正，反之为负。, 斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度，逆时针转为正，顺时针转为负。, x 、x 是法线与x 轴平行的面上的正应力与切应力，即x 面上的正应力与切应力；y 、y 是法线与y 轴平行的面上的正应力与切应力，即y 面上的正应力与切应
3、力。,例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F =100kN，l = 2m ，b = 200mm ，h = 600mm ， =40o，求离支座l /4 处截面C点在斜截面n-n上的应力。,解： 求C 点所在截面的剪力、弯矩, 求C 点在横截面上的正应力、切应力, 作出C 点的应力状态图,二、主应力及主平面位置,求与z 轴平行所有截面上的最大（小）正应力及方位,解得：,代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得：,可确定两个相互垂直的截面,即max 、min 作用面上 = 0，即0截面为主平面，max、min为主应力。,即max 、min 作用面是互相垂直的面，为0截面和0+90o截面。
4、,1.,2.,3. max作用面方位角度0,即对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。,4.,三、最大切应力及其作用平面的位置,求与z 轴平行所有截面上的最大切应力及方位,解得：,代入平面应力状态下任意斜截面上切应力表达式,可确定两个相互垂直的截面,即max 、min 作用面是互相垂直的面，为1截面和1+90o截面，且1=0+45o 。,即max 、min作用面上,3.,1.,2.,例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。,解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大,作应力状态图,圆轴扭转时表面各点max所在平面连成倾角为45o的螺旋面，由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面
5、断裂破坏。,例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600Nm，拉力F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= d2t / 2。试用解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。,解： 求D 点在横截面上的正应力、切应力, 作出D点的应力状态图, 求D 点的主应力和主方向及最大切应力,主应力作用面的方位角,D 点最大切应力,13-3 平面应力状态应力分 析的图解法,一、应力圆方程, 应力圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力值，所有斜截面的应力值对应一个确定的应力圆。, 以 、为横、纵坐标轴，
6、则上式表示以为圆心， 为半径的应力圆。,二、应力圆的作法,建立-坐标系,连接DE与横坐标轴交于C 点，以点C 为圆心、CD半径作圆,在-坐标系中找到D(x ,x )和E(y ,y )两点,三、应力圆的应用,1. 确定单元体斜截面上的应力,以CD为基线，沿与角转向相同方向转2到新半径CH，则H 点坐标表示截面的、 。,H点横坐标,H点纵坐标,2.确定主应力的大小及主平面的方位,A、B点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。, A、B点对应正应力的极值, max作用面方位角度0, CA、CB夹角为180o，所以两主平面的夹角为90o。,3.确定最大切应力的大小及作用平面的位置,K、J点对应的纵
7、坐标表示最大、最小切应力。, 最大（小）切应力, CK、CJ夹角为180o，所以max 、min作用面的夹角为90o；同时max作用面的外法线可由1作用面的外法线逆时针转45o 得到。, 由应力圆可知,应力圆,单元体,夹角两倍转向相同,点面对应,例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600Nm，拉力F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= d2t / 2。试用图解法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。,解： 求D 点在横截面上的正应力、切应力, 作出D点的应力状态图,作应力圆，将ca
8、 沿逆时针转240o 得d 点（或将cb 沿逆时针转60o 得d 点），该点坐标为所求截面的应力,由应力圆可得,由应力圆可得,ca 到1 对应点逆时针转过67.5o,ca 到3 对应点顺时针转过112.5o,13-4 复杂应力状态的最大应力,一、三向应力圆,单元体作用三个主应力,平行于主应力1 方向的任意斜面 I 上的正应力和切应力与1无关，可由应力圆 I 表示。,同理：平行于主应力2和3方向的任意斜面 II 和 III 上的正应力和切应力分别与2和3无关，可分别由应力圆 II 和 III 表示。,三向应力状态中空间任意方向面上的正应力和切应力对应于应力圆I、II、III所围阴影区域内某一点的
9、坐标值。,二、最大应力,1.三向应力状态中最大（小）正应力,2.三向应力状态中最大切应力,最大切应力所在斜截面平行于2 ，其外法线与1 所在的平面的外法线成45o。,例：求图示应力状态的主应力及最大切应力。,解：由题可得,（主应力）,主应力,最大切应力,13-5 广义胡克定律,一点应力状态由三个正应力和三个切应力分量表示。对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围内时，正应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关。,x 、y 、 z同时作用，根据叠加原理得广义胡克定律,x 单独作用,y 单独作用,z 单独作用,主应变,例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知材料的弹性模量E = 210GPa ，泊松比= 0.25 ，圆筒的平均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600Nm，拉力F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= d2t / 2。求D点图所示方向的正应变。,解： 求D 点在横截面上的正应力、切应力, 作出D点的应力状态图, 求 方向的正应变,由广义胡克定律得,
