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1、第四章 三角形,1 认识三角形,新知1 三角形的有关概念,(1) 三角形的概念.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.说明：三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次相接. 这三个条件缺一不可.,(2) 构成三角形的基本元素 (如图411).顶点：三角形中，相邻两线段的公共端点叫做三角形的顶点，三角形有三个顶点，点A，点B，点C.边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，三角形有三条边，AB，BC，CA.角：三角形的内角：三角形中，每相邻两边所组成的角叫三角形的内角；三角形有三个内角，ABC，BAC，ACB.,(3) 三角形的表示方法.三角形可用符号“”表示，三角形ABC可表
2、示为“ABC”，读作“三角形ABC”. 其中直角三角形用“Rt”表示.,【例1】如图412，图中有几个三角形？把它们表示出来，并写出B的对边.,解 图中的三角形有：BED，AED，ADC，ABD，ABC；B的对边有DE，AD，AC.点拨 此题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键.,解析 根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案.,举一反三,1. 如图413所示的图形中共有三角形( )A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个,2. 如图414所示，以AB为一边的三角形共有 个.,D,3,3. 如图415所示，在AB
3、E中，AE所对的角是 ，在ADE中，AD是 的对边，在ADC中，AD是 的对边.,ABE,AED,ACD,新知2 三角形的三边关系,(1) 定理：三角形任意两边之和大于第三边.如图416，上述内容可表示为abc，bca，acb.理论根据：两点之间线段最短.,(2) 推论：由abc，根据不等式的性质，得cba. 即三角形任意两边之差小于第三边.(3) 利用三角形三边的关系，可以确定在已知两边的三角形中的第三边的取值范围，以及判断任意三条线段能否构成三角形.,【例2】一个三角形的两边b4，c7，试确定第三边a的范围. 当各边均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的各边长各是多少？解析
4、 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边a的取值范围，即可得出结果.,解 当一个三角形的两边b4，c7时，第三边a的范围为74a74，即3a11.当各边均为整数时，第三边可能为：4,5,6,7,8,9,10. 因此共有7个三角形.当a4或a7时，这个三角形为等腰三角形.其各边长分别为：4,7,4；4,7,7.,举一反三,1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 2 cm,2 cm,4 cm B. 2 cm,6 cm,3 cmC. 8 cm,6 cm,3 cm D. 11 cm,4 cm,6 cm2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是
5、( )A. 4 cm,5 cm,6 cm B. 6 cm,8 cm,15 cmC. 7 cm,5 cm,12 cm D. 3 cm,7 cm,13 cm,C,A,3. 若三角形中的两边长分别为9和2，第三边长为偶数，求三角形的周长.,解：设第三边长为x，则7x11.因为x为偶数，所以x8或10.当x8时，三角形周长为92819；当x10时，三角形周长为921021.,新知3 三角形的内角,(1) 定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.(2) 性质：三角形三个内角的和等于180.,注意：三角形内角和定理的证明方法很多. 证明的基本思路是通过添加辅助线，把三角形的三个内角移到一处，组成
6、一个平角. 通过构造平角 (如图417所示)，构造邻补角 (如图417所示)，构造同旁内角 (如图417所示) 等方法，实现问题的转化；,三角形内角和定理的作用：一是已知三角形中任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；二是已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；三是求一个三角形中各角之间的关系.,【例3】如图418，在ABC中，ADBC，AE平分BAC，B70，C30.,(1) 求BAE的度数；(2) 求DAE的度数；(3) 探究：小明认为如果只知道BC40，也能得出DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.,解析 (1) 利用三角形的内角和定理求出BAC，
7、再利用角平分线定义求BAE.(2) 先求出BAD，就可知道DAE的度数.(3) 用B，C表示DAE即可.解 (1) 因为B70，C30，所以BAC180703080.因为AE平分BAC，所以BAE40；(2) 因为ADBC，B70，所以BAD90B907020.而BAE40，所以DAE20；,(3) 可以. 理由如下：因为AE为角平分线，,若BC40，则DAE20.,举一反三,如图419，的度数分别为( )A. 30，50 B. 40，80C. 50，40 D. 60，40,C,2. 在ABC中，ABC345，则C等于( )A. 45 B. 60 C. 75 D. 903. 下列说法中正确的是
8、( )A. 三角形的内角中至少有两个锐角B. 三角形的内角中至少有两个钝角C. 三角形的内角中至少有一个直角D. 三角形的内角中至少有一个钝角,C,A,新知4 三角形的分类,三角形分类有两种方法：(1) 按角分类分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.(2) 按边分类分为：不等边三角形、等腰三角形和等边三角形.,【例4】下列说法正确的是( )A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形B. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形C. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形,解析 如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故A选项错误；如等边三角形，既是等腰三角形，
9、也是锐角三角形，故B选项错误；如顶角是120的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故C选项错误；一个等边三角形的三个角都是60. 故D选项正确.答案 D,举一反三,1. 在ABC中，ABC235，则此三角形按角分类应为 .2. 三角形中最大的内角不能小于( )A. 60 B. 70 C. 80 D. 90,直角三角形,A,3. 下列说法正确的是( )A. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B. 一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C. 一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形,D,新知5 三角形的三
10、条重要线段,(1) 三角形的中线.在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.说明：三角形的中线是线段；它在三角形内；一个三角形有三条中线，它们交于一点，且这一点一定在三角形内，称为三角形的重心.,(2) 三角形的角平分线.三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.说明：三角形的角平分线不同于角的平分线，前者是线段，后者是射线；三角形的角平分线在三角形内部；一个三角形有三条角平分线，它们交于一点，这一点一定在三角形内.,(3) 三角形的高.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称
11、三角形的高.说明：三角形的高是线段；它不一定在三角形的内部；一个三角形有三条高； 在锐角三角形中，三条高在三角形内，因而交点也在三角形内 (如图4110)；,在直角三角形中，一条高在三角形内，另外两条高恰好在三角形的两条直角边上，因而交点为直角顶点 (如图4110)；在钝角三角形中，一条高在三角形内，另外两条高在三角形外，三条高的延长线交于三角形外一点 (如图4110).,【例5】如图4111，在ABC中E是BC上的一点，EC2BE，点D是AC的中点，设ABC，ADF，BEF的面积分别为SABC，SADF，SBEF，且SABC12，则SADFSBEF( )A.1 B. 2 C. 3 D. 4,
12、解析 本题需先分别求出SABD，SABE，再根据SADFSBEFSABDSABE即可求出结果.,点拨 本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键.,举一反三,如图4112，BDDEEFFC，那么ABE的中线是( )A. AD B. AE C. AF D. 以上都是,A,2. 如图4113，AD是ABC的高线，AE是ABC的角平分线，AF是ABC的中线，图中相等的线段是 ，相等的角是 .,3. 如图4114，当 时，AD是ABC的中线；当 时，AD是ABC的角平分线.,BAECAE，ADBADC90,BFCF,BD,
13、CD,BAD,CAD,2. (3分)如图KT411，若D，E为ABC的边AC上除A，C以外的任意两点，则图中共有三角形 个.( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7,C,5. (3分)如图KT412，ABC中，BO，CO分别是ABC，ACB的平分线，A50，则BOC等于( ) A. 110 B. 115 C. 120 D. 130,B,6. (3分)如图KT413，在ABC中，点D是BC上任意一点，点E，F分别是AD，CE的中点，且SBEF4 cm2，则SABC的值为( )A. 1 cm2 B. 2 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2,D,7. (6分)如图KT414，在ABC
14、中，ADBC，AE平分BAC，B70，C30. 求BAE和DAE的度数.,解：因为B70，C30，所以BAC180703080，又因为AE平分BAC，所以BAE40.因为ADBC，B70，所以BAD90B907020.所以DAEBAEBAD402020.,8. (6分)(1)在ABC中，ABC的平分线与ACB的平分线相交于点O，如图KT415，小明经过探究发现：BOC90 A，请你说明理由；,解：在ABC中，BOC180OBCOCB，因为ABC的平分线与ACB的平分线相交于点O，所以OBC ABC，OCB ACB，所以BOC180OBCOCB 180 ABCACB)，因为ABCACB180A，所以BOC180 180A)，所以BOC90 A.,(2)当ABC的平分线和ACB的外角平分线相交于点O，如图KT415，上面结论还成立吗？若成立说明为什么；若不成立，请你直接写出新的结论.,解: 不成立，理由如下：因为AACDABC2OCD2OBC2(OCDOBC)，OOCDOBC，所以2OA，所以BOC A.,
