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1、第3章 弹性与塑性应力应变关系,第3章 弹性与塑性应力应变关系,拉伸和压缩时的应力应变曲线弹塑性力学中常用的简化力学模型广义胡克定律特雷斯卡和米泽斯屈服条件塑性应力应变关系德鲁克公设和伊柳辛公设塑性本构关系的内在联系,弹塑性力学 静力学 几何学 物理学,平衡微分方程,几何方程,物理方程,应变与位移的关系,应变协调方程方程,应力应变关系,本构方程方程,弹塑性力学 静力学 几何学 物理学,物理方程,应力应变关系,本构方程方程,韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线,强化段,软化段,残余变形,31 拉伸和压缩时的应力应变曲线,低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线,弹性极限,屈服上限,屈服下限,比例极限
2、,塑性流动阶段,强化阶段,软化阶段,卸载,包辛格（Bauschinger）效应,当应力超过屈服点后，拉伸（或压缩）应力的硬化将引起反向加载时压缩（或拉伸）屈服应力的弱化,如果s+s =2s，则称为理想包辛格效应,具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，而在相反方向降低,名义应力与真实应力,在体积不可压缩的假设前提下拉伸（压缩）时的名义应力拉伸时的真实应力压缩时的真实应力,初始截面积,变形后截面积,荷载,32 弹塑性力学中常用的简化力学模型,理想弹塑性模型：,线性强化弹塑性模型：,线性强化刚塑性模型：,理想刚塑性模型：,幂强化模型：, =1,O,n = 1,n = 0,n
3、=1/2,n=1/3,33 广义胡克定律,各向同性材料的胡克(Hooke)定律(一维问题，1678)单向拉压纯剪切横向与纵向变形关系,E拉压弹性模量；G剪切弹性模量；泊松比,广义胡克定律对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：,考虑x方向的正应变：,产生的x方向应变：,产生的x方向应变：,产生的x方向应变：,叠加后得,同理：,即,剪应变：,物理方程：,说明：1.方程表示了各向同性材料的应力与应变的关系，称为广义Hooke定律。也称为弹性问题物理方程。2.方程组在线弹性条件下成立。,体积应变与体积弹性模量,令：,则：,sm称为平均应力;q 称为体积应变,广义胡克定律的其他表示形式,物
4、理方程：,物理方程：,用应变表示应力：,或：,各种弹性常数之间的关系,广义胡克定律应力偏量与应变偏量的关系,用应力偏量与应变偏量表示用主应力偏量与主应变偏量表示,用主应力差与主应变差表示说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔圆成比例。用3个主应力差与3个主应变差表示说明， =，=,34 特雷斯卡和米泽斯屈服条件,塑性变形当作用在物体上的外力卸去后，物体中没有完全恢复的那部分永久变形称为塑性变形。塑性力学研究塑性变形和作用力之间的关系以及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。,塑性力学问题的特点,塑性力学问题有如下几个特点：(1)应力与应变之问题的关系（本构关系）是非线性的，其非线
5、性性质与具体材料有关；(2)应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载历史有关；(3)在变形体中有弹性变形区和塑性变形区，而在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界线；(4)在分析问题时，需要区分是加载过程还是卸载过程。在塑性区，在加载过程中要使用塑性的应力应变关系，而在卸载过程中则应使用广义的胡克定律。,屈服条件屈服条件又称塑性条件，它是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的准则。在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限点（屈服应力点）连接起来就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面，这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈服条件。,特雷斯卡(Tresca
6、)条件(1864),当最大剪应力达到材料的某一定值时，材料就开始屈服，进入塑性状态。表示为max = k当 1 2 3 时可写作1 - 2 = 2k在主应力的次序未知的情况下，Tresca屈服条件应表示为： 上式中至少一个等式成立时，材料就开始进入塑性变形。,Tresca屈服条件参数,常数k由试验确定。如由单拉试验，一般取k = s/2 (有时取k = s/ )。如由纯剪切试验，k = s。因此，按照Tresca屈服条件，材料的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在s = s/2。,Tresca屈服条件的几何表示(屈服面),在三维应力空间中，1 - 2 = 2k 是一对与 平面的法线(等倾线)以及
7、3轴平行的平面。因此，Tresca屈服条件的屈服面是由三对互相平行、垂直于 平面的平面组成的正六角柱体表面。它与 平面的截线（屈服线）是一个正六边形。它的外接圆半径是 （内切圆半径是 ）。,Tresca屈服条件的几何表示(屈服面), 平面上的屈服轨迹,Mises条件,Tresca条件,Tresca屈服条件的几何表示(屈服面),3= 0 平面上的屈服轨迹,Mises条件,Tresca条件,Tresca屈服条件的几何表示(屈服面),1,2,3,o,应力空间屈服面,对Tresca屈服条件的评价,Tresca屈服条件是主应力的线性函数，对于主应力方向已知且不改变的问题，应用较方便，但忽略了中间主应力的
8、影响，且屈服线上有角点，给数学处理带来了困难，没有考虑平均应力对屈服的影响。,米泽斯(von Mises)屈服条件(1913),当应力强度达到一定数值时，材料进入塑性状态。Mises条件可看成为当形变比能达到一定值时，材料进入屈服状态。或认为只要应力偏张量的第二不变量达到某一数值时（或八面体剪应力）达到一定数值时，材料进入塑性状态。,Mises屈服条件数学表达式,或,或,其中,按照Mises条件,应力强度、等效应力,形变比能,应力偏量张量第二不变量,八面体（等倾面）上的剪应力,Mises屈服条件几何表示,在 平面上，Mises屈服曲线为一圆。在3 = 0的平面上，Mises屈服曲线为一个以原点
9、为中心，以静水压力m与广义剪应力i为长短轴的椭圆。在主应力空间，Mises屈服面为一以等倾线为轴的正圆柱体表面。,Mises屈服条件的几何表示(屈服面), 平面上的屈服轨迹,Mises条件,外切Tresca条件,内接Tresca条件,Mises屈服条件的几何表示(屈服面),3= 0 平面上的屈服轨迹,Tresca条件与Mises条件的比较,Tresca条件与Mises条件的比较,两种屈服条件的差别与确定常数的方法有关。若用单向拉伸时的屈服极限确定常数，则在纯剪应力状态下两种屈服条件相差最大，Mises条件所确定的最大剪应力比Tresca条件所确定的最大剪应力大15. 5%。若用纯剪时的屈服极限
10、确定常数，则在单向拉伸时两种屈服条件相差最大，用Mises条件所确定的最大拉应力比用Tresca条件所确定的最大拉应力小13.4%。,35 塑性应力应变关系,在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论是塑性力学中的基本理论。,罗德（Lode）的试验结果,应力罗德参数与塑性应变增量罗德参数相等：,由于得,d的物理意义,d为比例系数，它在塑性
11、变形过程中，随着dip和i比值的变化而变化，但在变形的某一瞬间，应变偏量增量的每一分量与相对应的应力偏量分量的比值都相同为d。对于理想塑性材料，i = s，因此，比例系数d又可以写成在塑性变形的过程中，比例系数d不仅与材料的屈服极限有关，而且还和变形程度有关。,莱维米泽斯本构方程,莱维米泽斯流动法则,莱维米泽斯塑性本构关系的基本假设,圣维南认为，在材料达到塑性状态后，应力和应变没有一一对应的关系，因而提出，在塑性变形的过程中，应力和应变的关系式应以增量形式给出，而塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴是重合的。这个见解为塑性本构关系的建立奠定了基础，塑性力学中的增量理论就是在这一假设的前提下发展起
12、来的。在莱维米泽斯理论中，包括了如下一些假设： (1) 应变偏量增量与应力偏量成比例； (2) 材料是不可压缩的； (3) 材料是理想刚塑性的； (4) 材料满足米泽斯屈服条件，即i = s。,在莱维米泽斯理论中，若已知三个正应力的值，便可确定deip（i = 1, 2 3）之间的比值，但还不能确定各应变偏量的具体数值。如果给出deip的值，则可求出si的值，但却求不出应力i的值。只有给出0的值后，才能求出i的值。,普朗特罗伊斯流动法则,普朗特罗伊斯本构方程,考虑弹性应变的本构关系,总应变偏量增量即展开后，为,普朗特罗伊斯（L. PrandtlA. Reuss）本构方程,普朗特罗伊斯经过推导，
13、将比例系数d用变形比能dW表示，即得,普朗特罗伊斯本构方程,设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的ij、ij、ui， 求在此基础上，给定体力增量dfi、ST上面力增量 、Su上位移增量 时，物体内部各点的应力增量dij、应变增量dij 、位移增量dui。确定这些增量的基本方程组有：1） 2）3）本构关系（理想弹塑性材料） 弹性区,增量理论的基本方程及边值问题的提法,塑性区4）5） 此外，在弹塑性交界面上还应满足一定的连续条件和间断性条件。 在给定加载历史时，可以对每时刻求出增量，然后用“积分”（累计）的方法得出应力和应变等分布规律。 (书中p103107例题，自学，注意解题思路),基于比例
14、变形的全量弹塑性理论,比例变形塑性变形中，各应变分量由始至终都按同一比例增加或减少。比例变形的必要条件是比例加载，各应力分量都按比例增长。在比例变形情况下，由于应变强度可以通过应变强度增量积分得到，就可以得到全量应力应变关系。此理论称为形变理论，也称为亨奇伊柳辛理论。,形变理论的假设条件,(1) 外载荷（包括体积力）按比例增加，变形体处于主动变形的过程（即应力强度i不断增加，在变形过程中不出现中间卸载的情况）；(2) 材料的体积是不可压缩的，计算时取泊松比 = 0.5；(3) 材料的应力应变曲线具有幂强化形式，即i =Aim；(4) 满足小弹塑性变形的各项条件，塑性变形与弹性变形属同一量级。,
15、亨奇本构方程 其中伊柳辛提出，在小弹塑性变形条件下，总应变偏量与应力偏量成正比，即展开后，为,或者写成由于则,伊柳辛本构方程,设在物体V内给定体力fi ，在应力边界ST上给定面力 ，在位移边界Su上给定i，要求物体内部各点的应力ij、应变ij、位移ui 。确定这些未知量的基本方程组有：1）2）3） 4）,全量理论的基本方程及边值问题的提法,5） 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，伊柳辛提出的弹性解法显得很方便。 将 代入用位移表示的平衡微分方程得：,或 在弹性状态时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。将它作为第一次近似
16、解，代入上式右端作为已知项，又可以解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。,其中,几点说明,本理论必须满足按比例加载的条件，以保证物体内部与外表面的简单加载状态。采用体积不可压缩假设并取泊松比 = 0.5，不仅简化了具体计算，而且基本上与实验结果相符，使形变理论的物理关系主要表示为应力偏量和应变偏量之间的关系，并使之满足i=Aim的规律。采用幂强化模型可以避免区分弹性区和塑性区，对各种材料都可通过选取公式中的常数A和m来拟合拉伸曲线。必须采用小变形条件，因为平衡方程、几何关系与物理
17、关系都是在小变形条件下导出的。在计算中，形变理论在实验的基础上采用单一曲线假定。 （简单拉伸 =E 复杂应力状态i =E i）,36 德鲁克公设和伊柳辛公设,稳定与不稳定材料 在图a中，当 0时， 0,这时附加应力 对附加应变做功为非负，即有 0。这种材料被德鲁克(Drucker)称为稳定材料。显然，应变硬化和理想塑性的材料属于稳定材料。在图b所示的试验曲线上，当应力点超过p点以后，附加应力 0，故附加应力对附加应变做负功，即 0。这类材料称为不稳定材料，应变软化材料属于不稳定材料。,德鲁克（Drucker）塑性公设,德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材料的质点(试件)，借助于一个外
18、部作用，在其原有应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。,设材料单元体经历任意应力历史后，在应力ij0下处于弹性平衡状态(后图)，即起始应力不在加载面内；此时，在单元体上缓慢地施加一个附加力，使达到ij，刚好在加载面上；再继续在加载面上加载到ij+dij，在这一阶段，材料单元体将产生弹性应变增量dije与塑性应变增量dijp；最后卸载，使应力又回到ij0。在整个应力循环过程中，弹性变形是可逆的，因而弹性功变化为零；依据德鲁克公设，外部作用所做之功成为 可导出两个重要不等式,1/2 a 1,德鲁克应力循环,德鲁克公设的两个重要推论：加载
19、面（屈服面）处处外凸；塑性应变增量方向与加载曲面（屈服面）正交（或与加载曲面法线方向相同）。这是传统塑性增量理论的基础。 塑性应变增量方向与加载曲面（屈服面）的正交性可表示为（塑性流动法则） 其中 为用加载函数的梯度矢量表示的加载曲面的外法线方向。如果f 作为塑性势函数并令它等于屈服函数，则可称为与屈服条件相关联的塑性流动法则。,塑性状态的加、卸载准则,在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新的塑性变形发生，此时称这个过程为塑性加载。如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是纯弹性的，此过程称塑性卸载。应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发生，此时称中性变载。,跳转,转下,由于此时屈服面大小和形状不
20、随内变量发展而改变，因此屈服面为 。用公式表示理想弹塑性材料的加卸载准则为：,具有强化的弹塑性材料,跳转,对软化材料，无法建立加、卸载准则。,转图,理想弹塑性材料,理想弹塑性材料,等向强化弹塑性材料,随动强化弹塑性材料,伊柳辛() 公设,在弹塑性材料的一个等温应变循环内，外部作用做功是非负的，如果做功为正，表示有塑性变形发生，如果做功为零，则只有弹性变形发生。,伊柳辛( ) 公设,在弹塑性材料的一个等温应变循环内，外部作用做功是非负的，如果做功为正，表示有塑性变形发生，如果做功为零，则只有弹性变形发生。,伊柳辛应变循环,设材料单元体经历任意应变历史后，在应力ij0下处于弹性平衡，即起始应变ij
21、0不在加载面内。然后在单元体上缓慢地施加荷载，使应变点ij达到加载面，再继续加载达到新的加载面应变点ij+dij，此时产生塑性应变dijp。然后卸载使应变又回到原先的应变状态ij0，并产生了与塑性应变dijp所对应的残余应力增量dijp。,在图a的峰值应力P点前后的应变循环中的外载所做之功分别以多边形ABCDE和ABCDE表示，其中四边形ABCD和三角形ABC分别表示P点前后在应力应变循环过程中外荷载所做的塑性功。有由伊留辛公设得两个不等式,1/2 a 1,伊柳辛公设的两个推论：应变空间中加载面（屈服面）外凸；塑性应力增量方向与应变加载曲面（屈服面）正交（或与加载曲面法线方向相同），即 其中，
22、F为应变屈服面（加载面），d为非负塑性因子 d d,应变空间加、卸载准则,如果材料由一个塑性状态变化到另一个塑性状态，并产生新的塑性变形，则为塑性加载；而材料从一个塑性状态变为弹性状态，则为卸载；当材料从一个塑性状态变化到另一个塑性状态，但无新的塑性变形，这时为中性变载。在卸载时，dF 0，而在加载和中性变载时，dF = 0。,屈服面(加载面)函数,德鲁克公设与伊柳辛公设的比较,德鲁克塑性公设是传统塑性力学的基本出发点，用于金属材料获得成功，表明对于金属材料这一理论与实践基本上是一致的。 德鲁克公设是作为关于弹塑性稳定材料的定义提出来的，但并非普遍的客观规律。大量的实践表明，金属材料适应德鲁克公设，而岩土材料不适应这一公设。德鲁克公设假设塑性势面与屈服面相同，材料服从关联流动法则。 伊柳辛公设不仅适用于稳定材料，而且适用于非稳定材料。,塑性本构关系的内在联系,刚塑性模型,小变形弹塑性模型,比例加载弹塑性模型,
