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1、空间中直线与直线的位置关系,判断下列直线的位置关系:1、竖直的两条电线杆所在的直线,思考:在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系?,2、十字路口的两条路所在的直线,3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线,空间的两直线呢?,1.空间中两条直线的位置关系,观察：,观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗?,观察正方体的棱所在直线,回答类似的问题.,思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？,l,m,P,m,l,图1,图2,l,l,l,l,空间中两直线的位置关系,从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。
2、空间中直线之间的这种关系称为异面直线。,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）,不同在任何一个平面内,1、异面直线,判断：,直线m和l是异面直线吗?,(2) ,则 与 是异面直线,(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面,异面直线的画法:,通常用一个或两个平面来衬托,异面直线不同在任何一个平面的特点,这样表示a、b异面正确吗？,想一想,做一做：,1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？,a,b,c是三条直线,若a,b是异面直线, b,c是异面直线,判断a,c的位置关系,并画图说明.,想一想,做一做：,2.
3、下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？,想一想,做一做：,三对,AB与CDAB与GHEF与GH,3.,异面直线的判定定理,异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,与 是异面直线,例1.已知空间四边形ABCD，E、F分别为BC、DA的中点. 求证：AE和CF是异面直线,A,B,C,D,E,F,证明:,所以AE和CF是异面直线,空间两条直线的位置关系有且只有三种,没有,只有一个,没有,共面,不共面,共面,空间中两条直线的位置关系,2.空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果
4、两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？,公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。,公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。,公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。,abcb,ac,符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。,分析：,欲证EFGH是一个平行四边形,只需证EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结B
5、D,只需证：EH BD且EH BDFG BD且FG BD,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。,变式一： 在例1中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?,E,H,F,G,分析： 在例题1的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,变式二：,空间四面体A-BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ，求证:四边形ABCD为梯形.,A,B,C,D,E,H,F,G,分析：需要证明四边形ABCD有一组对边平行，但不相等。,、一条直线与两条异面直线中的一
6、条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（）,、平行、相交、异面、可能平行、可能相交、可能异面,、两条异面直线指的是（）,、没有公共点的两条直线,、分别位于两个不同平面的两条直线,、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线,、不同在任何一个平面内的两条直线,练习：,3、下列命题中，其中正确的是,（）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行,（）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行,（）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行,（）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行,3.等角定理,提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分
7、别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?,观察思考：如图,ADC与ADC、ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,3.等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,3.等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.,两直线的夹角：,两直线相交所成的4个角中,其中不大于 的角叫做两直线的夹角,三、两条异面直线所成的角,如图所示，a，b是两条异面直线，,在空间中任选一点O，,过O点分别作 a，b的平
8、行线 a和 b，,a,b,则这两条线所成,的锐角（或直角），,称为异面直线a，b所成的角。,？,任选,若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直。,异面直线a与b垂直也记作ab,异面直线所成角的取值范围：,平移,异面直线所成的角,如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作ab。,例 1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，指出下列各对线段所成的角： 1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； 3) A1B与D1B1。,1）AB与CC1所成的角,= 9 0,2）A1 B1与AC所成的角,= 4 5,3）A1B与D1B1所成的角,= 6 0,求异面直线所成角的一般步骤:(1)平移
9、作角作(2)补形说角证(3)计算求角求,例2.正四面体ABCD(四个面都是全等的等边三角形)中,M,N分别是BC和AD的中点,求异面直线AM和CN所成角的余弦值.,A,B,C,D,M,N,H,解:连结DM，取DM中点H,连结NH、CH，则有NHAM,所以CHN为AM和CN所成的角,令BC=a,(或其补角),例3.在空间四边形ABCD中,对角线AC=10,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,MN=7,求异面直线AC和BD所成的角,A,B,C,D,M,N,P,NPM=1200,即异面直线AC和BD所成的角是600,解:取AD中点P，连结MP、NP,MPBD、NPAC,MP=3、NP=5,NPM
10、就是AC和BD所成的角(或其补角),为什么？,例4.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）,O1,M,解：,为什么？,平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。,补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,例5.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。,定角一般方法有：,（1）平移法（常用方法）,小结：,3.求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学思想。,（2）补形法,化归的一般步骤是：,定角,求角,1.异面直线及其所成的角定义;2.异面直线所成的角的范围:,4.用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：,（1） 当 cos 0 时，所成角为 ,（2） 当 cos 0 时，所成角为 ,（3） 当 cos = 0 时，所成角为,90o,
