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1、第七章 广义逆矩阵,广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切联系。给定一个线性方程组 Ax=b，当矩阵A可逆时，线性方程组的解可表示为x=A-1 b,当矩阵A是奇异矩阵或不是方阵时，线性方程组的解应如何表示呢？当线性方程组是矛盾方程，或者说是不相容方程时，线性方程组能否有其它意义下的解，这种解又应当如何表示呢？,把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上，这就是所谓的广义逆矩阵。,广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵一致，而且广义逆矩阵可以给出线性方程组（包括相容的和矛盾方程组）各种解的统一形式。,主要内容：1广义逆矩阵及其分类2A+的计算3几类弱逆4广义
2、逆矩阵与线性方程组的解,广义逆矩阵方程,设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的逆矩阵A-1，它具有如下性质：,或者说， A-1是下述矩阵方程组的解,-广义逆矩阵方程,设,若矩阵 满足如下四个（Penrose),方程,则称X为A的Moor Penrose逆，记为A+,例：容易由定义直接验算：,若,则,存在性证明,可以验证X满足广义逆矩阵方程,设 ，A+存在且唯一，即广义矩阵方程组,定理,有唯一解,设,若,则A是 阶零矩阵，可以,验证 阶零矩阵满足四个方程。,对于矩阵方程,如果矩阵G仅满足其中的一个或几个时，可以定义不同的广义逆矩阵。,因此，共可定义,类不同的广义逆。,由A+的存在性可知，15类广义逆
3、都存在，除A+是唯一确定的外，其余各类广义逆矩阵都不唯一确定。,几 类 弱 逆,Ai = |G满足第i个Penrose方程,对于矩阵 ，记,Ai,j = |G满足第i,j个Penrose方程,Ai ,j ,k = |G满足第i,j,k个Penrose方程,广义逆集合,各类广义逆的关系,几种常用的广义逆矩阵,A1,它的形式记为,A1,2,它的形式记为,A1,3,它的形式记为,A1,4,它的形式记为,-最小二乘广义逆,-自反广义逆,最小范数广义逆,A1是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若AA-1A=A, 则记,广义逆A-,说明： 1)利用初等行变换，可以求得A-,2）A的减号逆A-不唯
4、一。,例：设,容易验证,均满足,故B，C都是A的减号逆.,3)矩阵A有唯一的A-充分必要条件是A为非奇异矩阵，此时,A-=A-1,定理 A1的表示通式,此定理表明：只要求出 中的一个元素，就可得到 中所有的元素。,广义逆矩阵A+的计算：方法一 利用满秩分解,如果矩阵A有满秩分解A=BC，则有A+的表达式，即,因此广义逆A+是通常逆矩阵概念的一种推广。广义逆矩阵A+与通常逆矩阵有许多类似的性质，但也有一些不同。,如果A是非奇异矩阵，则 并且由上面的公式计算出 ，从而,如果矩阵A是行满秩的，A有满秩分解A = Im A，则A+的表达式为,如果矩阵A是列满秩的，A有满秩分解A = A I n，则A+
5、的表达式为,特别地，设 为n维列向量，且 则,设 为n维行向量，且 则,例： 求广义逆,例：设 求,由A为列向量，即为列满秩，则,从而,若A既不是行满秩也不是列满秩，则需首先对A进行满秩分解，再求,例：已知,求,矩阵A中分别有两行、两列对应成比例，因此A既不是行满秩也不是列满秩,首先利用初等行变换求出A的Hermite标准型H为：,设A的满秩分解为 ，则,于是,广义逆矩阵A+的计算：方法二奇异值法,设矩阵 的奇异值分解为A=UDVH其中U , V 分别是m阶、n阶酉矩阵，,则容易验证：,其中,利用此方法，需首先对A进行奇异值分解。,例：设,求,先求A的奇异值分解。因为,为,对应的特征向量为：,
6、令,其中,设,则 的特征值,把,扩充为 的一组标准正交基得：,再令,则,从而,广义逆A+的性质 设,其中,且,11、 设,9、若有满秩分解式A=BC，则,都是酉矩阵，则,12、当A 是Hermite矩阵时，,举例说明广义逆不具有通常意义下逆矩阵的下列性质：,（4）A与A+的非零特征值并不互为倒数。,（1）,（2）,（3）,例证1,又B为满秩矩阵，则,例证2,可验证,考虑非齐次线性方程组,其中 给定，而,为待定向量。,若,方程组是相容方程组；否则，称为矛盾方程组或不相容方程组。,则线性方程组 有解，则称该,关于线性方程组 的求解问题，常见的有以下几种情形：,1）在相容时，若系数矩阵 ，且非奇异，
7、即,则有唯一解,但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解,不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。,线性方程组 求解,2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的,解，即,其中 为欧氏范数，可以证明满足此条件,的解是唯一的，称为极小范数解。,3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题中，需要求出这样的解：,其中 为欧氏范数，称这个问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x为矛盾方程组的最小二乘解。,4）一般说来，矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有最小范数的解,是唯一的，称之为极小范数最小二乘解，或最佳逼近解.,（一）相容方程组的通解,
8、为线性方程组 的解的充分必要条件是,我们已知 相容,，其中,定理 对于任意,，都存在,，使,定理说明，对于任意的,是线性方程组 的一个特解。,给定一个线性方程组,广义逆矩阵与线性方程组的求解有着密切关系。利用减号逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆以及加号逆可以给出上述诸问题的解。,定理 齐次线性方程组 的通解是,证明: 对于任意向量 ，成立,其中 是任意向量。,即 是齐次线性方程组 的解。,设X0是齐次线性方程组 的任一解，则,因此， 是齐次线性方程组 的通解。,推论 相容线性方程组 的通解为,其中 是任意向量。,例1、求解,将方程组改写为矩阵形式,其中,由于,所以该方程组是相容的。,首先求得
9、A的一个减号逆。,由A是行满秩矩阵，则,从而,原方程组的通解为,其中 为任意向量。,定义 相容线性方程组 的所有解中2范数最小的解称 为方程组的最小范数解，记为,（二）相容方程组的最小范数解,定理 相容线性方程组 的最小范数解是唯一的，并且可表示为,其中 是A的最小范数广义逆。,例2、求方程组,的最小范数解,由于A为行满秩矩阵，因此 为满秩方阵，则有,所以,即,从而,此解即是,中欧氏范数最小的一个,一个线性方程组 是矛盾方程组或不相容方程组，它没有通常意义下的解，但可以寻求该方程组在某种含义下的近似解。,（三）不相容方程组的最小二乘解,定义 不相容方程组 的最小二乘解,定义为满足下列条件的近似
10、解,说明：和其它任何近似解相比较， 所导致的误差平方和,最小。,矛盾方程组的最小二乘解导致的误差平方和 是,唯一的，但最小二乘解不一定唯一。,定理：设 是一个最小二乘解，则矛盾方程组的最小二,乘解的通解为,其中y为任意向量,定理 设 ，则 是不相容方程组,的最小二乘解的充分必要条件是,例3、求矛盾方程组,的最小二乘解,系数矩阵A和向量b为,由A为列满秩矩阵，则可求得A的一个最小二乘逆为：,于是，求得一个最小二乘解为,定理 不相容方程组 的最佳逼近解是唯一的，并且,定义 不相容方程组 的最佳逼近解定义为满足下列条件的最小二乘解，记为,（四）不相容方程组的最佳逼近解,可以看出不相容方程组 的最佳逼近解是方程组的所有最小二乘解中范数最小的近似解。,其中 是方程组 的最小二乘解的集合。,说明：由于加号逆既是减号逆又是最小范数逆、最小二乘逆，,故对于方程组 ，不论其是否有解，均可用加号逆来,设y为任意向量,则：,1 相容时，,是通解；,是最小范数解,2 不相容时，,是最小二乘解的通解；,是最小二乘解；,3,是矛盾方程组 的最佳逼近解解；,例4、求 的最佳逼近解。,解: 首先求A的广义逆，对A进行满秩分解,其中,则由,则最佳逼近解为,则A的加号逆为：,
