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1、第五章相似原理与量纲分析,第一部分 流体力学,5.1 相似原理5.2 量纲分析及其应用,概述,本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。,相似理论和量纲分析法是指导流体力学实验的理论基础（包括科学地设计组织实验及整理实验结果）。,工程流体力学实验的两种类型：工程性的模型实验预测即将建造的大型机械或水工结构上的流体流动情况。探索性的观察实验寻找未知的流动规律。指导第一类实验的理论基础是相似原理，后者则要借助于量纲分析法。,4,概述,一、力学相似的基本概念力学相似 实物流动与模型流动在对应点上的 对应（同名）物理量都应该具有固 定的比例关系。,5.1 相似原理（应用于模型实验）
2、,6,则：线性比例尺 (基本比例尺之一),(几何相似常数),面积比例尺：,体积比例尺：,9,5.1 相似原理（应用于模型实验）,2、运动相似 两个流动对应点、对应时刻 的流动速度方向都一致，大 小都成同一比例。则 : 速度比例尺 ( 基本比例尺之二 ) : 时间比例尺：,（速度比例常数）,10,5.1 相似原理（应用于模型实验）,加速度比例尺：流量比例尺：运动粘度比例尺：,11,5.1 相似原理（应用于模型实验）,3、动力相似 两个流动在对应点上，对应瞬 时，质点受到同种性质的外力 作用，且对应的同名力方向相 同，大小成同一比例。,其他动力学比例尺均可按照物理量的定义或量纲由上述三个基本比例尺
3、（ l ，v ， ）确定 。,则 : 密度比例尺 ( 基本比例尺之三 ) : （密度比例常数）,12,如：质量比例尺： 力比例尺：上式中各同名力分别为压力P、粘性力F、重力G、惯性力 I。对于惯性力根据牛顿定律有：I m a故：压强比例尺：,13,动力粘度比例尺：注意：无量纲系数的比例尺: c 1 单位质量重力的比例尺： g 1,14,5.1 相似原理（应用于模型实验）,二、相似准则 两流动 力学相似，则必须满足动力相似。而动力相似又可以用相似准则（力学相似准则，力学相似判据，相似准数）的形式来表示。 即：同名相似准数相等。1、重力相似判据（佛劳德准则） 流体所受重力为 G mg Vg 即：
4、l2 v2 l3 g,15,5.1 相似原理（应用于模型实验）,2、粘性力相似判据（雷诺判据） 作用于流体上的粘性力 即 ：,整理得：定义：则：Eu Eu 欧拉准则(压力相似判椐),欧拉相似准数(欧拉数),以上三个准则称为实际(粘性)不可压缩流体定常流动的力学相似准则。,5.1 相似原理（应用于模型实验）,三、近似准则（近似相似） 完全相似必须保持下列三个相互制约关系： v2 g l v l p v2 这是相当困难甚至不可能的。,例如：由式得 ： v l 1/2 （g 1） 由式得 ： l 1/2 l l 3/2 上述关系很难满足。,20,5.1 相似原理（应用于模型实验）,近似准则法：(见课
5、本145页表8.1） 根据具体问题，抓住支配流动的主要矛盾，忽略次要因素，选择决定性相似准则（主要相似准则 ），设计模型实验（流动）。,1、佛劳德准则作为决定性相似准则。 用于水利工程及明渠等无压流动中。 此类流动都是以水位落差形式表现的重力为主要矛盾，支配流动。2、雷诺准则作为主要相似准则 用于有压管流和大气中物体的运动等情况。 流体克服粘性摩擦而流动，粘性力决定流动的性质。,21,四、模型流动的设计与数据换算（举例）例：在设计高h = 1.5 m，最大速度为 v= 200km/h的轿车时，需要确定其在公路上以此速度行驶时的正面空气阻力。拟在风洞中进行模型实验，并假定风洞实验气流的温度与公路
6、上行驶时的温度相同。若风洞中模型流动的气流速度设计为v =83m/s，求模型实验中的轿车高度h；在的条件下和所求车身高度，若测得模型实验正面空气阻力F =1000N，求实物汽车在公路上以最大速度 200 km/h 行驶时，所受空气阻力 F 为多少？,解：(1) 影响汽车所受阻力的因素主要是粘性力，应以雷诺准则作为决定性相似准则。,即应使,或,因两流动是同种介质，且同温度，应有：,将 v = 200 km/h ， l = h = 1.5 m ，v = 83 m/s 代入雷诺准则式,则模型实验中轿车的设计高度应为：,(2),模型设计时已知：,（同温度下的同种介质）,则：,可得实物汽车上的正面阻力为
7、：,量纲分析的目的是找出影响某一流动现象（过程）的各个变量（因素），把它们加以合理的组合，写成无量纲数的形式，从而把物理过程中各变量间的关系，概括地表示在由这些无量纲数组成的函数关系式中，同时指明实验方法，并使得实验中所需测量和处理的变量数减少。 定理是广泛应用于量纲分析的一种方法。,5.2 定理和量纲分析的应用,26,一、量纲和谐性原理一个物理现象（或物理过程）用能正确反映其客观规律的物理方程表示时，方程中的每一项的量纲应该是和谐的、一致的。若将物理方程中的各项的量纲均用基本量纲的幂次式表示，则各项的基本量纲必须齐次。称为物理方程的量纲齐次性原理。此原理是量纲分析法的理论依据。,5.2 定理
8、和量纲分析的应用,二、 定理设影响某一个物理过程或某一物理现象 N 的 k 个因素 (物理量、变量) 为 n1，n2， ，ni， ，nk，则此物理现象可用函数式表示为：若从这（k+1）个物理量中确定出三个物理量 n1，n2，n3 作为基本物理量，则这个物理现象可以用由（k+1）个物理量构成的（k+13）个无量纲参数 i 表达的函数关系式来描述。即： f ( 4，5 ，i ，k ),三个基本物理量必须满足的要求：基本物理量的量纲应该是各自独立的，且包含基本量纲 M、L、T。其余（k+13）个物理量的量纲都可以由这 三个基本物理量的量纲表示（导出）。,应用 定理进行量纲分析的步骤： 找出影响流动(
9、物理)现象(规律)N 的全部 k 个物理量，将物理现象写成一般函数关系式：, 从 k 个物理量中选出 3 个符合要求（包含不同基本量纲）的物理量作为基本物理量（一般选 l、v、 ，分别包含长度、时间和质量）。, 用这三个基本物理量的组合（通常是这三个变量指数乘积的形式）依次与其余的（k+13）个物理量中的任一个一起组成（k+13）个无量纲的 项。即：,；,式中：n1、n2、n3 为基本物理量。i 4, 5, , k, 确定无量纲的 项中的各指数写出各变量的量纲，列出量纲关系式，依据量纲和谐性原理，比较各关系式等式两边基本量纲的因次（指数），列出代数方程式，解出各变量的指数xi、yi、zi ，代
10、入上述（k+13）个无量纲 项。, 将（k+1）个物理量之间的待求函数关系式改写成（k+13）个无量纲 项之间的待求函数关系式： f ( 4，5，i ，k ),应用量纲分析法，除可得到反映流动现象的具体函数关系式外，还可将独立变量的个数减少 3 个，从而大大地简化实验过程（因使所需测量和处理数据的变量数减少）。,5.2 定理和量纲分析的应用,三、量纲分析法的应用（举例）例：试用量纲分析（ 定理）法推出管中流动的沿程水头损失的表达形式。,经实际观察和初步分析知道，流体在水平等径直圆管中的流动，由于沿程粘性摩擦而造成的两点间的压强降（压强差） p 与下列因素有关：管径 d ，两点间的管长 l ，管
11、壁粗糙度 ，管内流体的密度 ，流体的动力粘度 ，以及管流的断面平均流速 v ，求 p 及 hf表达式。,解： 各变量（因素）与 p 的函数关系可以用下式表示： p = f（ d，v，l，）, 上式中 k = 6，从中选出三个基本物理量 d，v，按 定理，这（k+1）个有量纲物理量之间的待求函数关系式就可转换成（k+13）个无量纲参数之间的待求函数关系式： f ( 4，5，6 ), 选用 M，L，T 为基本量纲。除三个基本物理量外，其余（k+13）= 4 个变量（导出物理量） p， ，l， 均可由三个基本物理量的指数乘积形式来表示, 以上各式中 xi ，yi ，zi 为待定指数。,写出每个物理量
12、的量纲：,p=ML1T2, d =L, v =LT1, =ML3, =ML1T1, =L, l =L,将各含有无量纲参数的方程写成量纲关系式：,依据量纲和谐性原理,由上述第一式可得: M: 1 z = 0 L: x + y 3z +1= 0 T: y 2 = 0,解此代数方程组得: x = 0, y = 2, z = 1,则:,又由上述第二式可得: M: 1 z4 = 0 L: x4 + y4 3z4 + 1 = 0 T: y4 1 = 0,解此代数方程组得: x4 =1 , y4 = 1 , z4 = 1,所以：,用同样的方法可解得：, 将各 值代入，前述无量纲参数之间的待求函 数关系式变为
13、：,所以：,最后写出沿程水头损失的函数关系式：,达西公式,式中：,沿程阻力系数,本章主要介绍了相似原理和量纲分析。在设计模型流动实验时，需要使模型流动与实物流动具有一定的对应关系，这就要求两个流动满足几何、运动、动力这三个层次上的相似（力学相似），其中动力相似是流动相似的主导因素。动力相似要求两个流动各个同名力的比值都相等，由此提出了不同的相似准则，并定义了不同相似准数。从理论上说，只有当两个流动的各同名相似准数都相等时，流动才严格地满足动力相似。但在大多数情况下，并不需要、且常常也不可能同时满足所有的相似准则。因此，在设计模型流动时需要认真分析流动的各个影响因素，优先考虑起主导作用的相似准则。,小 结,量纲分析是以量纲的和谐性原理为依据，以 定理为基础的。一个流动现象通常会与多个物理量相关。运用量纲分析（ 定理法）可以综合若干个物理量的影响，组成无量纲综合量，使问题相关参量的数目减至最小，从而揭示参量之间的内在联系，使问题得到简化。,本章要求理解力学相似、量纲及量纲和谐性原理等概念，重点掌握量纲分析的 定理法；雷诺相似准则和弗劳德相似准则。,小 结,40,
