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1、4.4 线性时变系统的能控性及能观性,4.4.1 线性时变系统的能控性判据 考虑连续时间线性时变系统,其中x为n维状态向量，u为p为输入；Td为时间t的定义区间；t0为初始时刻，t t0；A(x)、B(x)分别为nn,np时变矩阵.,定理4.4.1 线性时变系统,在定义时间区间t0,t1内，状态完全能控的充要条件是Gram矩阵,推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)都是n-1次连续可微的，在时间区间t0,t1上，若有,则系统是状态完全能控的，其中分块矩阵,例4.4.1.(1),秩为3，所以系统是完全能控,推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)在时间区间Td上是n-1次连续可微的,若对初
2、始时刻t0Td ,存在有限时刻t1Td，t1t0,使得,则系统在时刻t0是状态完全能控的,其中分块矩阵,例 4.1.1.(2) 试判断线性时变连续系统,解：首先计算,进而，可以找到 ，使有,据秩判据可知，系统在时刻 完全能控.,4.4.2 线性时变系统能观性的判据,定理4.4.2 线性时变系统,定义在时间区间t0,t1内，状态完全能观测的充分必要条件是Gram矩阵,为非奇异。,推论(秩判据）：如果矩阵A(t)和C(t)满足n-1次连续可微的条件在时间区间t0,t1内，又有,则系统是状态完全能观测的。其中分块矩阵,，,例4.4.2,其秩等于3，所以系统是状态完全能观的。,推论（秩判据）：对连续时
3、间线性时变连续系统，若A(t)、C(t)阵均是n-1阶连续可导的函数矩阵，则系统在时刻t0状态完全能观的充分条件为存在一个有限时刻 使,例 4.4.2.（2）已知线性时变连续系统为,分析系统在 时的能观性,解 首先计算,于是,可见系统在时刻 状态完全能观测。,4.5 能控性与能观性的对偶关系,4.5.1 能控性与能观性的对偶关系,对偶系统,对偶系统结构图,由图可见，互为对偶的两系统输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。,4.5.2 对偶原理,系统 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性； 的能观测性等价于 的能控性。或者说，若 是状态完全能控的(完全能观测的)，则 是状态完全能观测的(完全能控的)。,系统 状态完全能控的充要条件和系统 状态完全能观的充要条件相同；,系统 状态完全能观的充要条件与系统 完全能观的充要条件相同。,（对偶原理）,对偶原理在现代控制理论的研究中具有重要意义,其使得系统的状态观测及估计等问题和系统的控制问题互相转化、借鉴,例如,最优估计问题就可借鉴最优控制问题的结论而获得解决。,4.5.3 两个系统的传递函数矩阵的关系,
