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1、6-5 平面问题在极坐标系下的基本方程,一. 直角坐标与极坐标的微分关系,此即一阶微分关系,在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体宜采用极坐标 ( r , ) 来解。,同理可得各阶微分关系，如,二. 极坐标系下的平衡微分方程,1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系,如图，根据应力状态的定义，,过P点分别以 r 方向和 方向为法线的截面上的应力 r、r r ，,作为在极坐标系下的应力分量。,（1）极坐标系下的应力分量和体力分量,r,（2）应力分量的坐标转换,视 P-r 为旧坐标，P点的应力状态为 r、r r ；,视 O-xy 为新坐标，求P点的应力分量 x
2、、y、xy yx 。,由应力状态的坐标转换公式,r称为径向应力， 称为环向向应力。,代入计算得,（3）体力分量的坐标转换,设极坐标系下的体力分量为 Fbr 、Fb 。,将其分别向 x、y 方向投影得,2. 极坐标系下的平衡微分方程,由直角坐标系下的平衡微分方程推导,当,时,以此位置的直角坐标系，,建立平衡微分方程。即,同理,代入即得,三. 极坐标系下的几何方程,1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系,类似体力分量的投影关系,2. 极坐标系下的应变分量,将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ，,作为P点的应变分量。,3. 极坐标系下的几何方程,可通过微分关
3、系直接由直角坐标系下的几何方程得到。,同前分析，当 0 时，,所以,即,四. 极坐标系下的物理方程,因r、 方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。,即,当为平面应变问题时，E1E、1 。,五. 极坐标系下的相容方程,极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零或关于 (r ， ) 有势。,（展开共8项）,将O-xy坐标系旋转至 x 与 r 重合，即 0，此时,在不计体力的情况下，,可通过微分关系直接由直角坐标系下的相容方程得到。,所以,五. 极坐标系下的应力边界条件,设边界S的外法线方向与 r、 方向的方向余弦分别为 l1、l2 ，其上作用的面力沿r、方向的分量分别为 pr、p
4、 。则其应力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。,即,当体力不为零或无势时，可用应力表示相容方程,例6-6,写出图示问题的应力边界条件,（1）,r,上边：,斜边：,（2）,r,内侧：,外侧：, 0，l1 0，l2 1, ，l1 0，l2 +1,r a，l1 1 ，l2 0,r b，l1 +1 ，l2 0,上端：, 0，l1 0 ，l2 1,或向O简化,面力向形心简化,O,（3）,半无限平面,r,a,当 r 0 时，上边,当 r 0 时，O点受集中力偶，,但无法使用圣维南原理进行简化。,可使用截面法建立外力与内力的关系，,即O点的应力边界条件。,由半圆上的应力和外力的平衡关系，有,五. 极坐标系
5、下的基本方程总结,平衡微分方程,几何方程,物理方程,相容方程,应力分量,应力边界条件,位移边界条件,（不计体力）,（无体力）,（计体力）,或,6-6 平面问题在极坐标系下求解,一. 轴对称问题的应力与相应的位移,1.轴对称问题的特征,（1）截面的几何形状对称于中心轴，,（2）荷载与约束对称于中心轴。,如圆环、圆盘、圆筒。,因此环向体力 Fb 0 ；,在边界上 ，环向的面力和位移为零；即,（3）导致物体的应力、应变和位移分布也是轴对称的。即,由于任何通过中心轴（z 轴）的平面均为对称面，故各分量均与 无关。即,2.轴对称问题的基本方程,平衡微分方程,几何方程,物理方程,相容方程,应力分量,边界条
6、件,（不计体力）,（不计体力）,计体力时,3.应力函数与应力分量,将相容方程展开得,令,同理,代入,常系数微分方程,特征方程,平面轴对称问题（不计体力），应力分量的一般表达式。,其中A、B、C为待定系数，由边界条件和位移单值条件确定。,平面轴对称问题（不计体力）的应力函数,4.位移分量,由物理方程和几何方程,式积分,代入式,积分得,将ur、u 代入式，整理得,欲使之成立，两端必等于同一常数。即,F为常数,分别解方程,所以，无体力应力轴对称的位移分量,其中，A、B、C、H、I、K 为待定常数，,由应力边界条件、位移边界条件（约束）和位移单值条件确定。,5.几点说明,（1）当物体仅几何和荷载轴对称
7、时，只产生轴对称应力，位移不一定轴对称（从u可见）。称之为轴对称应力问题。,（2）轴对称应力问题的位移不一定轴对称乃约束不一定轴对称所致。,可以证明，I、K 为物体分别沿 x、y 方向的刚体位移，H 则为绕轴心的刚体转动。,（3）当位移边界条件（约束）也轴对称时，位移也轴对称，,应有 u 0，则 B H I K 0,（4）多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件。（即位移连续性条件）。,按位移法求解时：若取位移分量为单值，由此求出的应变分量（几何方程）也为单值，求出的应力分量（物理方程）也为单值；,按应力法求解时：若取应力分量为单值，由此求出的应变分量（物理方程）也为单值，但求出的位
8、移分量（几何方程积分）常为多值。,对于单连域，位移单值条件一般自然满足；但对于多连域一般需检验位移单值条件。,1.圆环或圆筒受均布压力,qa,qb,二. 轴对称问题示例,已知：,求：应力分布。,（1）确定应力分量的表达式：,边界条件：,代入应力分量表达式，有,式中有三个未知常数，二个方程还不足以完全确定常数,考察多连体中的位移单值条件。,是多值函数，,如(r , )和(r , ),同指一点，,但由此计算却得出两个位移。,由位移的单值条件，必有：,B = 0,所以,将其代回应力分量式,（繁分式称为拉梅解答）,讨论：,（1）,外压无内压：, 当 a 0 时：,二向等压,（2）,内压无外压：, 当
9、b 时：,具有圆孔的无限大薄板,若 a 0,但 a 0, 当 r a 时：,（针孔问题）,可见针孔处有应力集中现象，,最大应力为无孔的二倍。, 当 b a t R (半径) 时：,薄壁圆环,与材力结果相同,2. 压力隧洞,问题：,厚壁圆筒（E， ）埋在无限大弹性体（E ， ）内 ，受内压 q 作用，求圆筒的应力。,分析：,相当于两个轴对称问题，,（1）内外半径分别为 a、b，受内压 q、外压 p 的厚壁圆筒；,（2）内半径为 b，外半径为 ，受内压 p 的厚壁圆筒；,且均为平面应变问题。,确定压力 p 的两个条件：,径向变形连续,径向应力连续,求解：,厚壁圆筒的应力分量及其边界条件,无限大弹性
10、体的应力分量及其边界条件,将应力分量代入边界条件,四个方程，五个未知量（p未知）,补充位移连续条件,平面应变问题,欲使对任意的 成立，须有,令,上式整理为,因,与前三式,联立求解 A、C、A、p，并代入得,3. 圆弧曲梁的纯弯曲,问题：,矩形截面曲梁,r,O 为曲梁的曲率中心，,内半径为 a ，,外半径为 b ，,在两端受有大小相等而转向相反的弯矩 M 作用，,两端面间极角为 。,分析：,取曲梁的曲率中心 O 为坐标的原点，并按图示建立坐标系。,由于各截面上弯矩 M 相同，因而可假定各截面上应力相同，构成一轴对称问题（对称轴为 z 轴）。,求解：,（1）应力分量,由于是单连域，,位移式中无多值
11、项，,故,（2）边界条件,内外侧：,自然满足,自然满足,端面：,取 = 端,自然满足,两式直接积分有一定困难，,可利用应力分量与应力函数的关系简化积分,由,满足,联立求解得,其中,所以,讨论：,a）r = a 时， 取得最大值（绝对值）；,b）中性轴不过截面形心，而偏于内侧；,c） 关于截面不成线性分布，且挤压应力r 与同量级。,三. 圆孔的孔边应力集中,1. 问题的提法,无体力的矩形薄板，,薄板内有一个小圆孔,（半径 a 远小于板的尺寸）。,薄板对边均匀拉力q作用，,由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力，,称应力集中问题。,本问题即是求解图示弹性体的应力解答。,2. 问题的分
12、析,以孔心作为原点建立坐标,r,（1）无孔时,在极坐标系下,（2）有孔时,b,应力分布将发生变化，,但在距孔边较远处，其应力分布与无孔时几乎一致。,因此用较大半径 ba ，以孔心为圆心作圆，,该圆周上的应力即与无孔时的应力相同。,(r)r = b,(r)r = b,由截面法，以半径为b的大圆将板截为内外半径分别为a、b的圆环。,视圆周上的应力为圆环的面力，即,将面力分解为两组，即,问题转化为圆环分别在两组面力作用下应力解答的叠加。,3. 问题的求解 第一组解答,在第一组面力,作用下，,系圆环仅受外压,应力解答,的轴对称问题。,=,4. 问题的求解 第二组解答,在第二组面力,作用下，,圆环受非对
13、称荷载，,系非对称问题。,用应力函数半逆解法求解。,（1）应力函数,由应力边界条件,可知，只要 r 不接近 a ，,由应力分量与应力函数的关系可知，,故设,代入相容方程得,解该Euler方程得,所以,（2）应力分量,（3）边界条件,内边界：,外边界：,将应力分量代入,联立解之，并令,所以,5. 问题的应力解答,解答的此形式称为齐尔西（G. Kirsch）解,6. 讨论,（1）应力集中,孔边（r a）,最大应力,无孔时,可见,应力集中系数,（2）应力分布, 沿水平方向（ 0）,之后趋近于零，与无孔时的分布相同。, 沿竖直方向（ 2）,之后趋近于q，与无孔时的分布相同。,说明应力集中的影响范围仅限
14、于局部区域，与力的局部作用原理（圣维南原理）相同。,（3）结果应用, 双向均匀拉压矩形薄板，距边界远处开小圆孔的计算,分解为两个齐尔西解叠加, 均匀应力任意形状薄板，距边界远处开小圆孔的计算,1,2,由无孔时计算所得的均匀应力状态，,计算任一点的主应力和主方向；,以主方向为x、y轴，以圆心为原点作矩形；,由于各点应力状态相同，所以矩形两对边的面力即为主应力。,问题化为。,需注意问题转化前后研究点的坐标方位。, 工程中近似计算孔边应力的方法,先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量 sx 、sy 、txy ；,再由应力分量求出相应的主应力和主方向；,最后将圆孔附近部分当作沿两个主方向受均布拉力 q
15、1 = s1 及 q2 = s2 ，从而由前述的叠加法求得孔边应力。,非均匀应力状态,四. 楔形体的楔顶与楔面受力,1. 楔顶受集中力作用,r,楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度）。,求楔顶与楔面受力时的应力分布。,设集中力P与中心线的夹角为 。,（1）应力函数,量纲分析法：,问题的条件中，所有的量仅有P (Nm)、r (m)、 。,要由这些量构成应力的量纲 (Nm2)，,只有且仅含 Pr 的一次项。,所以，应力分量 r 1,应力函数比应力分量高两次,故设,代入相容方程得,即,整理得,所以,（2）应力分量,（3）边界条件,楔面：,自然满足,楔顶：,截取含楔顶的脱离体建立平衡关系。,以楔顶为圆
16、心任作一圆弧 ，,取其上部建立平衡方程。,r0,r,r,a,b,将应力分量代入,自然满足,积分得,代入应力分量得,密切尔（ Michell ）解答,（4）讨论, 0 ：竖向力P作用, 2 ：水平力P作用,正对称分布,反对称分布, 当 r 0 时：r ，不可能（？）, 、 0 ：半平面体边界受法向力P作用,2. 楔顶受集中力偶作用,（1）应力函数,应力分量 r 2,故设,代入相容方程得,注意到集中力偶矩应为单位厚度的矩，即M 的量纲为(N) 。因此,若受分布力作用，可由叠加法对上式积分。,（2）应力分量,考虑到反对称载荷下，对称体的应力分布应反对称。即,r 应是 的奇函数，r 应是 的偶函数。,
17、所以，A 0,（3）边界条件,楔面：,自然满足,楔顶：,以楔顶为圆心任作一圆弧 ，,取其上部建立平衡方程。,自然满足,自然满足,联立求解得,代入应力分量,英格立斯（Inglis）解答,3. 楔面受分布力作用,r,（1）应力函数,应力分量 r 0,故设,注意到分布力q 的量纲为(Nm2) 。因此，,代入相容方程得,（2）应力分量,（3）边界条件,竖面：,斜面：,联立求解,回代应力分量,（3）特例,当 时，半平面体之半受均布力作用。,为便于应用，将其转换到直角坐标系：,五. 半平面体在法向力作用下的位移,1. 受集中力作用,（1）应力分量,（2）应变分量,（3）位移分量,由几何方程,由物理方程,积
18、分第一式,代入第二式,积分得,将 ur、u 代入第三式，并整理得,式中，H、I、J、K为任意常数,由对称性,所以,所以,常数 I 须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。,工程所关注的是边界上的铅垂位移（地面沉陷），即,（4）边界沉陷,由于常数 I 无法确定，,所以只能求得的相对沉陷量。,在边界上取一基准点B，,计算M点相对于基准点B的沉陷。,为此，,对于平面应变问题,符拉芒（Flamant）公式,dP,q 1c,2. 受均布力作用,设单位均布压力,（其中 c 为作用长度）。,求 M 点（距压力中心为 a）,相对于基点 B（距压力中心为 b）,的沉陷量 。,取微段力 dP dr c ，,由符拉芒公式,其中，,为 r 的函数。,当 s r 时，可视 s 为常数，即 s b,或,其中，s为常数。,积分得,其中,若需求压力中心的沉陷，即 a 0,此时,则,其中,地基基础梁计算中的连杆法涉及以上公式。,
