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1、高一数学必修一知识点总结,1.集合 2. 函数,集合,集合含义与表示,集合间关系,集合基本运算,列举法,描述法,图示法,子集,真子集,补集,并集,交集,一、知识结构,一、集合有关概念,a.集合的含义b.集合的中元素的三个特性：元素的确定性元素的互异性元素的无序性,c.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集RA.列举法：a,b,cB.描述法：将集合中的元素的公
2、共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32C.语言描述法：例：不是直角三角形的三角形D.Venn图:,d.集合的分类：(1)有限集 含有有限个元素的集合(2)无限集 含有无限个元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5,二、集合间的基本关系,1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（1）A是B的一部分； （2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A,2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的
3、子集。AA真子集:如果AB,且A B那就说集合A 是集合B的真子集，记作A B(或B A)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B,3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。,有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集,三、集合的运算,例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x0，则M与N的关系是 .4.设集合A= ，B= ，若A
4、 B，则 的取值范围是_,5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m的值_,知识结构,概念,三要素,图象,性质,指数函数,应用,大小比较,方程解的个数,不等式的解,实际应用,对数函数,一、函数的有关概念,1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意
5、一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域,函数的概念,B,C,x1x2x3x4x5,y1y2y3y4y5,y6,A,函数的三要素：定义域，值域，对应法则,A.B是两个非空的集合,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。,a.定义域,定义：使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等
6、式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5) 指数为零底不可以等于零，(6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2),b.值域,值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法,c.函数图象,(1)定义：在平面直角坐标系中
7、，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法a.描点法：b.图象变换法（3）常用变换方法有三种平移变换 伸缩变换 对称变换,D.区间的概念,（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭 区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示,E.映射,一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素
8、y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：AB,f.分段函数,(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。,二函数的性质,函数的单调性函数的奇偶性,1.函数的单调性(局部性质),（1）定义a.设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D
9、上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.b.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；,（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.,(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 1 任取x1，x2D，且x1x2； 2 作差f(x1)f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和
10、配方）； 4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.,2、函数的奇偶性（整体性质）,定义：（1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数（2）奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f
11、(x)就叫做奇函数具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称,（1）利用定义判断函数奇偶性的步骤：1.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2.确定f(x)与f(x)的关系；3.作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数 (2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定,函数奇偶性的判断方法,三、函数的解析表达式,（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数
12、关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：a.凑配法b.待定系数法c.换元法d.消参法,四、函数最大（小）值,定义：（见课本p36页）常见求法; 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小)值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；,第一章完,反比例函数,1、定义域 .2、值域
13、,3、图象,k0,k0,R,二次函数,1、定义域 .2、值域,3、图象,a0,a0,指数函数,1、定义域 .2、值域,3、图象,a1,0a1,R+,y,x,o,1,y,x,o,1,对数函数,1、定义域 .2、值域,3、图象,a1,0a1,R+,1,1,(-,0)减,(-,0减,(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),公共点,(0,+)减,增,增,0,+)增,增,单调性,奇,非奇非偶,奇,偶,奇,奇偶性,y|y0,0,+),R,0,+),R,值域,x|x0,0,+),定义域,y=x-1,y=x3,y=x2,y=x,函数性质,幂函数的性质,2,1,x,y,=,五、函数的应用,函
14、数的概念产生于生产实践中，反过来它也可用来解决一些生产实践中的实际问题，我们主要解决函数应用问题；,解函数应用题的方法和步骤：1。审题： （1）：设出未知 （2）：找出量与量的关系 2。建摸：建立函数关系式 3。求解：用数学方法解出未知 4。回归实际：检验所求结果是否符合实际并作答,知识小结,就是将数学结论转译成实际问题的结论。,就是对实际问题的结论作出回答,实际问题,数学模型,数学模型的解,实际问题的解,应以审题(即明确题意)开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，建立合理的数学模型。,求解一个数学应用问题，我们每一个人都会有自己可行的思路和方法，如下图所示介绍其中一种思路：,答,采用
15、数学方法，解决数学模型所表达的数学问题。,例题,1.求下列函数的定义域： 2.设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ 3.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ 4.函数 ，若 ，则x = _,5.用长为 1 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x ，求此框架的面积 y 与 x 的函数式，并写出它的定义域。6.已知函数 ，求函数 ， 的解析式_7.已知函数 满足 ，则 = 。,8.设 是R上的奇函数，且当时, ,则当 时 =_ 在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： (2) 10.判断函数 的单调性并证明你的结论11.设函数 判断它的奇偶性并且求证：,作业：将基本初等函数的图像，性质总结要求：1、画出图形2、列出所有性质,
