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1、黄河小浪底调水调沙问题,问题的提出,2004年6月至七月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，直到7月13日恢复正常供水结束。小浪底水利工程设计拦沙量为75.5亿立方米，在这之前，小浪底共积泥沙达14.15亿t。这次调水调沙试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后到达小浪底，7月
2、3日达到最大流量2700立方米每秒，使小浪底水库的排沙量也不断增加，表1是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的实验数据。,实验观测数据（表一）,问题分析 and 模型假设,对于问题（1）某一时刻的排沙量V=v(t)S(t)，其中v(t)为t时刻的水流量，而S(t)为t时刻的含沙量。 对于问题（2），研究排沙量与水流量的关系，从实验数据可以看出，开始排沙量是随着水流量的增加而增长，而后是随着水流量的减少而减少。显然，变化规律不是曾线性的关系，因此，把问题分为两部分，从开始水流量增加到最大值为第一阶段，从水流量的最大值到结束为第二阶段，分别来研究水流量与排沙量的关系。,假设1：水流量和排
3、沙量都是连续的，不考虑上游泄洪所带来的含沙量和外界带来的含沙量。假设2、时间是连续变化的，所取时间点依次为1,2,3，,24,单位时间为12h,模型建立与求解,对于问题一，因为排沙量与时间的散点图基本符合正态曲线，如图一所示。所以，排沙量的对数与时间的函数关系就应该符合二次函数关系（曲线见图二），因而排沙量取对数后，再与时间t进行二次回归.假设排沙量与时间函数关系为y=e(at2+bt+c),两边取对数后为Lny=at2+bt+c先由表二做出排沙量的自然对数lny与时间t的散点图见图一，并利用SAS软件进行拟合，得到排沙量的自然对数与时间的回归方程为：Lny=-0.0209t2+0.4298t
4、+10.6321由回归拟合参数表可知回归方程是显著的，因为相关系数人R2=0.9629,误差均方S2=0.0543，说明回归曲线拟合效果很好。所以排沙量与时间之间的函数关系式为y=e(=-0.0209t2+0.4298t+10.6321),图一 图二,对于问题（2），研究排沙量与水流量的关系，从实验数据可以看出，开始排沙量是随着水流量的增加而增长，而后是随着水流量的减少而减少。显然，变化规律不是曾线性的关系，因此，把问题分为两部分，从开始水流量增加到最大值为第一阶段，从水流量的最大值到结束为第二阶段，分别来研究水流量与排沙量的关系。具体数据如下表。,第一阶段实验观测数据 单位：水流量为m3/s
5、,含沙量为kg/m3,第二阶段实验观测数据 单位：水流量为m3/s,含沙量为kg/m3,对于第一阶段，由表5-3用Matlab作图可以看出其变化趋势，我们用多项式作最小拟合。程序如下： x=1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720; y=32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115; plot(x,y,r)如图所示：,利用已知数据对其作三次多项式拟合，编写MATLAB命令如下：x=1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720; y=3
6、2 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115; A=polyfit(x,y,3)A=1.842*e-7-1.317*e-33.1784-2.492.9 z=polyval(A,x); plot(x,y,*,x,y,r,x,z,b)可得：a0=-2.492.9 a1=3.1784 a2=-1.317*e-3 a3=1.842*e-7于是可得拟合多项式为：,三次多项式拟合效果图,利用已知数据对其作四次多项式拟合，编写MATLAB命令如下： x=1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720; y=32 60
7、75 85 90 98 100 102 108 112 115; A=polyfit(x,y,4)A=-1.93*e-101.94*e-6-7.26*e-30.01206*e+3-7.4347*e+3 z=polyval(A,x); plot(x,y,*,x,y,r,x,z,b)及得到A0=-7.4347*e+3 a1=0.01206*e+3 a2=-7.26*e-3 a3 =1.94*e-6 a4 =-1.93*e-10于是可得拟合多项式为：,四次多项式拟合效果图,从上面的三次多项式拟合和四次多项式拟合效果来看，差别不太大，基本可以看出排沙量与水流量的关系。对于第二阶段，由表5-4可以类似处
8、理。用线性最小二乘法作三次和四次多项式拟合，拟合效果与MATLAB程序如下：第二阶段三次多项式拟合效果图： x=2650 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 1750 1500 1000 900; y=116 118 120 118 105 80 60 50 40 32 20 8 5; A=polyfit(x,y,3)A = -0.0000 0.0006 -0.9475 464.9601 z=polyval(A,x); plot(x,y,*,x,y,r,x,z,b),第二阶段三次多项式拟合效果图,四次多项式拟合效果图： x=2650 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 1750 1500 1000 900; y=116 118 120 118 105 80 60 50 40 32 20 8 5; A=polyfit(x,y,4)A = -0.0000 0.0000 -0.0013 1.1219 -354.5952 z=polyval(A,x); plot(x,y,*,x,y,r,x,z,b),第二阶段四次多项式拟合效果图,
