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1、异面直线所成的角,复习：,1、异面直线的概念：我们把_叫做异面直线,2、空间两条直线的位置关系有且只有_种：_,3、平行公理4：_,4、等角定理：_ _,不同在任一平面内的两条直线,三,相交、平行、异面。,平行于同一条直线的两直线互相平行,空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。,其特点是既不相交也不平行,5、两条直线所成的角是_范围是_,问题1：正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB的位置关系。,说明：从位置关系来看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”来考虑异面直线间的相对位置是不够的。,
2、问题2：用什么来刻划两条异面直线的相对位置呢？,距离和角,问题3：一张纸中画有两条能相交的直线a、b（但交点在纸外）现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何量出a、b所成角的大小？其理论依据是什么？,问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？,b,异面直线所成角的定义： 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a/a，b/b，把直线a和b所成的锐角（或直角）叫直线a和b所成的角。,思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？,点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。,a,b,a,O,O,O1,a,b,b1,a1,探究:,（
3、1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直?,（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行?,即ab，若ac，则bc,下面我们来探究更一般的角的问题,a,b,c,巩固、提高,例1、在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：（1）A1B与CC1所成的角；,D,1,分析：（1）B1B / CC1 A1BB1为A1B与CC1所成的角 在A1BB1中，A1B1=BB1； A1BB1=45oA1B与CC1所成的角为45o,-找,-证,-算,-答,巩固、提高,例1、在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：（1）A1B与CC1所成的角；口答（2） A1B1与C1C所成的角；
4、 （3）A1C1与BC所成的角；（4）A1C1与D1C所成的角。,（2）A1B1B=90o,（3）A1C1B1=45o,（4）BA1C1=600,小结二：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：,简记为“作（找）证算答”。,（1）作图：作（找）出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。（4）结论。,小结一：这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，,变式一：（07福建卷）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、
5、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ） A.45 B.60 C.90 D.120,步骤 “作（找）证算答”,A,B,C,D,A,B,C,D,1,1,1,1,E,G,F,H,解：连接A1B，BC1，A1C1 A1B / EF，BC1 / GHA1B C1为EF1与GH所成的角在三角形A1BC1中，A1B= BC1= A1C1A1B C1=60 异面直线EF与GH所成的角等于60,例2、在长方体ABCDA1B1C1D1中，A A1= AB = 2，AD = 1，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。,变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD
6、A1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是_。,变式3：在正四面体SABC中，SABC，E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）（A）30 （B）45 （C）60 （D）90,A,C,B,S,E,F,H,B,课堂小结：,1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中，一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。2、计算角的大小，要遵循“作证算答”四步骤。3、求解异面直线所成的角的方法是“平移法”，也即“化异面为共面”，“化空间为平面”，它突出体现了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范围的约束。,课后作业：,课本第48页练习第2题。补充：1、空间四边形ABCD中，PR分别是AB、CD的中点，且PR= ，AC=BD=2，求AC与BD所成的角。2、正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。,A,B,C,D,A,B,C,D,1,1,1,1,
