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1、数学建模（Mathematical Modeling),黑龙江科技学院理学院工程数学教研室,第六章 数值分析模型,理学院,弦截法和抛物线法,非线性方程求根,迭代法,重点:插值法和非线性方程求根,难点:利用数值分析方法建立数学模型,插值法,理学院,建模举例,理学院,数值分析（numerical analysis）是研究用计算机求解各种数学计算问题的数值计算方法及其理论与软件实现的学科。数值分析就是介绍如何用计算机来解决数学问题，以各种各样的程序语言来设计出数值计算程序，然后依靠计算机的强大计算能力来求解这些数学问题，数值分析对数学理论与程序设计并重。 运用数值分析解决问题的过程可分为如下几步：实
2、际问题数学模型数值计算方法程序设计上机计算求出结果。 数值分析这门学科有如下特点：（1）面向计算机（2）有可靠的理论分析（3）要有好的计算复杂性（4）要有数值实验（5）要对算法进行误差分析,函数逼近问题,设y = f(x)，若对以函数y = f(x)来说 其值是通过实验或观测得到，不知其解析表达式； 解析表达式很复杂，不便分析。问题：能否构造一个较为简单的函数P(x)近似地表示f(x)。这就是函数逼近问题。上述函数f(x)称为被逼近函数，P(x)称为逼近函数。逼近方式有两种：插值和拟合。,理学院,在生产和科学研究中,经常出现这样的问题:由实验或测量得到的某一函数 在一系列点 处的值 ,需要构造
3、一个简单函数 作为函数 的近似表达式: ,使得 这类问题称为插值问题.,-被插值函数,-插值函数,-插值节点,-插值条件,6.1 插值法,插值函数：有各种类型，如代数多项式，三角函数，有理函数等。当插值函数为多项式时，称为（代数）插值多项式。,minxi,maxxi = a,b-插值区间,x0,xi,x,y0,yi,y,yf(x),o,从几何上看，插值法就是要求一条曲线 它通过已知的n+1个点(xi,yi)(i=0,1, ,n)，并用 近似表示 f(x).（下图）,理学院,一、插值基函数与Lagrange插值1. 简单情形 (1) n = 1时. 设 yi = f(xi) i = 0，1.作直
4、线方程： 令：称 为两点式插值或线性插值。,理学院,(2) n = 2时. 设yi = f(xi)i = 0，1，2. 令：称 为三点式插值或抛物插值。,理学院,2. 推广 n = 1时，记 则 n=2时，记则,理学院,一般地令 则lj(x) (j = 0，1，2，n)为n次多项式称为Lagrange插值基函数， 为Lagrange插值多项式。,理学院,理学院,例6.1.1 给定数组,（1）作一分段线性插值函数,理学院,.,理学院,Matlab代码如下:function Y,Phi=FenDuanXianXingChaZhi(xx)clc x1=75:80; y=2.768,2.833,2.9
5、03,2.979,3.062,3.153; n=size(x1,2); syms x positivefor i=1:(n-1)Phi(i)=y(i)*(x-x1(i+1)/(x1(i)-x1(i+1)+y(i+1)*(x-x1(i)/(x1(i+1)-x1(i);endPhi=Phi; l=find(x1xx); Y=subs(Phi(l(1)-1),xx); end,函数的调用格式为xx=75.5Y,Phi=FenDuanXianXingChaZhi(xx)得到的结果为：Y =2.8005Phi =(13*x)/200 - 2107/1000 (7*x)/100 - 2487/1000 (
6、19*x)/250 - 2949/1000 (83*x)/1000 - 699/200 (91*x)/1000 - 4127/1000,理学院,Y=2.8005的值就是,的函数值。,的函数值是3.0039。,同理可得到,理学院,例6.1.2 由函数,生成以下离散数据，并利用其计算函数在 x=1.98，y=0.36处的函数值。并与真值作比较。,理学院,二、牛顿插值,来计算函数值,在理论上，利用插值基函数求出Lagrange插值多项式是很重要的。但用 来计算 的近似值却不大方便，特别是达不到要求的精度，这就要求增加插值节点，插值节点的增加意味着要重新计算全部的插值基函数。Lagrange插值法的计
7、算量就变得很大了为此我们需要另一种便于计算的插值多项式。,理学院,理学院,类似地，可以定义二阶均差,理学院,理学院,注意:,引例导入,浮力问题,一个半径为r，密度为的球重 ，高为h的球冠体体积为 ，求 的球浸在水中部分的深度是半径的几分之几（见图1）。,6.2 非线性方程求根,理学院,图1,理学院,问题分析,设=0.6的球浸在水中部分的深度为h,由物理学中知识，漂浮时，重力等于浮力可知：,令h=kr,即：,问题：如何求解k的值？,理学院,工程实际与科学计算中都遇到大量求解非线性方程的问题。设非线性方程为,求数,使得,则称,为方程（6.2.1）的根，也称函数,的零点。求解非线性方程在初等代数中就
8、有研究。例如，,代数方程（二次、三次方程等）、超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。,但是我们发现即使是最基本的代数方程，,当次数超过4时，,一般情况下就不能,用公式表示方程的根，至于,超越方程那,就更难了。,（6.2.1）,x0,x1,a1,b2,x*,一、区间对分法（二分法）,1. 确定有根区间:,2. 逐次对分区间：,3. 取根的近似值:,b1,a2,理学院,其误差为:,根的近似值:,理学院,用对分区间法求根步骤：,理学院,理学院,6.3 迭代法,理学院,将方程,等价变形为,，若要求满足,的根,，等价的是求,使得,，称,与,同解；反之亦然。这时的,称为是函数,的一个不动点。求方程,的根
9、等价于求,的不动点。,不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为,(6.3.1),其中函数,称为迭代函数.如果对任意,由式（6.3.1）产生的序列,有极限,则称不动点迭代法（6.3.1）收敛.,1、简单迭代法,x,y,o,是否对于任意的等价形式 该迭代法都是收敛的？什么情况下收敛？,理学院,理学院,定理6.3.1 (不动点存在性定理),设,满足以下两个条件:,（1）对任意,，有,（2）存在正常数,使对任意,都有,则,在,上存在惟一的不动点,定理6.3.2 （不动点迭代法的全局收敛性定理）设,满足定理6.3.1中的两个条件,则对任意,得到的迭代序列,由(6.3.1)式,收敛到,的不动点，并有,误差估计
10、,式,和,理学院,定理6.3.3（不动点迭代法的局部收敛性定理） 设,为,的不动点,在,的某个邻域连续，且,，则迭代法(6.3.1)局部收敛.,例6.3.2 求方程,要求结果精确到10-5。,在0, 0.5内的根，,解 将方程变形,因为,在0, 0.5内为增函数，所以,满足收敛条件，取,x0 = 0.25，用迭代公式,计算步骤如下,x1 = (0.25) = 0.3385416x2 = (x1) = 0.3462668x3 = (x2) =0.3471725x4 = (x3) =0.3472814x5 = (x4) =0.3472945x6 = (x5) =0.3472961x7 = (x6)
11、 =0.3472963,取方程,的近似根为x* = 0.347296。,2、牛顿迭代法,基本思想：牛顿法是将非线性方程线性化的一种近似方法。它是将 在初始点 附近展开成泰勒级数 ，取其线性部分(即前两项)，作为非线性方程 的近似方程，则有： 。,牛顿迭代公式：,理学院,牛顿迭代公式的几何意义,x,y,o,x0,x1,x2,用曲线上某一点处的切线与x轴的交点来逐步趋近于曲线与x轴的交点，进而近似地求出 的根,因此又称切线法.,理学院,理学院,解：,代入初值得：,Newton法迭代公式为,理学院,单点弦截法,基本思想：单点弦截法是通过曲线上两点（其中一个是初始点，另一个是新点）的直线与轴的交点来近
12、似取代曲线与轴的交点，即的近似根,单点弦截法迭代公式：,6.4 弦截法和抛物线法,理学院,x,y,o,x0,x1,x2,几何意义,x,理学院,两点弦截法,基本思想：单点弦截法是通过曲线上两点（两点都是新点）的直线与轴的交点来近似取代曲线与轴的交点，即的近似根。,两点弦截法迭代公式：,理学院,x,y,o,x0,x1,x2,几何意义,x,理学院,类似割线法，过三点做f(x)的二次插值多项式,抛物线法（muller法）,理学院,y(x),x,Secant line,x1,抛物线插值,x2,x3,Parabola,理学院,理学院,问题：交通事故勘察一辆汽车在拐弯时急刹车,结果冲进路边的沟里,警察闻迅赶
13、到现场,对汽车留在路上的刹车痕迹进行了细致的测量,利用所测到的数据画出了事故现场的平面图.并询问司机,他说:当车进入弯道时刹车失灵,并且进入弯道时的车速为40英里/小时,通过验车证实该车的刹车制动器在事故发生时的确失灵,但司机所说的车速是否真实?请给出一个可以使警察核对速度的计算方法.（外侧刹车痕迹的有关值(见表)）,建模举例,6.5 建模举例,理学院,作基准线测量刹车痕迹,距离x沿基准线测y(y与x垂直),理学院,1.汽车沿弯路行驶,车轮转着打滑,车滑向路边.2.车轮所受摩擦力作用在汽车速度的法线方向上,并充当转弯时的向心力.3.车速V为常量,汽车重心沿半径为r的圆运动.,模型假设,理学院,
14、用观测方法得到反映某个函数 的数据 利用这些数据构造出 的近似表达式 ， 即寻找一条曲线使它能很好近似 ，以反映所给数据的总体趋势，消除局部波动的影响，这就是曲线拟合问题。,曲线拟合法建模,基本思想,理学院,1.决定经验公式（函数 ）的形式。 根据系统和测定数据的特点，参照已知图形的特点决定经验公式。,2.确定经验公式中待定系数的方法（拟合准则） 衡量一个函数P(x)同所给数据(xi，yi )的偏差,基本步骤,3.检验：求得经验公式后，有时要将实际测定的数据与用公式求出的理论值进行比较，若相差不多，说明拟合比较好，反之要修正经验公式。,理学院,最小二乘准则：使偏差 的平方和最小，即 （1）,最
15、小一乘准则：使偏差 的绝对值之和为最小，即 （2）,极小极大准则：使偏差 的最大绝对值为最小，即 （3）,拟合准则,理学院,(a)取 ,则 -直线拟合,(b)取 ，则 -多项式拟合,(c)取 ，则 -多元线性拟合,(d)取 ，则 -双曲线拟合,常用拟合曲线,理学院,应用举例,孩子成长问题:一个男孩在11岁长到21岁过程中,身高的变化如下表,试找一个最佳的函数曲线来表示这个男孩的成长过程.,理学院,分析问题,1）绘制数据散布图,根据上表中的离散数据，使用Mathematica软件画出相应散点图。,文件名：ch61.mad1=0,0,0.8,0.74,1.4,2.25,2.0,5.25,2.4,8
16、.25,3.2,15.00, 4.0,21.38,4.8,26.25,5.4,28.88,6.0,30.60,7.0,32.25,8.0,33,10.0,35 ;gp=ListPlotd1,PlotStylePointSize0.01,理学院,运行得到如下图象：,理学院,2）分析数据散布图,由上图可见，取正弦级数为拟合曲线较为合适。,3）选择函数关系形式.,为此这里令,用Mathematica计算中的参数a1,a2,a3。输入命令：f=Fitd1,SinPi*t/20,Sin3*Pi*t/20,Sin5*Pi*t/20,tfp=Plotf,t,0,10Showgp,fp,理学院,运行后显示,从上图可见，拟合效果很好。,理学院,本章小结,本章介绍常用的数值分析算法，插值法、曲线拟合和非线性方程求根的迭代法，利用这些数值方法解决实际问题。旨在使大家对数值分析方法解决实际问题有一个初步的了解。,理学院,
