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1、基础知识 自主学习,3.4 导数的综合应用,题型一 函数的极值与导数 【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1, -6),且函数g(x)=f(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极 值. (1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关 于y轴对称可求m,n.由f(x)0及f(x)0可求单 调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值 点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解 (1)由函数f(x)的图象过点(-
2、1,-6),得m-n=-3. 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图象关于y轴对称,所以所以m=-3.代入得n=0.于是f(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f(x)0得x2或x0,故f(x)的单调递增区间是(-,0)和(2,+);由f(x)0,得0 x2,故f(x)的单调递减区间是(0,2).,(2)由(1)得f(x)=3x(x-2),令f(x)=0得x=0或x=2.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表: 由此可得:当0a1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2
3、,无 极小值;当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;,当1a3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无 极大值;当a3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.综上得,当0a1时,f(x)有极大值-2,无极小值;当1a3时,f(x)有极小值-6,无极大值;当a=1或a3时,f(x)无极值. (1)注意体会求函数极值的基本步骤,列 表可使解题过程更加清晰规范.(2)要求函数f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值,需对参 数a进行讨论.,探究提高,知能迁移1 已知函数 (a为常数),求函数f(x)的极值. 解 由已知得函数f(x)的定义域为x|x1, 当a0时,由
4、f(x)=0,得 当x(1,x1)时,f(x)0,f(x)单调递增.,题型二函数的最值与导数【例2】已知函数f(x)ax36ax2b,问是否存在实 数a、b使f(x)在1，2上取得最大值3，最小值 29,若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明 理由 (1)研究函数f(x)在1,2上的单调性; (2)确定f(x)在1,2上的最大、最小值； (3)列方程组求a、b. 解由f(x)ax36ax2b得f(x)3ax212ax 3ax(x4) 当a0时,f(x)0,f(x)b不能使f(x)在1,2 上取最大值3,最小值29.,思维启迪,当a0时，令f(x)0，得x10，x24在区间1,2上,当a0,令f(x)0得x10,x24在区间1,2上,
