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1、第二章,三、 收敛数列的性质,唯一性 有界性 保号性、保序性,4. 收敛数列与其子列的关系,三、 收敛数列的性质.,1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性),即若,则必有,若极限,则极限唯一.,( 用反证法),及,且,取,因, N1 N+,使当 n N1 时,假设,即当 n N1 时,证法1,同理, 因,故 N2 N+,使当 n N2 时, 有,从而,使当 n N2 时, 有,则当 n N 时,矛盾！,故假设不真 !,2. 有界性,例如:,有界,无界,即若,使,(n =1,2,).,定理2.2 (收敛数列的有界性),收敛的数列必定有界.,证 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,即
2、收敛数列必有界.,有,注,有界性是数列收敛的必要条件，,但不是充分条件.,收敛 有界,关系：,例如,虽有界，但不收敛 .,数列,推论 无界数列必发散.,使当n N 时，恒有,(1) 若,时, 有,3. 保号性、保序性,证（1）：,取,因,故存在 N1 ,使当 n N1 时,从而,当 n N1 时,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,则当 n N 时,便有,与已知矛盾, 于是定理得证.,当 n N1 时,推论：,(收敛数列的保号性),(1) 若,则,使当n N 时，,(),(),(2) 若,则 a 0.,(),(),恒有,且,对 a 0 ,取,证 (1),(2) 用反证法证明.,注,如：,4. 收敛数列与其子数列的关系,(1) 子数列的概念,称为数列 xn 的一个子数列(或子列)。,例如, 从数列,中抽出所有的偶数项,是其子数列. 它的第k 项是,组成的数列：,(2) 收敛数列与其子数列的关系,结论：（1)：,（2)：,注,定理,1 某,收敛,例如，,但,发散.,2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，,则原数列一定发散 .,例如，,发散 !,
