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1、,常见曲线的参数方程,1 旋轮线 2 旋轮线也叫摆线3 旋轮线是最速降线 4 心形线 5 星形线 6 圆的渐伸线 7 笛卡儿叶形线 8 双纽线9 阿基米德螺线 10 双曲螺线,主 目 录（110 ）,a,曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。,1. 旋轮线,一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的,来看动点的慢动作,.,2a,2a,a,x = a (t sint)y = a (1 cost),t 的几何意义如图示,t,a,当 t 从 0 2，x从 0 2a,即曲线走了一拱,a,.,参数方程,这就是旋轮线的参数方程。,将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,2. 旋轮线也叫摆线（单摆）,
2、.,两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。,B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,3. 旋轮线是最速降线,生活中见过这条曲线吗？,B,A,B,A,B,A,滑板的轨道就是这条曲线,.,a,a,一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,4. 心形线(圆外旋轮线),a,来看动点的慢动作,.,a,a,a,2a,来看动点的慢动作,.,2a,P,r,.,r = a (1+cos),参数方程,a, a,一圆沿另一圆内
3、缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,5.星形线(圆内旋轮线),a, a,来看动点的慢动作,.,a, a,来看动点的慢动作,.,a, a,0 2,极坐标方程为,.,P,.,直角坐标方程为：,.,一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,6. 圆的渐伸线,a,参数方程为,.,a,再看一遍,.,a,.,a,a,0,x,M,t,t,a,at,(x,y),试由这些关系推出曲线的方程,.,参数方程为,1. 曲线关于 y= x 对称,2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0,分析,3. 令 y = t x, 得参数式,故在原点，曲线自身相交.,7.狄卡儿叶形线,4.,x+y+a = 0,曲
4、线关于 y= x 对称,曲线有渐近线 x+y+a=0,.,P,r,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =,.,.,.,.,.,距离之积为a2的点的轨迹,直角系方程,8.双纽线,.,所围面积,.,.,.,由对称性,.,例1 求双纽线,0,r,r =a,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,9. 阿基米德螺线,0,r,.,0,r,再看一遍,请问：动点的轨迹什么样？,.,0,r,.,0,r,.,0,r,r =a,.,阿基米德螺线,r,这里 从 0 +,8,r =a,0,2a,每两个螺形卷间沿射
5、线的距离是定数,.,阿基米德螺线,0,r,8,当 从 0 ,r =a,.,阿基米德螺线,r,0,.,这里 从 0 +,8,.,.,10 双曲螺线,r,0,.,当 从 0 ,8,.,双曲螺线,例2,2,.,.,S =, =1+cos,3,r =3cos,由 3cos =1+cos,得交点的坐标,S,2,.,.,.,.,.,.,.,例3.,1,令 cos2 = 0,由 sin 0,联立后得交点坐标,.,.,.,S = 2,.,例4,1,s1,s2,.,.,.,.,.,.,s,S =, =1+cos,求由双纽线,.,.,.,.,由对称性,.,例5.,a,内部的面积。,双纽线化成极坐标,令 r = 0,S =,4,+,.,
