弹塑性力学2应变分析ppt课件.ppt

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1、第二章 应变分析,第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系第二节 应变状态分析第三节 主应变第四节 应变张量和应变偏量第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程） （Equations of compatibility）,第二章 应变分析,1,第二章 应变分析,2,本章从几何学的观点出发分析研究物体的变形。反映物体变形规律的数学方程也有两类，即几何方程和变形协调方程。由于这两类方程都是基于物体连续性的假定从几何学出发得到的，并不涉及产生变形的原因和物体的材料性质，所以它们均属于“普适方程”。,第二章 应变分析,3,在外力作用下，物体各点的位置要发生改变，即发生位移。如果物体各点发生位移后仍保持

2、各点间初始状态的相对位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转动，将这种位移称为刚体位移。,如果物体各点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体就同时产生了形状的变化，统称该物体产生了变形.,第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系,第二章 应变分析,4,为了确定正应变的定义，在一受拉杆上有线段AB，在变形后，变为 （见右图）。 若线段 AB 的长度为 ，变形后的A点的,第二章 应变分析,5,下面我们讨论一般情况，给出应变的概念。设在直角坐标系中，变形前A点的坐标是（x，y，z），变形后的坐标是（x+u，y+v，z+w），这里u，v，w是A点的位移在x，y，z三轴上的投影，它们都是坐标x，

3、y，z的连续函数，而且位移的导数也是连续的。,显然，如果变形的分布是均匀的，则有:,即：材料力学的拉伸应变。,（22）,位移是u，而B 点的位移是 u+u，则线段 增加了u。,第二章 应变分析,6,设由变形体中取出一个微小六面体（见书中图23变形体的投影），在研究微小六面体的变形时，采用的分析方法是将六面体的各面投影到直角坐标系的各个坐标平面上，研究这些平面投影的变形，并根据这些投影的变形规律来判断整个平行六面体的变形。,由于变形很微小，所以可以认为两个平行面在坐标面上的投影只相差高阶的微量，因而，两个平行面的投影可以合并为一个投影面。,第二章 应变分析,7,首先，研究平行六面体在xoz面上的

4、投影ABCD（见书中图24）。在变形前六面体A点的坐标为（x，y，z），在六面体变形时，投影上的A点移到了 点，同时而整个ABCD移到 。,设A点的位移是 u，w，它们是坐标的函数，因此有：,（23）,而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为：,第二章 应变分析,8,根据泰勒级数展开式，可得：,略去高阶项后得到：,（24）,由于 则AB在x轴上的投影的伸长量为 ，则有：,同理可得平行于 y 轴和 z 的边长的正应变，因此有：,（25）,当 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。,第二章 应变分析,10,下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。,第二章 应变分析,10,取变形

5、前的直角BAC或 ，变形时，棱边 转动一个角度 ，棱边 转动一个角度 ，在xoz平面内，角应变用 表示，其值为 和 之和，即：,（26）,若A点在z 轴方向的位移为 ，,第二章 应变分析,11,则B点在Z 轴方向的位移为 ，,B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为:,在直角三角形 中，可得：,在分母中 （ ）与1相比是一个微量，故可以略去，因而得出，,第二章 应变分析,12,同理可得：,所以有剪应变：,同理可得另外两个剪应变 。即有剪应变的表达式（27）,（27）,说明：剪应变的正负号,第二章 应变分析,13,所以，正应变和剪应变的表达式为（28）：,（28）,式（28）称为柯西（Cauchy）几

6、何关系。式(28)的提出者：法国工业学院的数学教授柯西（Cauchy）(17891857)，于1822年发表的论文提出的,第二章 应变分析,14,利用类似的方法，可以导出柱坐标表示的几何方程为式（29）：,（29）,第二章 应变分析,15,其中， 分别表示一点位移在径向（r方向），环向（ 方向）以及轴向（z方向）的分量。,对于平面问题，柱坐标变为极坐标，则平面极坐标表示的几何方程为：,（210）,下面给出式（210）的推导过程。,第二章 应变分析,16,首先假定只有径向位移而没有环向位移：,如图（26）所示，在P点沿径向和环向取两个微段PA和PB，设PA移到了 ，位移为u；PB移到了 ，则P，

7、A，B三点的位移分别为：,第二章 应变分析,17,则PA的正应变为：,PB的正应变为：,径向线段PA的转角为：,环向线段PB的转角为：,所以有：,第二章 应变分析,18,其次，假定只有环向位移而没有径向位移:,见图27，由于P点的环向位移v，径向线段PA移段到了 ，环向线段PB移到了 ，则P，A，B三点的位移分别为：,可见：径向线段PA的正应变为 ：,第二章 应变分析,19,环向线段PB的正应变为：,径向线段PA的转角为：,环向线段PB的转角为：,第二章 应变分析,20,所以剪应变为：,因此，如沿径向和环向都有位移，则根据叠加原理可得式（210）。,对于轴对称问题： ， ，则式（210）的平面

8、极坐标几何方程为（211）,（211）,对于球对称问题：变形的几何方程为式（212）,（212）,第二章 应变分析,21,注意：书中P47对方程（210）的相关项进行了解释.,第二节 应变状态分析,第二章 应变分析,22,现在已知物体内任一点P 的六个应变分量 ，试求经过该点（P点）的沿N方向的任一微小线段PNdr的正应变，以及经过P点的微小线段PN和 的夹角的改变。,令PN的方向余弦为l、m、n，则PN在坐标轴上的投影为：,第二章 应变分析,23,（213）,设P点的位移分量为u，v，w，则N点的位移分量为：,略去高阶项（小量）得：,第二章 应变分析,24,（214）,在变形后，线段PN在坐

9、标轴上的投影为（215）式：即,（215）,第二章 应变分析,25,令线段PN的正应变为 ，则该线段变形后的长度为： 而且有,（216）,上式两边同除以 ，并利用（213）式得：,第二章 应变分析,26,因为 和位移分量的导数都是微小的，它们的平方和乘积可以不计，可得：,利用 ，上式可得：,再利用几何方程可得：,（217）,第二章 应变分析,27,下面来求PN和 的夹角的改变,设PN在变形后的方向余弦为 ，则由式（213）和式（215）可以得到：,注意到 ， 都是微小量，在展开上式后，略去二阶以上的微小量得：,第二章 应变分析,28,同理可得出 ，即得出式（218）,（218）,与 此 类 似

10、，设线段 在 变形 之 前 的 方 向 余 弦 为， 则其在变形后的方向余弦为：,第二章 应变分析,29,（219）,（220）,其中， 是 的正应变。,令PN和 在变形之前的夹角为 ，变形之后的夹角为 ，则有：,将式（218）和（219）代入，并略去高阶微量可得：,利用几何方程，并注意到 ，则有：,（221）,由此可求出 ，进而可求得 。,由此可见：在物体内的任一点，如果已知六个应变分量，就可以求出经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两线段之间的夹角的改变。这就是说，六个应变分量完全决定了这一点的应变状态。,第三节 主应变,在研究一点的应力状态时，可以找到三个相互垂直的没有剪

11、应力作用的平面，将这些面称为主平面，而这些平面的法线方向称为主方向。 在研究应变问题时，同样可以找到三个相互垂直的平面，在这些平面上没有剪应变，将这些面称为应变主平面，而这些平面的法线方向称为应变主方向。对应于该主方向的正应变称为主应变。,第二章 应变分析,32,一点的应变状态也可以用张量表示，这时引进符号,第二章 应变分析,33,（222）（书：213）,则应变张量为：,（223）（书：214）,第二章 应变分析,34,应变张量还可以写为：,式中的不同符号可以交换使用，这就要看在某些特定用途中哪个用起来更方便。,第二章 应变分析,35,下面分析如何确定主应变：,在直角坐标系空间中取一微小线段

12、 ，设A点在x方向的位移为u，则有B点在x方向的位移为：,略去高阶微量得：,显然（或由全微分概念）有：,第二章 应变分析,36,进一步可写成式（224）（书：215）,（224）（书：215）,这里要注意的是：当一个物体从一个位置变形到另一个空间位置（图29）时，其中可能包括一部分刚体位移（平动或转动），而这部分位移不引起形变，其实式（224）中的 和 恰恰表示物体的微小刚性转动。（下页图）,第二章 应变分析,37,一般来说，对于可变形固体而言，与物体内任一点A无限临近的一点B的位移有三个部分组成：1、随同A点的一个平动位移，如图中的 所示；2、绕A点的刚性转动在B点所产生的位移，如图中的 所

13、示；3、由于A点临近微元体的形状变化在B点引起的位移，如图 所示，这部分位移与应变张量分量有关。,第二章 应变分析,38,因此，当考虑纯变形时有：,（225）（书：216）,如果用张量表示，则为,其中，j 称为“哑标”（表示求和）。,现在取一微小四面体O123（图210）， 为法线方向，设斜面123上只有正应变 （即主平面），则有：,第二章 应变分析,39,并且 一定为要求的主应变。,（成比例是因为 与 方向一致）,（书：217）,代入式（225）（书：216）得出：（书：218）,（226）（书：218）,第二章 应变分析,40,若上式有非零解，必须有“系数行列式为零”，可得：,（227）（

14、书：219）,其中， 为应变第一、二、三不变量，且有：,（228）（书：220）,第二章 应变分析,41,若方程式（227）可以因式分解，则应有：,式中， 为主应变。用主应变表示的应变不变量将为：,（书：220）,在主应变平面上，剪应变为零。,则由方程（227）可以求出三个主应变。,第二章 应变分析,42,例：已知物体中任意一点的位移分量如下式表示，试比较点A（1，2，3）与点B（0.5，-1，0）的最大伸长值（绝对值）。,解：利用几何方程求得应变分量为：,第二章 应变分析,43,点A 的应变分量值为：,应变不变量为：,该点的主应变值可由下式确定，即,为计算方便，令 代入上式，得,第二章 应变

15、分析,44,以 代入上式，消去二项式，得,此方程的解为：,由此得A点的主应变为：,故点A的最大伸长的绝对值为,第二章 应变分析,45,用同样的方法可以求得点B的主应变为：,故点B的最大伸长的绝对值为,由以上计算可知，点A最大伸长值大于点B 的最大伸长的绝对值。,第二章 应变分析,46,例：已知物体中某点的应变分量为：,试求该点的主应变方向。,解：首先计算应变不变量，并解三次方程，求得主应变值为,为求解主应变方向，利用下列方程组：,第二章 应变分析,47,将 代入上式，第一式自然满足，其余两个方程式为,以上两式的唯一解为 。为满足 ，则有 。即 的方向余弦为（1，0，0）。,第二章 应变分析,4

16、8,将 代入方程组，得,由第一式得 。由二、三式可得 。再由 得 ，由该式求得 ，而 。即 的方向余弦为（0，0.585，0.811）。,同样可求得 的方向余弦为（0，-0.811，0.585，）,第四节 应变张量和应变偏量,仿照应力张量分解，应变张量可以分解为与体积变化有关的“球形应变张量”和与物体形状变化有关的“应变偏量”。利用书中（214）式可以分解为：,第二章 应变分析,49,其中球形应变张量为：,（230）（书：222）,一、应变张量的分解,第二章 应变分析,50,应变偏量 可写为：,式中， 为平均正应变。,其中， ， ， 称为“应变偏量分量”。可写为：,第二章 应变分析,51,（2

17、32）（书：223）,第二章 应变分析,52,若用主应变表示应变偏量，则有式（233）（书：224）,在主应变为坐标的应变空间中有：,第二章 应变分析,53,同样，应变偏量增量也存在三个不变量，它们分别表示为：,第二章 应变分析,54,其三次方程为：,二、体积应变 在考虑塑性变形时，经常采用“体积不变”假设，这时球形应变张量为零，应变偏量等于应变张量，即“应变分量与应变偏量的分量相等”，这一假设，对于简化计算来了方便。 现在我们来研究每单位体积的体积改变，即体积应变。,第二章 应变分析,55,设有微小的正平行六面体，它的棱边长度是： 变形前它的体积为： 变形后它的体积称为：,因此，它的体积应变

18、为：,对于小应变（忽略高阶微量）有：,第二章 应变分析,56,（234）,由此则有：,显然，若体积不变，则必有球形应变张量为零成立，且有 。,在主应变空间：,对于小应变有：,第二章 应变分析,57,1、主剪应变（工程主剪应变）,（235）（书：225）,三、相关结论 与应力分析类似。在应变分析中也有一些相应的公式，下面给出有关结论：,如果 ，则最大剪应变为：,（236）（书：226）,第二章 应变分析,58,（1）等倾面（或称八面体面）的剪应变为 ，则有：,（237）（书：227）,2、八面体应变（正应变、剪应变）,对任意一组坐标轴x，y，z的应变分量的八面体剪应变可写为：,第二章 应变分析,

19、59,单向拉伸情况：可得,此时的应变张量为：,平均应变为:,3、单向拉抻时的应变,（2）等倾面（或称八面体面）的正应变为 ，则有：,（三个主应变的平均值）,第二章 应变分析,60,应变偏量的分量为：,（书：228）,球形应变张量为：,第二章 应变分析,61,应变偏量为：,在以主应变 为坐标轴的主应变空间内讨论。,4、应变强度（等效应变）,（239）（书：230）,当体积不可压缩时，令 ， 称为应变强度或等效应变。,这里之所以不称 为应变强度，而又引进符号 ，是因为要与应力分析中的情况相一致。,第二章 应变分析,62,5、应变率,应变率：在变形过程中，单位时间中应变值的增量称为“应变率”。即：,

20、（241）（书：231）,根据小变形的几何关系，可得应变率分量：即：应变率分量等于位移率分量对相应坐标的偏导数，也等于应变分量对时间的偏导数。,第二章 应变分析,63,（242）（书：234）,第二章 应变分析,64,在塑性力学中经常使用应变增量的概念。实验证明，静力学中塑性变形规律和时间因素是没有关系的，因此，用应变增量来代替应变率往往更能表示塑性静力学应变不受时间参数影响的特点。,即：通常使用的不是应变率张量，而是在时间步长 或dt 内的应变增量。,应变增量：,6、应变增量,有了应变增量的概念，则可描述应变成比例变化或不成比例变化时的规律。,第二章 应变分析,65,7、应变强度增量,应变强

21、度与初始应变状态和最终应变状态有关，而且还与应变历史即变形过程有关。,各增量间的关系：应变强度增量 与应变增量分量 ， 和 有关。,（243）（书：236）,注： 的表达式中，只有简单加载条件下才有 ,第二章 应变分析,66,此式即为应变强度增量的表达式，它是各应变分量增量的函数。 在塑性力学中，当应变较大时，需采用另外一种表示应变的方法。,8、工程应变,有一截面为 而长度为 的受拉构件，在某一时刻其长度达到 而截面积为 ，且杆件伸长量为 ，则应变增量及应变的表达方法如下：,工程应变：假设两质点相距 ，变形后为 ，则有工程应变表达式（244）：,第二章 应变分析,67,（244）,对数应变：设

22、某瞬时的应变增量为 ，积分后得到对数应变的表达式（245）：,（245）（书：237）,（246）（书：238）,显然有对数应变和工程应变之间的关系为：,第二章 应变分析,68,截面收缩率 ：,（247）,其中A0为初始时截面面积，A为某一时刻的截面面积。, 或 （248）,不同应变指数之间的关系见书中表2-2（P65）,第二章 应变分析,69,例：给定一点的应变张量,计算：（a）主应变 、 和 ； （b）最大剪应变 ； （c）八面体应变 和 。,解：（a）计算应变不变量，求主应变。,第二章 应变分析,70,特征方程变为,或,求得三个主应变为,第二章 应变分析,71,校核：用 、 和 的值代入

23、三个不变量的表达式，以校核所得结果。,（b）计算最大剪应变 。,（c）八面体应变 和 。,第二章 应变分析,72,例：一点的应变状态由给定的应变张量 表示,确定：（a）应变偏量张量 ； （b）应变偏量不变量 和 ； （c）单位体积的体积变化（膨胀） 。,第二章 应变分析,73,解：（a）计算平均应变。,所以有应变偏量张量为：,（b）计算不变量。,第二章 应变分析,74,（c）单位体积的体积变化（膨胀） 。,即在该应变张量表示的应变状态下，该点附近体元的体积减小。,第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）（Equations of compatibility）,第二章 应变分析,75,在研究

24、物体变形时，一般都取一个平行六面体进行分析，物体在变形时，各相邻的小单元不能是互相无关的，必然是相互有联系的，因此应该认为是物体在变形前是连续的，变形后仍然是连续的，连续物体应变之间关系的数学表达式即为“应变协调方程”。,第二章 应变分析,76,（28）,方程组(2-8)表示的几何方程表明，六个应变分量是通过三个位移分量表示的，这六个应变分量不是互不相关的，它们之间必然存在着一定的联系。这一事实很重要，因为如果我们知道了位移分量，则容易通过(2-8)式获得应变分量；但是反过来，如果纯粹从数学角度任意给出一组“应变分量”,第二章 应变分析,77,则几何方程给出了包含六个方程而只有三个未知函数的偏

25、微分方程组，由于方程的个数超过了未知函数的个数，方程组可能是矛盾的。要使这方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。下面的任务就是建立这个条件。为此，我们要设法从方程组（2-8）中消去所有的位移分量。,设物体中的某一点的坐标是（x，y，z），其位移是u、v、w，应变为， ， 若已知u、v、w，则应变便可用位移表示；如果在表达式中消去位移u、v、w，则可得到应变之间的关系。,第二章 应变分析,78,处理方式：现对正应变 分别对y、x 取两次偏微分，则有：,将以上两式相加，可得：,这里,我们利用了位移分量具有三阶的连续偏导数的性质。,第二章 应变分析,79,同理可得另外两个类似的方程，故有式

26、（249）（书：239）,（249）（书：239）,这是一组相容方程。,第二章 应变分析,80,若取剪应变的表达式：,将上式的 分别对 求一阶偏导数，可得：,第二章 应变分析,81,将上式中的第一式与第三式相加，然后减去第二式，则可得：,再对 求导得出：,同理可得另外两式，即有式（250）（书：240）：,（250）（书：240）,这是又一组相容方程。,第二章 应变分析,82,综合以上（2-49、50）书2-39、40两式，有：,该式称为“变形协调方程式”或“变形的协调方程”，又称为圣维南（Saint-Venant）方程。是圣维南首次导出的。,(2-51),第二章 应变分析,83,其实，通过上

27、述相似的变化，可以导出无穷多组相容方程，但是可以证明，如果满足了上式(249)和(250) 两组相容方程，就可以保证位移的连续性。,上式表示要使以位移分量为未知函数的六个几何方程不相矛盾，则六个应变分量必须满足应变协调方程 。 方程意义的几何解释：如将物体分割成无数个微分平行六面体，并使每一个微元体发生变形。这时如果表示微元体变形的六个应变分量不满足一定的关系，则在物体变形后，微元体之间就会出现“撕裂”或“套叠”等现象，从而破坏了变形后物体的整体性和连续性。 为使变形后的微元体能重新拼,第二章 应变分析,84,合成连续体，则应变分量就要满足一定的关系，这个关系就是应变协调方程。因此说，应变分量

28、满足应变协调方程，是保证物体连续的一个必要条件。 需要说明的几点： 1、可以证明：如果物体是单联通的，则应变分量满足应变协调方程还是物体连续的充分条件。 从数学的观点来看，也就是说，如果应变分量满足应变协调方程，则对于单联通物体，就一定能通过几何方程的积分求得单值连续的位移分量。 2、如果能正确地求出物体各点的位移函数u，v，w，并根据几何方程求出各应变分量，则应变协调方程自然满足。,第二章 应变分析,85,3、从物理意义来看，如果位移函数是连续的，变形自然也就是可以协调。 4、计算时，采用位移法求解，应变协调方程可以自然满足；而采用应力法求解，则需要同时考虑应变协调方程。,5、对于多联通物体

29、，我们总可以作适当的截面使它变成单联通物体，如此则上述的结论完全适用。具体的说，如果应变分量满足应变协调方程，则在,此被割开后的区域里，一定能求得单值连续的函数u，v，w。但是对求得的u，v，w，他们在截面两侧趋向于截面上某一点的值一般是不相同的， 为了使考察的多联通物体在变形后仍,第二章 应变分析,86,保持为连续体，必须加上下列的补充条件：,式中： 分别为与截面同一点无限临近的两侧点的位移。 因此，对于多联通物体，应变分量满足应变协调方程，只是物体连续的必要条件，只有加上补充条件，条件才是充分的。,6、对于平面应变问题，有：,则相容方程只有（249）中的第一式。,第二章 应变分析,87,柱

30、坐标中的相容方程：,用相同的方法可以导出柱坐标中的变形协调条件为式（252）（书：241），即：,已知柱坐标系中物体内任意一点的六个应变分量所满足的几何方程的形式为：,（29）,第二章 应变分析,88,（252）（书：241）,第二章 应变分析,89,极坐标中相容方程（平面应变问题）,我们知道：对平面问题，柱坐标变为极坐标( ) ，几何方程为（2-10）：,由于 ，变形协调条件只剩下（252）中的第三式，即：,（210）,第二章 应变分析,90,（253）（书：242）,轴对称问题的相容方程：,对于轴对称平面应变问题，应变分量与 无关，变形协调条件简化为式（254），即：,（254）（书：24

31、3）,式（254）的左边项可由式（253）的第二项获得：即：,第二章 应变分析,91,应变协调方程的物理意义：如果将变形体分解为许多微元体，每个微元体的变形都用六个应变分量描述。若应变分量不满足应变协调方程，则这些微元体将不能构成一个连续体，因为这时可能会出现裂纹或发生重叠。满足应变协调方程便能保证变形前后物体的连续性，因此，连续介质的应变状态是否可能，需要利用应变协调方程来检验。,球坐标系下的相容方程：几何方程和应变协调方程见相关书籍。,第二章 应变分析,92,例 （书中P68）已知下列的应变分量是物体变形时产生的，试求系数之间应满足的关系式。,平面应变问题,解：该应变状态属于平面应变状态，

32、这些应变分量应满足变形协调条件，即书中（2-39）式的第一式。本题的目的是应变协调方程的应用。,第二章 应变分析,93,由应变分量可得：,将以上各式代入应变协调条件可得：,在物体内任一点上，即x、y为任意值时，上式皆应成立，因此得,上式即为系数应满足的条件，而系数 可为任意常数。,第二章 应变分析,94,例2（书P69）：在平面轴对称情况下，轴向应变 为常数，试确定其余两个应变分量 和 的表达式（材料是不可压缩的）。,该问题是轴对称平面应变问题。,解释：,轴对称平面应变问题的相容方程（书中式2-43）为：,积分该式可得出上式。,令：,第二章 应变分析,95,分部积分法：,协调方程为：,注意：

33、,第二章 应变分析,96,说明：,将 代入,按商的求导法则：,当材料不可压缩时，体积应变应为零，即,第二章 应变分析,97,式中 C 可由边界条件确定。,第二章 应变分析,98,例：推导书中（2-42）式。 在平面应变问题中，以极坐标表示的应变分量与位移之间的关系为,试推导其变形协调条件。 解：为从应变与位移之间的关系中消去位移分量u、v，进行如下计算：,第二章 应变分析,99,由以上可得：,第二章 应变分析,100,将上式等号右端代进以下关系式：,则得到变形协调条件为：（与书中2-42式相同）,第二章 应变分析,101,例：若物体处于平面应变状态下，即,试证明在单连域 内，为保证 和 的单值

34、，应变分量 必须满足变形协调条件,并证明其充分性。 证明：由所给出的几何方程可求得,第二章 应变分析,102,由此可得：,上式即为变形协调条件。由此可知，几何方程的成立必然可导出协调方程（必要性）。 为证明其充分性，应有：若协调条件成立，则必定存在u、v，而且在域内是单值连续函数。,在求u时，需先求 和 ，而 可由几何方程得到。为求 ，沿通过坐标原点 与点 的某一曲线进行积分，并应用几何方程，则得,第二章 应变分析,103,为使上式的积分在单连域内与路径无关,必须满足,即:,第二章 应变分析,104,上式即为变形协调条件,亦即满足协调条件时 可以唯一的被确定。因此，可以计算位移u，即,同样，为

35、由 、 唯一地确定u，即与积分路径无关，必须满足,对于连续函数，求导数时与微分顺序无关，故上式是满足的。因此，可以唯一地确定u。,第二章 应变分析,105,用同样的方法可以证明，只要满足变形协调条件，可以唯一地确定v（充分性）。 由以上证明可知，变形协调条件是确定u(x,y)、v(x,y)有解的必要而充分条件。,第二章 应变分析,106,例：若物体处于平面应变状态下，利用直角坐标中的应变分量与位移分量之间的关系式，并利用坐标转换公式，试导出以极坐标表示的应变分量与位移分量之间的关系式（2-10）。 解：由直角坐标变换为极坐标时坐标轴之间的转换公式可得,当坐标轴旋转时，位移分量之间的关系为,由上式可得,第二章 应变分析,107,又有,将（c）代入（d），得,第二章 应变分析,108,将直角坐标中的应变分量写成,将（a）及（e）代入（f），得,第二章 应变分析,109,将（g）代入平面应变状态下直角坐标和极坐标的应变分量转换关系式，即,并经整理和化简后，得,