《线性代数第一章ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第一章ppt课件.ppt（34页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、线性代数,教材： 线性代数,吴传生主编, 2015年12月第3版, 高等教育出版社,参考书： 1吴赣昌主编，线性代数，中国人民大学出版社，第4版;2Serge Lang，Introduction to Linear Algebra，Springer; 3钱吉林 编著，高等代数题解精粹，中央民族大学出版社.,作业上交时间和顺序：第3次，5次，7次课前交作业，过期不予弥补，视为缺一次作业。,期末考核形式：考试（课程试卷；闭卷）,成绩评定：平时成绩占40分，期末考试占60分,平时成绩组成：课堂考勤12分，课外作业12分 期中测验12分，课程论文4分,第一章 行列式,第一节 全排列及其逆序数,举例：
2、用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？,六种：123 132 213 231 312 321,定义1： 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的一个全排列（简称排列）。,个不同元素的所有排列的种数通常用 表示,定义2: 对于 个不同的元素,先规定各元素之间有 一个标准次序,这 个元素的任一排列中,当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就 说有一个逆序,一个排列中所有逆序的总数叫 做这个排列的逆序数，排列 的逆 序数记为 。,逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列。,举例： 求排列32514的逆序数。,定理1: 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变
3、奇偶性。,推论： 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。,1、 二阶行列式的定义,第二节 行列式的定义,一、 行列式的定义,2、三阶行列式的定义,3、 阶行列式的定义,定义1： 设有 个数，排成 行 列的数表 令 为数 的所有排列所组成的集合，称代数和 为阶行列式。,记作 ，简记为 ，称 为行列式 的元素。,定理1： 阶行列式也可定义为 其中的 是由数 的所有排列所 组成的集合。,1、对角行列式,由行列式的定义可以证明对角行列式,二、特殊行列式,2、三角形行列式,称 为下三角形行列式， 为上三角形行列式。,对于下三角形行列式，有,第三节 行列式的性质,对一般
4、的高阶行列式采用定义来进行计算，是很复杂的，如何计算高阶行列式呢？,记 ， 称行列式 为行列式 的转置行列式，记作 。,性质1： 行列式与它的转置行列式相等。,由此可知,性质2： 互换行列式的两行（列），行列式变号。,推论1： 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式等于零。,性质3： 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 以同一个数 ，等于用数 乘此行列式。,推论2：行列式中某一行（列）的所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面。,推论3： 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式等于零。,性质4：,性质5： 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一个数后加到另一列（行）对应的
5、元 素上去，行列式不变。,（注：这是一个很重要的性质，我们经常利用这条性 质将一般的行列式变换成三角形行列式来进行行列式 的计算）,例1： 计算,例2：计算,例3： 设 ， ， ，证明： 。,例如计算,第四节 行列式的按行（列）展开,除了采用行列式的性质外，还有其它方法能计算高阶行列式吗？,定义1：在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，所得到的 阶 行列式叫做元素 的余子式，记作 ， 称 为元素 的代数余子式，记 作 。,引理： 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，则这个行列式等于 与它的代数余子式的乘积。,定理1： 行列式等于它的任一行（列）的各个元 素与其对
6、应的代数余子式乘积之和，即： 或,这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用这个法则可将高阶行列式降为低阶行列式来进行行列式的计算。,定理2： 行列式某一行（列）的元素与另一行 （列）的对应元素的代数余子式乘积之 和等于零，即 或,例1：利用按行（列）展开法则计算,例2： 计算行列式,例3：设,求 和 。,例4： 计算,例4： 计算,例5： 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式,第五节 克拉默法则,行列式有何作用呢？,对于方程组 的解为,对于含有 个未知数 的 个线性方程组成的方程组 (1),有以下结论：,定理1： 如果线性方程组 (1) 的系数行列式不等 于零,即 那么,方程组(1)
7、 有唯一解,这里的,这个定理被称为克拉默法则，这个定理也可叙述为： 如果线性方程组（1）的系数行列式 ，则 （1）一定有解，且解是唯一的。,它的逆否定理为： 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式 。,例1： 解线性方程组,当线性方程组（1）中的 不全为零时，称方程组(1)为非齐次线性方程组，当 全为零时，称方程组（1）为齐次线性方程组。,对于齐次线性方程组 (2),一定是它的解，称这个解为方程组（2）的零解。,除了零解外，齐次方程组（2）在什么条件下还有其它解呢？,定理2：如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 ，则（2）没有非零解。,它的逆否定理为： 如果齐次线性方程组（2）有非零解，则（2） 的系数行列式 。,例2：问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解。,这里我们所讨论的方程组中，未知数的个数与方程的个数是相同的情况，我们将在第3章讨论未知数的个数与方程的个数是不相同的方程组的解。,
