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1、鲁棒控制 线性矩阵不等式处理方法,Robust control LMI Method,主要内容,线性矩阵不等式概论系统性能分析控制器设计,线性矩阵不等式概论,线性矩阵不等式的一般表示,线性矩阵不等式： 仿射矩阵不等式仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，A 是一个 mk 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为 其中 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。,凸（约束）问题,定义（凸集） 一个集合,的连线仍在集合内。,和,及参数,有,称为,的凸组合
2、。,称为凸的，如果集合中任意两点,即任意给定两点,和,将矩阵不等式的解约束在矩阵变量定义的空间中,关于凸集定义的理解,Schur补定理,引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵,其中,b),，且,c),，且,a),为方阵，则以下三个条件是等价的：,Schur补应用,若要证明存在对称矩阵P0,Q0,R0,使得如下不等式成立,只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立,Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的有效工具,标准的线性矩阵不等式问题,可行性问题(LMIP)求不等式的可行解 检验是否存在x，使得 成立。特征值问题(EVP)求不等式的优化解广义特征值问题(GE
3、VP)仿射矩阵函数的不等式优化问题,Linear Matrix Inequality (LMI),系统性能分析,连续时间系统,3.1.1系统增益指标 考虑,L2范数,对于平方可积的信号 ，定义 其中 是向量的欧式范数。这样定义的 正好是信号 的能量。将所有有限能量的全体记成 即 也称为信号 的 范数,L范数,对幅值有界的信号 ，定义 当 是一个标量信号时， 等于 的峰值。 将所有幅值有界的信号全体记成 即 也称为信号 的 范数。,四个性能指标,IE(Impulse-to-Energy)增益：EP(Energy-to-Peak)增益：EE(Energy-to-Energy)增益：PP(Peak-
4、to-Peak)增益：,定理1-IE,若有一最优值 ，则,定理2-EP,若有一最优值 ，则,定理3-EE,定理4-PP,H2性能,T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的输出能量。(IE)系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)对于SISO系统,用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数,H性能,增益 有一个频率域的解释：它恰好等于传递函数 的 范数，即,用线性矩阵不等式刻画系统的H范数,定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数 0,若存在对称矩阵P0,使得如下线性矩阵不等式成立,则有|T(s)| ,且系统渐进稳定。,证明：,对上述不等式分别左乘,右乘矩阵diag1/2I,1/2I,-1/2I,得,记X=P,运用Schur补，可得,若D=0,则有,严格真传递函数阵的H范数与矩阵不等式的等价关系,给出了系统H范数与LMI之间的关系使得H控制问题可基于LMI进行求解,有界实引理(Bounded real lemma ),控制器设计,H控制器设计,状态反馈H控制,H控制律的存在条件和设计方法,H次优控制,H最优控制,
