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1、第一节 n 维向量,第三章,二、线性相关性,四、向量组的秩,一、向量、向量组,三、最大线性无关组,五、小结,定义,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、向量、向量组,维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用 等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用 等表示，如：,规定行向量和列向量都按照矩阵的运算规则进行运算.,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,
2、定义,线性组合,向量 能由向量组 线性表示,定理1,定义,向量组之间的等价关系具有下述性质：,（2）对称性,（1）反身性,（3）传递性,注意,定义,二、线性相关性,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,（其中至少有一个向量可以由另两个向量线性表示）,定理向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（不妨设 ）能由其余向量线性表示，,则有,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数使,因 中至少有一个不为0，,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,定理2,下面举例说明定理的
3、应用.,解,例,解,例,分析,证,定理3,证明,说明,定理3,证明,定理3,证明,说明,定理3,证明,定义,三、最大线性无关向量组,说明,定理,四、向量组的秩,结论,说明,事实上,定理,推论1,推论2,推论3,推论4,证明：,由题设可知,证明：,由题设可知,且,即得证,推论5,由此可得:,3.最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性,4.矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩,5.关于向量组秩的一些结论,6.求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初 等行变换,四、小结,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,2. 线性相关与线性无关的定义及其判定方法,证,注意,思考:,
