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1、1,第二章 单纯形法2.1单纯形法原理,2,一、基础定理,定理1 若线性规划问题存在最优解，则问题的可行域是凸集。,定理2 线性规划问题的基本可行解对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点。,定理3 若线性规划问题最优解存在，则最优解一定在可行域顶点处取得。,由此可看出，最优解要在基本可行解（可行域顶点）中找。,3,若LP问题有最优解的话，定在可行域的某顶点处达到，又，一个顶点对应一个基本可行解，一个自然的想法是：找出所有的基本可行解。因基本可行解的个数有限，通过“枚举法”，从理论上讲总能找出所有的基本可行解。而事实上随着m，n的增大，解的个数迅速增大，致使此路行不通。,4,换一种思路：若从某一基
2、本可行解（今后称之为初始基本可行解）出发，每次总是寻找比上一个更“好”的基本可行解，逐步改善，直至最优。这需要解决以下三个问题：1.如何找到一个初始的基本可行解。2.如何判别当前的基本可行解是否已达到了最优解。3.若当前解不是最优解，如何去寻找一个改善了的基本可行解。,5,定义：如何从一个可行基找另一个可行基？称基变换。,定义：两个基本可行解称为相邻的，如果它们之间仅变换一个基变量。对应的基称为相邻可行基。,例 LP问题,二、思路解析,6,当前可行基 所对应的基本可行解,显然不是最优。,因为从经济意义上讲，,意味着该厂不安排生产，因此没有利润。,相应地，将 代入目标函数得,从数学角度看，若让非
3、基变量 取值从零增加，,(对应可行域的 ),7,相应的目标函数值Z也将随之减少。因此有可能找到一个,新的基本可行解，使其目标函数值有所改善。即进行基变,换，换一个与它相邻的基。再注意到 前的系数2比,前的系数1小，即 每增加一个单位对Z的贡献比 大。,故应让 从非基变量转为基变量，称为进基。又因为基,变量只能有三个，因此必须从原有的基变量,中选一个离开基转为非基变量，称为出基。谁出基？,8,又因为 仍留作非基变量，故仍有,（2）式变为,再让 从零增加，能取得的最大值为,此时， 已经从24降到了0，达到了非基的取值，变成非基变量。从而得到新的可行基 。,由此得到一个新的基本可行解：,9,目标函数
4、值：,从目标函数值明显看出， 比 明显地得到了改善。,此基本可行解对应可行域的,将（2）式,（2）,可行基,留在左边，非基变量,移到右边,10,（3）,用代入法得：,（4）,11,代入目标函数得：,这一过程用增广矩阵的行初等变换表示为：,1/6,（-1）,（2）,按最小非负比值规则：,主元素,12,目标函数系数行,按最小非负比值规则：,13,3/2,（-5）,（-1/3）,（1/3）,14,所对应的 LP问题,15,可行基,令非基变量 为0，得到最优解,最优值：,16,总结：在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能保证基可行解的非负性。最小比值能做到这一点。主元素不能为0。因为行的初等变换不能把
5、0变成1。主元素不能为负数。因为用行的初等变换把负数变成1会把常数列中对应的常数变成负数。,此基本可行解对应可行域的,其结果与图解法一致。,17,人工变量法（也称大M法）,针对标准形约束条件的系数矩阵中不含单位矩阵的处理方法。,例6 用单纯形法求解LP问题,单纯形的进一步讨论,18,解：先将其化为标准形式,再强行加上人工变量，使其出现单位矩阵：,19,但这样处理后：不易接受。因为 是强行引进，称为,人工变量。它们与 不一样。 称为松弛变量和剩,余变量，是为了将不等式改写为等式而引进的，而改写前后,两个约束是等价的。人工变量的引入一般来说是前后不等,价的。只有当最优解中，人工变量都取值零时（此时
6、人工,变量实质上就不存在了）才可认为它们是等价的。,处理办法：把人工变量从基变量中赶出来使其变为非基变量。为此，发明者建议把目标函数作如下处理：,20,其中M为任意大的实数，M称为罚因子。用意：只要人,工变量取值大于零，目标函数就不可能实现最优。,对此单纯形矩阵作初等行变换，有：,21,M,M,（-1）,（-3）,（4M）,1/6,22,3/2,（-1/3）,（3）,23,至此，检验行已没有负数，当前解即为最优解。,最优值为：,去掉人工变量 ，即得原LP问题的最优解：,24, 最优解判别定理：所有检验数0；人工变量为0, 无穷多最优解判别定理：所有检验数 0；人工变量为0；存在某个非基变量的检
7、验数为0, 无可行解判别：所有检验数 0；人工变量0,(4)无界解判别定理：有一个非基变量的检验数0,但该数对应的列中没有正元素；人工变量为0,解的判别定理：,25,单纯形法步骤,一、构造初始可行基1、引入附加变量，化为标准型2、必要时引入人工变量3、目标函数中，附加变量系数为0，人工变量则为M二、求基本可行解1、用非基变量表示基变量和目标函数式2、求出一个基本可行解及相应Z值三、最优性检验依据:检验数及判别定理四、基变换1、换入基的确定：检验数负值中最小的2、换出基的确定：最小非负比值规则返回步骤二,26,例2 解LP问题：,对单纯形矩阵作初等行变换，有：,按最小非负比值原则：,确定主元素。
8、,（-1）,（1）,1、无穷多个解,三、其他解的情况,27,至此，检验行已没有负数，当前解即为最优解。,此时对应的LP问题为：,0,28,此时对应的LP问题为：,0,29,此时对应的LP问题为：,0,1,30,当,时，不管 取何值，均有目标函数,取得最大值1。此时约束方程为：,其中 为基变量。,用非基变量表示出基变量：,其中， 为自由变量。设为 有:,其中c是满足非负性的任意常数。,31,再由,的非负性，知：,解出,（其中 ）,最优解为：,最优值为：-1,32,2、无最优解的两种情况：, 无界解,例3 解LP问题：,解：,对单纯形矩阵作初等行变换，有：,33,1/2,（2）,注意到6所在的列无
9、正元素，将基变量 及目标函数用非基变量 表示为,34,从目标函数看，若令非基变量,无限增大，Z也无限,性，即该LP问题所追求的目标函数是无界的，即无最小值，于是该LP问题无最优解。,减小，且没有影响 的非负,35, 无可行解,例4 求解LP问题,解：可行域为空集，无可行解。,36,下面先把此LP问题化为标准型，然后用单纯形法大M求解。,对单纯形矩阵作初等行变换，有：,37,从最后一个矩阵可看出，此LP问题无可行基，当然就无可行解。,38,LP当前解已是最优的四大特征：, 存在一组(初始)可行基（其系数矩阵为单位阵）。, 检验行的基变量系数=0。, 检验行的非基变量系数 0。,全部0唯一解。,存
10、在=0无穷多个解。, 常数列向量0。,下面的问题是：所给LP的标准型中约束矩阵中没有现成的可行基怎么办？,39,2.2 单纯形法的表格形式书例2.1 P18,表格：P25,40,作业P79 1.3（2），1.7（1）,41,大M法目标是尽快把人工变量从基变量中全部“赶”出去（如果能全部“赶”出去的话）。所用方法除了大M法外，还有下面的两阶段法。,两阶段法,用大M法处理人工变量时，若用计算机处理，必须对M给出一个较大的具体数据，并视具体情况对M值作适当的调整。,为了克服这一麻烦，下面的两阶段法将问题拆成两个LP问题分两个阶段来计算：,2.3 大M法和两阶段法,42,两阶段法的第一阶段求解一个目标
11、中只包含人工变量的LP问题，即令目标函数中其它变量的系数取零，人工变量的系数取某个正的常数（一般取1），在保持原问题约束不变的情况下求这个目标函数极小化的解。显然在第一阶段中，当人工变量取值为0时，目标函数值也为0。这时候的最优解就是原问题的一个基可行解。如果第一阶段求解结果最优解的目标函数值不为0，也即最优解的基变量中含有非零的人工变量，表明原LP问题无可行解。,43,第二阶段：求解原线性规划问题的最优解。以第一阶段的最终单纯形表为基础，去掉人工变量，目标函数换为原问题的目标函数，得到第二阶段的初始表，继续迭代求解。,44, 若求得的单纯形矩阵中，所有人工变量都处在非基变量的位置。即 及 。
12、则从第1阶段去掉人工变量后，即为原问题的初始单纯形矩阵。并进入第2阶段。,第一阶段求解第一个线性规划：,45, 若第一阶段所求得的单纯形中仍含有（解）非零的人工变量，则说明原问题无可行解。不再进入第2阶段。,因此两阶段法的第1阶段求解有两个目的：一为判断原问题,有无可行解。二，若有，则得原问题的一个初始可行基，再,对原问题进行第2阶段的计算。,46,对单纯形矩阵作初等行变换，有：,例：,第1阶段：,47,（-1）,（-1）,48,（-3）,（4）,1/6,（-1）,49,（-3）,（6）,2,转入第2阶段：,3,-1,（-3）,50,3/2,（-1/3）,（3）,51,书例：表格形式,大M法:
13、P25 表2.2.1 两阶段法:P27 表2.3.1；2.3.2,52,作业P80 1.8（1）,53,2.5 改进单纯形法,单纯形法计算的特点是每迭代一次，就要把整个单纯形表重新计算一遍。从计算机的角度来讲，单纯形法并不是一种经济高效的方法。首先是要占用大量的存贮空间，其次，由于每次计算都利用上一次的单纯形表，当计算次数较多时，容易造成误差的积累，直接影响计算精度和收敛速度。改进单纯形法的基本计算步骤和单纯形法基本相同，但在上述两方面有所改进。,54,在单纯形法的迭代过程中，我们实际需要的只有以下各项：1、检验数 ,以判断是否最优或确定换入基变量。2、换入变量所在列的各元素 和基变量的值 ，根据 决定换出基变量。,55,Min z = CX s.t. AX=b X 0,单纯形法的矩阵形式,56,57,即,58,在单纯形法的矩阵形式中我们可以发现，单纯形表中的其它数字可利用 和原始系数进行运算直接得到：这就是改进单纯形法的出发点。令向量Y表示 ，即 称其为单纯形乘子。P34例子2.5,
