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1、数学模型 分形简介,北京理工大学 王宏洲,大自然的不规则性：树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科-分形(Fractal)：英国的海岸线有多长？,一、分形简介,1、分形的起源,分形的特性 1、具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的 拓扑维数 4、具有随机性 5、在大多数情况下，分形可以用非常 简单的方法确定，可能由迭代产生。,分形的应用领域 1、数学：动力系统 2、物理：布朗运
2、动，流体力学中的湍流 3、化学：酶的构造， 4、生物：细胞的生长 5、地质：地质构造 6、天文：土星上的光环 其他：计算机，经济，社会，艺术等等,2、图形迭代生成分形,给定初始图形 ，依照某一规则 对图形反复作用 得到图形序列 其极限图形是分形，作用规则 称为生成元。,例如，Cantor 集的生成元是Van Koch 雪花曲线的生成元是,Minkowski “香肠”,Sierpinski地毯,花草树木(L系统）,生物学家Lindenmayer提出。一个L系统可表示为一个有序的三元素集合：其中：V是一些运动过程集合， w是初始形状， P是生成式。,例如，F表示向前距离d, +表示左转弯a, -表
3、示右转弯，表示压栈，表示出栈。,花草树木(L 系统）,3、函数迭代产生的分形,Z表示复数，在复平面上定义函数f(Z)。任意给定初始复数值 ，定义复数序列对于什么样的初始值 ，复数序列收敛或有界？,Julia集 考虑复变函数迭代固定复参数 c，使得迭代序列有界的初值 在复平面上的分布图形称为Julia集，亦即 迭代序列 有界,Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代序列（2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 记 则（2）变为,Julia 集的绘制方法：1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K.2
4、、设定区域的界值 3、将区域 分成 的网格，分别以每个网格点为初值 利用（3）做迭代。如果对所有的 都有 ，则将象素(i, j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始，则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。,Julia 集,Mandelbrot集,、IFS迭代产生分形,混沌游戏给定平面上三点A, B, C。再任意给定初始点 , 做下列迭代,当掷出的硬币呈正面,当掷出的硬币呈反面,当掷出的硬币呈侧面,按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。,IFS迭代 IFS-Iterated Function System 取定 n 个仿射变换以及 n 个概率 任给初值 ，以概率 选取变
5、换 进行迭代 则点集 的聚点集合称为一个IFS吸引子。,用IFS绘制分形的方法、设图形可视区域为假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数为N。、将 V 分成 的网格，格点为 用 表示矩形区域。用表示在N次迭代中落入 中点的个数。记 则象素 (i,j)的灰度为,5、一些分形图片,分形并不只是能产生一些毫无意义的怪异曲线！,关键如何去设计迭代方式和过程，分形就能描绘出与现实世界惊人相似的图像！,三、分形的应用,欧几里得几何学它无法描写大自然中的云彩 、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不 光滑，闪电更不是沿着直线传播的。 自然界的许多图样都是如此地不规则和
6、支离破碎。这些图样的存在，使我们去探索那些被欧几里得认为是“无形状可言的 ”形状，去研究“无定形”的形态学。于是就产生了分形几何学。,自然界中的分形几何,分形几何学它描述了大自然和我们周围的许多不规则和支离破碎的形状.分形理论是一门交叉性的学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、 社会学等等，都与分形融合与关联。分形理论对方法论和自然观产生了强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的.,自然界中的分形几何,自然界存在的一些形状及其结构诸如星系、闪电、泥裂、材料断口、水
7、系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、小肠绒毛、大脑皮层等等。尽是分形。,自然界中的分形几何,我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，金融市场价格的起伏等，获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版的图表等。这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几里得结构特别是需要分形几何学。分形几何它与欧几里得几何相反，是没有规则的。它们处处无规则。而在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形客体看起来一个模
8、样自相似。整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。,自然界中的分形几何,自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。分形能伪造海岸线、山峦和云团。以致用分形制作星际旅行II那样的影片的一些场景。 “云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进”。所有这些自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。其部分放大便能进一步揭示其深层结构。,自然界中的分形几何,模型所建立的简单的几何
9、结构，其与所生成的自然结构特征相同。从山峦的分形模拟方法产生一种理论，以描述地球表面的地势起伏。,自然界中的分形英国的海岸线有多长？,1967年Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题。长度与测量单位有关，以1km为单位测量海岸线，就会将短于1km的迂回曲折长度忽略掉；若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大；若测量单位进一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。这就
10、是因为海岸线是极不规则和极不光滑的。我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度。,英国的海岸线有多长？,Mandelbrot突破了这一点，长度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征。海岸线虽然很复杂，却有一个重要的性质自相似性。从不同比例尺的地形图上，我们可以看出海岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的。海岸线的任一小部分都包含有与整体相同的相似的细节。,自然界中的分形,分形在自然界中普遍存在.大自然丰富多彩的面貌,人类社会中普遍存在的各种
11、不规则现象，如流体湍动、曲折的海岸线、多变的天气、动荡的股市、经济收入分配关系、棉花的价格波动等等。 Mandelbrot试图通过分形几何学统一去描述自然界和社会的一切现象.分形是一个新的数学领域-有时也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树枝、小麦根系、海岸线等自然现象，而且在生物医学,天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。,自然界的树并不能没有限制地分叉，整个树木也不会是所谓超级树的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。能看到的小尺度的星系可延伸到1500万到3000万光年之遥。但仍然存在着尺度超过30000万光年的大空白区。应用分形最活跃的领域是在
12、物理学和生命科学.它们已帮助处理了一些非常老的问题，也解决了某些崭新的困难问题。,自然界中的分形,生命作为自然界最复杂的存在方式，必然有分形的参与。生命现象从宏观到微观的各个层次，都存在着分形现象。分形还全面体现在生物的生化组成、生理、病理、形态等各个方面。这种现象绝非偶然，而是与生命的本质与特征密切相关。分形在生物医学图像领域里的应用研究异常活跃。,分形与生命,分形的应用,分形分维的经络形态及解剖结构肝脏超声图像分形特性的研究分形理论在医学图像边缘增强和检测中的应用研究分形几何在医学图像处理中的应用分形与经济学分形与气象学分形音乐,分形音乐,如果我们把一首音乐的音符音阶随时间的变化看成一种波
13、动，则音乐可归入科学中的噪音范畴。科学中的噪音的定义是指任何量随时间t的不可预测的变化。现已发现每一种噪音的跟踪轨迹都是一条分形曲线。音乐它的波动既有随机性又有一定的相关性，音乐往往会给人一种悦耳的感觉。研究发现：几乎所有的音乐节律都模仿一种噪音。,分形音乐,分形音乐是分形艺术的一个重要部分，分形音乐是由一个算法的多重迭代而产生。利用分形几何的自相似特性来建构一些带有自相似小段的合成音乐。主题在带有小调的多次的返复循环中重复，在节奏方面加上一些随机变化，所创造的效果，无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正的音乐。有人把著名的曼德勃罗集转化为音乐，取名为倾听曼德勃罗集（Hearing the
14、 Mandelbrot Set），他们在曼德勃罗集上扫描，将其得到的数据转换成钢琴键盘上的音调，从而用音乐的方式表现出曼德勃罗集的结构，极具音乐表现力。,分形在数字全息显示中的应用,数字点阵全息图 分形图的编码,数字点阵全息图,数字点阵全息图是由计算机控制的激光光束干涉点阵刻蚀而成.它是依赖计算机产生图形并通过计算机精密地控制干涉激光束在记录介质上刻蚀点阵衍射光栅来实现。应用混沌和分形的理论，以带有无限变量重复码的方式来产生一系列类似于万花筒中观察到的随机花样的图案 - 分形图像和探索应用分形图像制作数字像元全息图时逐点的仿射对应关系。,光栅点的编码,这种标志的图案是由一些极小的光栅点（约几十
15、至一百微米左右）组成的，而每一个光栅点又包含非常微细的光栅（小于一微米），在制作过程中，电脑按制作要求对光栅点逐点进行编码使每一个点上的光栅的方向或密度发生变化从而达到预定的视觉效果；对光栅点的编码方式和方法是根据图案的具体设计而定，他人极难模仿。譬如以分辨率为300dpi制作的图案，在一平方厘米的面积内就接近有1.4万个光栅点，除了图案的设计，若要仿制出同样视觉效果的图案必须要求这1.4万个光栅点的编码要与原图案一致。,分形图案与点阵全息图刻蚀,分形图案的设计分形图案是在所编制的专用电脑程序上输入有关的数据通过某一种算法来产生的在自然界并不存在但却非常奇异和富有装饰性的图案。,分形图案,分形图案可以用点阵全息技术制作成为全息图的一部分或整体，也可以叠加在原注册商标上作为背景图案，由此而制成的标志具有极好的防伪性能，只要我们保留这些数据不外泄，任何人都不能产生相同或相类似的分形图案。另外，用点阵分形全息术制作的全息图案，由于其特性所决定不能通过照相、复印或电脑扫描等手段来复制。,
