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1、带电粒子在磁场中运动的多解问题,带电粒子在磁场中运动的多解问题,带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解。形成多解的原因有：,磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。,2. 磁场方向不确定,受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。,1. 带电粒子电性不确定,3. 临界状态不惟一,带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。,4. 运动的重复性,带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是
2、圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。,1. 带电粒子电性不确定形成多解,受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。,（1）若粒子带负电,若粒子带正电，,（2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为,若粒子带正电，它从O到B所用的时间为,2. 磁场方向不确定形成多解,磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。,例2. 一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作
3、用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（ ）,A. B. C. D.,分析：,依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。,在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。,当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时,根据牛顿第二定律可知,得,此种情况下,负电荷运动的角速度为,当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，,得,此种情况下,负电荷运动的角速度为,应选A、C。,3. 临界状态不惟一形成多解,例3. 如图甲所示，A、B为一对平行板，板长为l，两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感
4、应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m，带电量为+q的带电粒子以初速v0，从A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求v0在什么范围内，粒子能从磁场内射出？,带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。,由于 所以,分析：当粒子从左边射出时, 若运动轨迹半径最大, 则其圆心为图中O1点, 半径 r1=d/4。,因此粒子从左边射出必须满足rr1。,练1一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0 ，方向与ad边夹
5、角为30，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。 （1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小； （2）若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围以及粒子在磁场中运动时间t 的范围。,解：,（1）粒子带负电, 由图可知：,R=L/2,据,则,（2）当v0最大时：,得R1 = L,则,当v0最小时：,得R2 = L/3,则,带电粒子从ab边射出磁场，当速度为 时，运动时间最短,速度为vmin时运动时间最长,粒子运动时间 t 的范围,练2如图所示，现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x轴射出，为了使电子能够经过x轴上的Q（
6、b，0）点，可在y轴右侧加一垂直于xOy平面向里、宽度为L的匀强磁场，磁感应强度大小为B，该磁场左、右边界与y轴平行,上、下足够宽（图中未画出）.已知， Lb。试求磁场的左边界距坐标原点的可能距离（结果可用反三角函数表示）,解：,设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r, 则,解得 ,当rL时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示，,由几何关系有 ,则磁场左边界距坐标原点的距离为,（其中 ） ,当r L时，磁场区域及电子运动轨迹如图2所示，,由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为,解得 ,4. 运动的重复性形成多解,带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。,
7、例题1,例题2,【变式题1】如图632所示，在空间中有一坐标系Oxy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域和，直线OP是它们的边界，区域中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内，边界上的P点坐标为(4L,3L)一质量为m电荷量为q的带正粒子从P点平行于y轴负方向射入区域，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O(忽略粒子重力)，已知sin37=0.6，cos37=0.8.求：,图632,(1)粒子从P点运动到O点的时间至少为多少？(2)粒子运动的周期?(3)粒子的速度大小可能是多少？,【解析】(1)设粒子的入射速度为v，用R1，R2，T1，T2分别表示粒子在磁场
8、区和区中运动的轨道半径和周期则qvB= m，qv2B= m T1= = ，T2= = 粒子先在磁场区中做顺时针的圆周运动，后在磁场区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短.,粒子运动轨迹如图所示 tana= =0.75，得=37 +=90粒子在磁场区和区中的运动时间分别为 t1= T1 t2= T2粒子从P点运动到O点的时间至少为t=t1+t2由以上各式解得t=,(2)粒子运动的周期,T=,(3)粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场区中运动，后在磁场区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O.这样粒子经过n个周期性的运动直到过O点，每个周期的运动
9、情况相同，粒子在一个周期内的位移为x= = = (n=1,2,3)粒子每次在磁场区中运动的位移为x1= x= x由图中几何关系可知： =cosa由以上各式解得粒子的速度大小为v= (n=1,2,3),【变式题2】如图642所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B.现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力求：(1)微粒在磁场中运动的周期(2)从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间,【解析】(1)洛伦兹力提供向心力Bv0q=m T= ， T=,(2)粒
10、子的运动轨迹将磁场边界分成n等分(n=2,3,4)如右图1、2、3所示：由几何知识可得： = ，tan = ，Bv0q =m 得 v0= tan (n=2,3,4),当n为偶数时，由对称性可得t= T= (n=2,4,6)；当n为奇数时，t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，即t= T+ T= (n=3,5,7),【变式题3】如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B。折线的顶角A90，P、Q是折线上的两点， AP=AQ=L。现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力。求：（1）若P、Q
11、间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v0应满足什么条件？（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用的时间。,由电场力与洛伦兹力平衡得：qE=qv0B得：E=v0B（3分）,根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足,其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为 或,设圆弧的半径为R，则有2R2=x2，可得：,n=1、2、3、（,当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为,其中n=1、3、5、,当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为,其中n=
12、2、4、6、,【变式题4】如图19所示，在直线MN右侧正方形ABCD区域内、外分布着方向相反且与平面垂直的匀强磁场和，磁感应强度的大小都为B. 正方形边长为L, AB边与直线MN方向夹角为450. 现有一质量为m、电荷量为q的带负电的微粒通过小孔O进入PQ与MN间的加速电场区域(进入时可认为初速度为零), 微粒经电场加速后从正方形ABCD区域内的A点进入磁场, 微粒进入磁场的速度垂直MN,也垂直于磁场.不计微粒的重力.(1)若微粒进入磁场的速度为v, 则加速电场的电压为多大?(2)为使微粒从A点进入磁场后,途经B点或D点到达C点,求微粒刚进入磁场时的速度v应满足什么条件?(3)求(2)问中微粒从A点到达C点所用的时间.,小结,1.带电粒子进入有界磁场,运动轨迹为一段弧线.,2.当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹,3.注意圆周运动中的有关对称规律:,(2) 粒子进入单边磁场时,入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角;,(1) 在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出.,
