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1、,第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.,1分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法,(m1m2mn),(2)完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法2分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都有涉及的不同方法的种数它们
2、的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分 有关，各个步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,m1m2mn,完成一件事,相互独立,步,相互依存,1从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为()A6种B5种 C3种 D2种解析：有325种答案：B,25位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A10种 B20种 C25种 D32种解析：有2222232种答案：D,3从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只
3、游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A300种 B240种 C144种 D96种解析：能去巴黎的有4个人，能去剩下三个城市的依次有5个、4个、3个人，所以不同的选择方案有4543240(种)答案：B,答案：8,热点之一分类加法计数原理 分类加法计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”，先分类解决，各个击破，再将其整合，得出原问题的答案运用该原理解决问题的突破口是明确什么是“完成一件事”,例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的数共有多少个？思路探究该问题
4、与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了即可，因此可考虑按十位上的数字情况进行分类课堂记录根据题意，按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理，符合题意的两位数共有8765432136(个),即时训练 集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9 B14 C15 D21解析：PQ，xy或x2.当x2时，y1,2，y有7种选法；当x
5、y时，y1,2，y也有7种选法共有满足条件的点7714个答案：B,热点之二分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理,例2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点(a，bM)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线yx上的点？思路探究本例实质是分步乘法计数原理在解决解析几何问题中的应用这里应该注意两点：一是集合M中的每个元素可作为同一点的横、纵坐标；二是第(3)问用
6、逆向求解的间接法,课堂记录(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6636.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有3种确定方法；,第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是326.(3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线yx上的点有6个由(1)得不在直线yx上的点共有36630(个),即时训练 已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM
7、，则(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180个不同的二次函数,(2)yax2bxc的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以表示26672个图象开口向上的二次函数,热点之三两个原理的综合应用 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的就是在开始计算之前要仔细分析首先我们可以考虑问题是否应当分类，分类能否使问题的复杂程度大大降低；然后在每一类中考虑是否应当分步我们把问题分解成几类互不重复的情
8、况，每一类都使用分步乘法计数原理来计数，然后再用分类加法计数原理将各类情况组合在一起,例3将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？思路探究五个区域，四种颜色，所以至少有两个区域涂的是同一种颜色，结合图形，可以先选出涂同一种颜色的区域，再进行涂色,课堂记录给出区域标记号A、B、C、D、E(如右图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种因此应先分类后分步(1)当B与D同色时，有4321248(种
9、)(2)当B与D不同色时，有4321124(种)故共有482472种不同的涂色方法,思维拓展像这类给区域涂色的问题，我们应该给区域依次标上相应的序号，以便分析问题在给各区域涂色时，要注意不同的涂色顺序，其解题就有繁简之分如本例若按A、B、E、D、C顺序涂色时，在最后给区域C涂色时，就应考虑A与E、B与D是否同色这两种情况因此在分析解决这类问题时，应按不同的涂色顺序多多尝试，看哪一种最简单本例易错的是未考虑B与D是否同色,即时训练 用n种不同的颜色为两块广告牌着色如下图甲、乙所示，要求在，四个区域中相邻 (有公共边界)的区域不用同一种颜色(1)若n6，为甲着色时共有多少种不同的方法？(2)若为乙
10、着色时共有120种不同的方法，求n的值,解：完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为，这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的着色总数，因此有：(1)为区域着色时有6种方法，为区域着色时有5种方法，为区域着色时有4种方法，为区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理不同的着色数为6544480(种),(2)由题意知，为区域着色时有n种方法，为区域着色时有n1种方法，为区域着色时有n2种方法，为区域着色时有n3种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色数为n(n1)(n2)(n3)n(n1)(n2)(n3)120.(n23n)(n23n2)1200.即(n23n)22(
11、n23n)1200.解得n23n100或n23n120(舍去)n5.,1对计数原理的考查多以实际问题为背景，考查计数原理在实际问题中的应用2考查多以选择、填空题形式出现，考查难度不大3由于分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数类问题的基础，所以多与其他知识结合在一起考查，难度可能有所提高,例4(2010全国)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A30种B35种C42种 D48种,解析分两类：选A类选修课2门，B类选修课1门，有C32C4112(种)；选A类选修课1门，B类选修课2门，有C31C423618(种)，共
12、有121830(种)答案A,1(2010全国)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12种 B18种C36种 D54种,解析：将标号为1、2的卡片放入一个信封，有C313(种)将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中，有C426(种)，共有C31C423618(种)答案：B,2(2010重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A504种 B960种C1008种 D110
13、8种,解析：当丙在10月7日值班时共A22A55240种排法当丙不在10月7日值班时，若甲、乙有1人在10月7日值班时，共C21C41A44192种排法，若甲、乙不在10月7日值班时，共有C31(C21A44C31A22A44)576种，综上知，共2401925761008种排法答案：C,3(2010湖北高考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A152 B126C90 D54,解析：甲、乙从事同项工作有C31A3318种，甲、乙从事不同项工作但甲(或乙)与其他三人中的一人参加同项工作有2C31C31C21A2272种，甲、乙从事不同项工作且单独工作有A32C32A2236种，故共有187236126种不同安排答案：B,
