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1、8.1数学形态学概述 8.1.1数学形态学 8.1.2基本符号和定义8.2二值形态学 8.2.1腐蚀 8.2.2膨胀 8.2.3开运算和闭运算8.3 形态学的应用 8.3.1形态学滤波 8.3.2中轴变换域骨架抽取 8.3.3细化 8.3.4区域拓扑描述,8.1数学形态学概述,六十年代1964年，法国巴黎矿业学院，G.Matheron, J.Serra；铁矿的定量岩石分析，以预测其开采价值；1966年，南锡的酒吧， G.Matheron, J.Serra和Ph. Formeny奠定了数学形态学；1968年4月，法国成立枫丹白露数学形态学研究中心；七十年代TAS（纹理分析系统）;12年5000万
2、;大量专利;但仅面向用户和自然科学家；,8.1.1数学形态学,数学形态学历史,数学形态学历史,八十年代，数学形态学广为人知1982年，Serra，”Image Analysis and Mathematical Morphology”;Sternberg，美国机器视觉公司的首席科学家；80年代的石油危机；84年枫丹白露成立MorphoSystem指纹识别公司；86年枫丹白露成立Noesis图象处理公司；全球成立十几家数学形态学研究中心，进一步奠定理论基础；九十年代，数学形态学应用在图象增强、分割、恢复、边缘检测、纹理分析等领域。,什么是数字图像形态学处理,1）起源60年代采矿、动植物调查时采用
3、的数学工具；是针对二值图象依据数学形态学( Mathematical Morphology)的集合论方法发展起来的图象处理方法。数学形态学起源于岩相学对岩石结构的定量描述工作，近年来在数字图象处理和机器视觉领域中得到了广泛的应用，形成了一种独特的数字图象分析方法和理论。,2）思想表现为一种邻域运算形式；一种特殊定义的邻域称之为“结构单元”（Structure Element），在每个象素位置上它与二值图象对应的区域进行特定的逻辑运算，逻辑运算的结果为输出图象的相应象素。形态学运算的效果取决于结构单元的大小、内容以及逻辑运算的性质。 3）数字图象形态学处理的目的研究数字图象中物体目标的结构及拓扑
4、关系。,什么是数字图像形态学处理,8.1.2 基本符号及定义,1）集合论、击中与击不中,2）平移（translation）,8.2.1膨胀(dilation或称扩张）,8.2二值形态学,8.2.2腐蚀（erosion） 用B腐蚀的结果是所有使B平移c后仍在A中的c的集合。换句话说，用B来腐蚀A得到的集合是B完全包括在A中时B的原点位置的集合。,腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。如果结构元素取33的像素块，腐蚀将使物体的边界沿周边减少一个像素。腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、 小凸起)去除，这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体。如果两个物体之间有细小的连
5、通，那么当结构元素足够大时， 通过腐蚀运算可以将两个物体分开。,腐蚀与膨胀示意图,腐蚀运算图解。图给出腐蚀运算的一个简单示例。其中，下 图(a)中的阴影部分为集合A， 图 (b)中的阴影部分为结构元素B， 而图(c)中黑色部分给出了AB 的结果。由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。,腐蚀运算示例,注意：如果结构单元包含原点，则 成立；而若结构单元不包含原点，则上式不成立。,文字图象,膨胀后的文字图象,腐蚀后的文字图象,腐蚀与扩张并不互为逆运算，但有下列性质：,结构元素非对称时腐蚀结果不同,中心对称结构元素腐蚀示意,不同结构单元对腐蚀和扩张的影响,不同结构单元对腐蚀和扩张的影响,E1=3*3方
6、形结构单元,原图 E1扩张后图象 E1腐蚀后图象,E2=5*5方形结构单元,原图 E2扩张后图象 E2腐蚀后图象,1）开运算定义：意义：先腐蚀然后再膨胀；目的：使轮廓平滑，抑制A物体边界的小离散点或尖峰，在研究物体的形态分布时常用。用来消除小物体、在纤细点处分离物体、平滑较大物体的边界的同时并不明显改变其面积。,8.2.3开运算和闭运算,二值图像开运算示意,结构单元为中心对称，开运算后图像形状只有边角变光滑，其他不变,结构单元为非对称情况下，进行开运算时要用B的对称集 进行膨胀，否则，开运算的结果和原图相比要发生平移。,当使用圆盘结构元素时， 开运算对边界进行了平滑，去掉了凸角；当使用线段结构
7、元素时，沿线段方向宽度较大的部分才能够被保留下来，而较小的凸部将被剔除。可见，不同的结构元素的选择导致了不同的分割，即提取出不同的特征。,开运算去掉了凸角(a) 结构元素S1和S2；(b) XS1；(c) XS2,Lenna Sobel边界的二值图象,Lenna Open变换后的二值图象,2）闭运算定义：意义：先膨胀再腐蚀；目的：用来填充物体内细小空洞、连接邻近物体、平滑其边界的同时并不明显改变其面积。,闭运算填充了凹角(a) 结构元素S1和S2；(b) XS1； (c) XS2,闭运算通过填充图像的凹角来平滑图像,Lenna close变换后的二值图象,8.3.1形态学滤波 由于开、闭运算所
8、处理的信息分别与图像的凸、凹处相关， 因此，它们本身都是单边算子，可以利用开、闭运算去除图像的噪声、恢复图像，也可交替使用开、闭运算以达到双边滤波目的。一般，可以将开、闭运算结合起来构成形态学噪声滤波器。,8.3形态学应用,1）开运算对并噪声的滤波作用未被噪声污染的图象S噪声图象N被噪声污染的图象,开运算滤波示意,2）闭运算对差噪声的滤波作用未被噪声污染的图象S噪声图象N被噪声污染的图象,闭运算滤波示意,3）交变序列滤波器（ASF)在ASF方法中，开-闭滤波器（或闭-开）序列交替执行；初始时，采用较小的结构单元；然后逐步增加结构单元的尺寸；方法在某个尺寸的结构单元终止，否则将毁坏图象；结构单元
9、尺寸的最优化算法是目前研究的热点。,4）击中击不中（HIT-MISS）变换击中击不中变换（HMT）需要两个结构单元w和b，合成一个结构元素对B=（w，b）。一个探测图象内部，另一个探测图象外部。定义：其中Bw要求击中的部分，Bb要求击不中的部分。目的：用于精确检测图象A中结构元素B的位置，或从图A中检索B目标时使用。,下图给出消除噪声的一个图例。图 (a)包括一个长方形的目标X，由于噪声的影响在目标内部有一些噪声孔而在目标周围有一些噪声块。现在用图(b)所示的结构元素S通过形态学操作来滤除噪声，这里的结构元素应当比所有的噪声孔和块都要大。先用S对X进行腐蚀得到图 (c)，再用S对腐蚀结果进行膨
10、胀得到图 (d)，这两个操作的串行结合就是开运算，它将目标周围的噪声块消除掉了。再用S对图 (d)进行一次膨胀得到图 (e)，然后用S对膨胀结果进行腐蚀得到图(f)，这两个操作的串行结合就是闭运算，它将目标内部的噪声孔消除掉了。整个过程是先做开运算再做闭运算，可以写为,形态学滤波示意图,比较图(a)和(f)，可看出目标区域内外的噪声都消除掉了，而目标本身除原来的4个直角变为圆角外没有太大的变化。在利用开、 闭运算滤除图像的噪声时，选择圆形结构元素会得到较好的结果。为了能使从噪声污染的图像X中恢复原始图像X0的结果达到最优，在确定结构元素的半径时，可以采用优化方法。为了达到这一目的，可将图像和噪
11、声视为随机过程，通过统计优化分析得到优化结果。,8.3.2 中轴变换与骨架提取,把一个平面区域简化成图是一种重要的结构形状表示法。利用细化技术得到区域的骨架是常用的方法。 骨架的确定方法：中轴变换(Mdial Axis Transfonn，MAT) 若区域R的边界为B，则 对每个R中的点P，在B中搜寻与它最近的点；如果对P能找到多于一个这样的点（即有两个或两个以上的B中的点与P同时最近），就可认为P属于R的中线或骨架， 或者说P是一个骨架点。,火种法 设想在时刻，将目标边界各处同时点燃，火的前沿以匀速向目标内部蔓延，当前沿相交时火焰熄灭，火焰熄灭点的集合就构成了中轴。下图 是这个过程的图示。,
12、最大圆盘法 目标X的骨架由X内所有最大内切圆盘的圆心组成，如图所示。 最大圆盘定义的骨架与火种方式定义的骨架除在某些特殊情况下端点处存在差异外，绝大多数情况下都是一致的。,理论上讲，每个骨架点保持了其与边界点距离最小的性质， 因此用以每个骨架点为中心的圆的集合（利用合适的量度）， 就可恢复出原始的区域来。具体讲就是以每个骨架点为圆心， 以前述最小距离为半径作圆周， 它们的包络就构成了区域的边界，填充圆周就得到区域。或者以每个骨架点为圆心，以所有小于和等于最小距离的长度为半径作圆，这些圆的并集就覆盖了整个区域。中轴变换示意如下图所示。,中轴变换示意图,由上述讨论可知，骨架是用一个点与一个点集的最
13、小距离来定义的，可写成ds(p, B)=infd(p, z)zB 其中距离量度可以是欧几里德、市区或棋盘距离。因为最小距离取决于所用的距离量度，所以MAT的结果也和所用的距离量度有关。,图9-17给出了一些区域和用欧氏距离算出的骨架。由图9-17(a)、 (b)可知，对较细长的物体，其骨架常能提供较多的形状信息，而对较粗短的物体骨架提供的信息则较少。注意， 有时用骨架表示区域受噪声的影响较大，例如，图9-17(d)中的区域与图9-17(c)中的区域略有差别(可认为由噪声产生)，但两者的骨架相差很大。,一些区域和用欧氏距离算出的骨架示例,8.3.3 细化,如前所述，一个图像的“骨架”， 是指图像
14、中央的骨骼部分，是描述图像几何及拓扑性质的重要特征之一。求一幅图像骨架的过程就是对图像进行“细化”的过程。在文字识别、地质构造识别、工业零件形状识别或图像理解中， 先对被处理的图像进行细化有助于突出形状特点和减少冗余信息量。,细化前图像； 细化后的结果细化算法示意图,拓扑学(Topology)是研究图形性质的理论。区域的拓扑性质对区域的全局描述很有用，这些性质既不依赖距离，也不依赖基于距离测量的其他特性。除撕裂或连接外，在任何变形下都不改变的图形性质称为拓扑性质。显然，两点间的距离不是拓扑性质，因为当压缩或拉伸时它是改变的。,8.3.4 区域拓扑描述,如左下图所示， 如果把区域中的孔洞数H作为
15、拓扑描述子，显然，这个性质不受伸长、旋转的影响， 但如果撕裂或折叠时孔洞数会发生变化。 区域内的连接部分C的个数是区域的另一拓扑特性。一个集合的连通部分就是它的最大子集，在这个子集的任何地方都可以用一条完全在子集中的曲线相连接。图右下图所示有三个连接部分。,图像中的孔洞,有三个连接部分的区域,欧拉数(Euler number)E定义如下： EC-H 欧拉数也是区域的拓扑特性之一。图 (a)所示图像有1个连接部分和1个孔，所以它的欧拉数E为0； 图（b）中有1个连接部分和2个孔，它的欧拉数为1。,具有欧拉数为0和-1的图形,利用拓扑特性可以表征区域的凹凸性： 设想用一条橡皮筋紧箍在区域四周，橡皮筋所围的区域称为区域的凸形本体。在凸形本体但不属于区域的点集有两种情况完全被区域包围的点集称为湖泊，是区域的孔洞；在凸形本体周边内但在区域外的点集称为海湾，区域在此处内凹。海湾的大小和位置可以反映区域的凹凸情况。,
