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1、第三章 能带论基础,能带的重要意义：,能带理论是研究固体电子运动的重要理论基础，是凝聚态物理 中最重要的部分。,固体的导电性质，主要是能带结构决定的，而不是由电子的多 少决定。,能带的概念被推广到固体中光、声的传播。,能带理论的发展：,1900，Drude建立金属自由电子气体模型，解释金属的电导、 热导；1928，Scommerfeld引入Fermi-Dirac 统计，解释电子 的热容量等。,固体能带理论的建立：1928，F. Bloch应用量子理论研究固体 的电子运动，提出Bloch定理，奠定了现代量子固体物理的基 础。1931，A.H.Wilson依据能带理论，成功地解释了金属、 绝缘体和
2、半导体的差别（定性）。,1964，W.Kohn等建立密度泛函理论，借助计算机，能够定量 计算高分子、纳米材料、介观器件等（精确计算）。 -1998年诺贝尔化学奖,能带理论的出发点：,能带理论是一种近似理论，主要有三个假设：1.Born-Oppenheimer绝热近似2.单电子近似3.周期势场近似能带问题简化为“单电子在周期势场”的运动。 能带理论虽然是一个近似的理论，但实际的发展证明，在某些领域（重要的半导体）中是比较好的近似，可以作为精确概括电子运动规律的基础。在另外一些领域（许多金属）中，可以作为半定量的系统理论。,3.1 晶体中电子状态的近似处理方法,3.1.1 单电子近似,1900年，
3、特鲁特提出：金属中的价电子同气体分子类似，形成自由电子气体，称为金属电子气。,按照特鲁特模型，金属电子气可以用具有确定平均速度和平均自由时间的电子运动来描述。,例如，在外电场作用下，电子气产生漂移运动形成了电流；在温度场中，电子气的流动总是伴随着能量（热量）的传递，从而形成了金属的热传导现象。,晶体中电子的能级和波函数是分析电子在晶体中的运动和晶体的许多物理性质的理论基础：,索末菲（A.Sommerfeld）用量子理论对经典的自由电子模型加以改进，定量地解释金属的许多重要性质，如热容量，热导率，电导率，磁化率等。,没有考虑晶体势场的作用，不能解释晶体为什么区分为导体，半导体和绝缘体。,实际上，
4、每个电子的运动受其他粒子的影响，而每个粒子的运动也不是独立的。原则上，应把整个晶体作为研究体系，同时列出所有粒子和电子的薛定谔方程，求解。,通常采用单电子近似的方法把多体问题简化为单电子问题，这种近似方法包括两个步骤：,（1）绝热近似：（把多体问题转化为一个多电子问题）原子质量大的多，运动速度小得多，相对电子好像静止不动。把电子的运动和粒子的运动分开考虑，两者不交换能量。进一步的研究中，把晶格振动对电子运动的影响作为微扰处理，会 引起电子的跃迁和散射,（2）自洽场的利用：（把多电子问题转化为单电子问题）电子受到的作用随着电子的运动而改变。根据其他电子所处的位置的几率分布，将离子势或其他电子 作
5、用的周期势场对其他电子的位置求平均。可以把电子的运动分开单独处理，认为每个电子是在固定的 粒子势场和其他电子平均势场中运动。该势场具有晶体结构的周期性和晶体结构的微观对称性。,3.1.2 周期势场的形成,3.2 金属中的自由电子模型,“单电子在周期势场”中的运动。,3.2.1 无限深势阱近似-驻波解,金属内部的自由电子不会逸出体外，因此金属内部的电子能量比金属外部的电子能量低，也即金属中的电子处于有限深势阱中。,假设金属内的势阱是无限深的方势阱，金属是边长为L的立方体。,考虑一维情况：,势能：,0 r L,r0 或x L,金属中的电子可以看作是被关闭在一个箱体中的自由电子,金属内部的自由电子不
6、会逸出体外，晶体外和晶体边界处的电子波函数为0.,该方程式的一般解为：,因为A不等于0，,所以，,相应的波函数为,式中A为归一化常数。,在三维情况下：,势阱内，电子能量和波函数应满足的薛定谔方程为：,上式用分离变量法求解，令,参数k是自由电子波矢的模，kx,ky,kz是波矢的三个分量。,代入，分离变量可得：,满足三维无限深势阱边界条件可得：,式中，A1,A2,A3是归一化常数。,电子的波矢分量满足：,nx，ny，nz可取任意的正整数。最终结果为：,其中A是归一化常数。,晶体中自由电子的本征态波函数和能量均由一组量子数来确定。能量的取值可以是分立的，形成能级。当晶体的线度L很大时，能级成为准连续
7、的。,3.2.2 周期性边界条件-行波解,晶体内部的周期性势场不能忽略，假想所研究的晶体是许许多多首尾相连的完全相同的晶体中的一个，每块晶体对应出的运动状态相同。只强调晶体的有限性对内部粒子运动状态的影响。,在周期性边界条件下，不限定波函数在边界上的值，而是要求波函数的性质延续到下一块晶体。,上面的方程解为行波解：,利用边界条件和波函数，可以得,进而得到波矢的取值，即,能量：,n为任意整数。,采用周期性边界条件，金属中单个电子的波函数表示的是行进的平面波，具有确定的动量和速度；平面波状态的波矢由一组量子数确定，其单电子本征能量、动量和相应的速度均取分立值。,（1）L作为晶体的长度远大于晶格常数
8、，kx可看作准连续的。（2）能量是波矢的偶函数。 E（kx）=E（-kx）（3） kx的取值是等间隔的，量子态在kx轴上均匀分布。,3.2.3 能态密度,半导体中载流子浓度的计算、固体比热容、电导率、磁导率的计算都要用到能态密度公式。,按照周期性边界条件的结果来讨论能态密度。,晶体长度L远大于其晶格常数a，能级间隔和波矢间隔很小，能量和波矢几乎是准连续的值，波矢的取值为等间隔的，先讨论一维情况。,密度：L/2,能量在E-E+dE范围内的量子态数为：,能态密度：单位能量间隔内的量子态数目。,三维情况：,自由电子波函数,能量,一个点子占有的“体积”,密度,能量在E-E+dE范围内的量子态数为：,N
9、个电子的基态，是从能量最低的 k 态开始，由低到高依次填充而得到。,在绝对零度时，N 个电子对允许态的占据遵从泡利不相容原理，即每个允许的态上可以容纳两个自旋方向相反的电子。,在 k 空间中电子占据区域最后形成一个球，称为费米球。费米球的半径称为费米波矢，用来 kF 表示。,3.2.4 费米球,3.2.4 费米球,k空间从原点到半径为kF的球面之间的量子态数正好等于电子数目，则此球称为费米球。,费米球体积,量子态数,费米球半径,费米球表面处的能量称为费米能量,3.3 布洛赫定理,晶体中的电子是在固定粒子的势场和其他电子的平均势场中运动的，电子的势能具有晶体结构的周期性。一个在周期势场中运动的电
10、子应该具有哪些基本特征？,3.3.1 布洛赫定理的表述,电子的能量E（k）和波函数（x）必须满足薛定谔方程：,K为波矢，表征量子状态的量子数，V(x)是周期函数，,满足上两式的薛定谔方程解具有如下特殊形式：,式中uk(x)也是以a为周期的周期函数：,布洛赫函数,在周期势场中运动的电子，其本征态波函数的形式为一个自由电子的波函数eikx乘上一个具有晶体结构的周期性函数uk(x)。这反应了晶体中的电子既具有公有化的倾向，又受到周期排列的粒子的束缚的特点。只有在uk(x)等于常数时，在周期场中运动的电子的波函数才完全变成自由电子的波函数。,布洛赫函数不是周期函数：,对于一个实际晶体，其体积总是有限的
11、，必须考虑边界条件，仍然采用周期性边界条件。,设一维晶体的原胞数为N，线度L=Na,则布洛赫函数满足：,所以：,边界的影响使波矢k取分立的值。,三维情况,势场具有周期性，,薛定谔方程，,解，,其中，u为晶格周期性函数，满足：,Rn为晶格平移矢量。,3.3.2 布洛赫定理的证明,3.3.4 布洛赫函数的意义,电子不再是局域化的，而是扩展于整个晶体之中。,自由电子在空间各点出现的概率相同，但晶体中的电子在原胞不同位置上出现的概率不同。,uk(x),eikx,反应电子在每个原子附近的运动情况。,布洛赫函数为一被周期函数uk(x)所调制的平面波， uk(x) 反应了晶格周期势场对电子运动的影响。,晶体
12、中不同原胞各等价位置上电子出现的几率相同。,反映了晶体中电子的共有化，与自由电子的运动有相似之处。,对于自由电子，波矢为k的状态具有确定的动量k；对于晶体中的电子，波矢为k的状态并不具有确定的动量，但仍具有类似于动量的性质，通常把k 称为晶体动量或准动量。,3.4 克龙尼克-潘纳模型,周期势场中运动的电子，其波函数一定是布洛赫函数。那么它的许可能级有什么特点呢？,求解最简单的一维周期势场。,3.4.1 求解,在-bxc区域内，粒子势能为：,在其他区域，粒子势能为：,其中n为任意整数。,依照布洛赫定理，波函数可以写成，,代入薛定谔方程，,即，,u(x)满足的方程为，,波函数的倒数，,在势场突变点
13、，要求波函数及它的导数必须连续，也就是函数u(x)和它的导数必须连续。下面分别不同区域求出u(x)的表达式。,X,U(x)的取值与0 xc内对应点的取值相同，,-,-,x,3.,4.,x,-,-,x,在求解波函数时，只需确定A，B，C，D四个常数。这四个常数由势场突变点函数u(x)和它的导数必须连续的条件确定。,（1）,（2）,1,2,3,4,所以上式决定了能量的取值。,将上式看做能量E的函数，可画出相应的曲线。,不同情况下，上式左边的函数曲线。,图a中，三条曲线a，b，c对应的V0值分别为4(22/2ma2), 8(22/2ma2), 16(22/2ma2), 公式中取b/a=0.2。图b中
14、，三条曲线a，b，c，d对应的V0与b的乘积相同，对应的V0值分别为4(22/2ma2), 8(22/2ma2)，16(22/2ma2)和 32(22/2ma2)，公式中,b/a=0.2的值分别为0.4,0.2,0.1和0.05。,方程的解是图中曲线与水平线（其位置由coska的值决定）的交点，k的取值不同，解的数目就不同。在coska=0附近，交点最多，解最多。,曲线形状主要由势垒面积决定（ V0与b的乘积）。,3.4.2 讨论,这时电子只能束缚在某一个原子附近，不能从一个原子转移到另一个原子。,3.4.3 能带结构的特点,根据以上结果可以得出下列有意义的结论：,1.在周期势场中运动的电子，
15、其许可能级组成能带，两个相邻的能带之间由禁带隔开。 2.能带的宽度随能量的增加而增加。 3.能带的宽度随着粒子对电子束缚程度的增加而减小。 P正比于势垒的“面积” V0b，它描述了粒子对电子的束缚程度。,最左边，P=0，相当于金属自由电子模型。 最右边，当P,相当于孤立原子的线状谱。 实际晶体位于中间状态。对于一个给定的P，画出一条垂直线，就能得到能带和禁带的宽度。,4.对于给定的能带，电子的能量E是波矢k的偶函数，E(k)=E(-k)。并且是k的周期函数，E(k)=E(k+2/a)。 在能量函数中，k的影响都是以coska的形式出现的。,5.每个能带最多容纳2N个电子。 在克龙尼克-潘纳周期
16、场模型下，考虑周期性边界条件。由边界条件可得：,相邻波矢间隔为2/Na，整个第一布里渊区线度为2/a，所以简约波矢的数目为N，有N个由简约波矢标志的能带。考虑到电子自旋，每个能带容纳2N个电子。,补充：1.不同能带在能量上不一定分开，可能发生能带间的交叠。 2.晶体中存在杂质和缺陷破坏了晶体的周期性，在禁带中将 存在杂质能级。,3.5 能带的计算方法,实际晶体中的势场比周期势阱的势场复杂的多。,在计算能带结构时，通常采用各种近似。这里介绍两种，准自由电子近似和紧束缚近似。,3.5.1 准自由电子近似,准自由电子近似的出发点：在某些晶体（例如金属）中，原子对价电子的束缚很弱，电子势能的周期性起伏
17、较小，即势能的变化部分与平均动能比较起来是比较小的。因此，电子的运动虽然受到周期场的影响，但很接近于自由电子，这样就可以把周期势场作为对自由电子运动的微扰来处理。,1. 零级近似下电子的能量和波函数,零级近似就是用势场平均值代替原子实产生的势场，而把周期势场的起伏作为微扰处理,2. 微扰下的能量本征态,微扰下波函数0k(x)已经不是能量的本征函数，但是不同波矢的零级波函数的组合可以得到一般电子的波函数。,其中：,修正项只有波矢与主要项的波矢相差（2/a）的整数倍时才会起作用。,修正后的波函数为：,其中：,3. 微扰下电子波函数的意义,修正后的波函数第一项表示波矢为k的平面波，第二项表示平面波受
18、周期势场作用产生的散射波，散射波的波矢为k=k-(n/a)2,振幅为 2 2 2 2 2 。,如果入射波波矢k=n /a,散射波成分的振幅趋于无穷大，波函数修正项发散，这与修正项作用较小相矛盾，说明入射波波矢取/a的整数倍时，简单微扰法不再适用。,下面说明为什么入射波波矢取/a的整数倍时，散射波很强，以至不能用简单微扰来处理。,4. 电子波矢在k=n /a附近的能量和波函数,用能量相同或十分接近的波函数进行适当组合构成新的（零级）近似波函数。,两个相互影响的状态k和k微扰后，能量变为E+和E-， E+分别比原来能量较高的状态更高， E- 比能量较低的状态更低。,5. 能带和带隙（禁带）,每个波
19、矢k都有一个量子态，k=2l/Na，波矢k取值准连续，相应的能量也就准连续。 与自由电子不同，准自由电子的能量在布里渊区边界发生断裂，形成带状结构。 能量在某些范围密集地取值使许多能级集合在一起（称允带），在另一些范围能量不能取值，因而一条能级也没有（称禁带）。,（1）能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲。 （2）禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处即,有关能带可以总结一下特点：,（3）禁带宽度为：,Vn大小取决于晶体中势场的形式。,（4）能带中电子能量E是波矢k的偶函数。 对于任意能带，都满足Es（k）=Es（-k），这里s是能带序数。,3.5.2 布洛赫函数的例子,上式很容易证明uk
20、(x)是周期函数， uk(x+a)= uk(x)。,uk(x)=,令,周期势场中运动的电子波函数可表示成,不难验证：,波函数只增加了相位因子。,3.5.2 紧束缚近似,紧束缚近似的基础：在一些非导体中，原子间的距离较大，电子受每个原子的束缚比较紧；当电子处在某一个原子附近时，主要受到该原子势场的作用，其他原子的影响很小。因此，电子运动类似于孤立原子中束缚电子的情形，这样可以从原子轨道波函数出发，组成晶体中电子的波函数，这种方法也被称为原子轨道线性组合法。（LCAO）,大体求解步骤：1.将各原子态组成布洛赫波；2.将能带中的电子态写成布洛赫波的线性组合；3.代入薛定谔方程求解组合系数的能量本征值
21、。,能级由于原子间的相互作用而分裂成一个能带。 能带低的带对应于内层电子的能级，而对于内层电子，原子间的相互作用的影响较小，所以能带低的带较窄。,能带计算的其他方法：正交化平面波法，kp微扰法，原胞法，贋势法等。,3.6 晶体的导电性,3.6.1 电子运动的速度和加速度 有效质量,该粒子(例如电子)空间分布在 附近的 范围内，动量取值为 附近 范围内； 满足测不准关系。把波包中心 称为该粒子的位置， 称为该粒子的动量。,晶体电子在波矢 状态的平均运动速度，相当于以 为中心的波包移动的速度。,晶体中电子的运动可以看做波包的运动，对应的波包远大于原胞线度。波包的运动同经典粒子一样，波包移动的速度等
22、于粒子处于波包中心那个状态所具有的平均速度。,1 电子运动的速度,波包的速度即为群速度，波包中心移动的速度为：,对于完全自由的电子，在一维情况下：,能量为,速度,如果有外力 作用在电子上，显然在dt时间内，外力对电子将作功，其值为：,根据功能原理得：,或写成：,由电子的平均速度即可求出它的平均加速度。,所以：,2 电子运动的有效质量,由牛顿第二定律m*a=F可得电子的有效质量m*的倒数为：,(1)有效质量是k的函数，在能带底附近总是取正值；在能带顶附近总是取负值。,(3)在能带底部及顶部，电子平均速度为0.,(2)有效质量反比于能谱曲线的曲率，,。,(4)在E(k)曲线的拐点处，Vx的绝对值最
23、大，超过此点， Vx随绝对值得增大而减小。,晶体中的电子除受外力作用外，还受晶格相互作用力。,设电子与晶格之间的作用力为 ，则牛顿定律简单记为,也就是说电子的有效质量m*本身已概括了晶格的作用。,由于考虑了周期场的影响，因此电子的有效质量不同于自由电子的质量。 电子有效质量的正负可以从电子与晶格交换动量方面来理解。 当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量m*0；当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，m*0；当电子从外场获得的动量全部交给晶格时，m* ，此时电子的平均加速度为零。,在三维情况，由于晶体的各向异性，通常有效质量是一个张量，有效质量的一般定义（张量定义
24、）为：,若能带为球形等能面，E只与波矢的大小有关，而与波矢的方向无关，此时的有效质量可简化为一个标量：,对角元素相等：,非对角元素为0：,有效质量m*是固体物理学中的一个重要概念。,(1)m*不是电子的惯性质量，对于自由电子，F晶=0，所以m*=m；对于周期场中的电子， F晶0，所以m*m。,（2)m*不是一个常数，而是 的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式。外层能带电子有效质量小，内层能带电子有效质量大。,（3)m*可以是正值，也可以是负值。特别有意义的是：在能带底附近，m*总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，m*总是
25、负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。,电子的准(赝)动量。,在外力F的作用下，电子能量的增加等于外力所做的功。,3 电子运动的准动量,由于：,有：,引入有效质量和有效动量的概念后，处理晶体中电子的输运问题，可以把布洛赫电子看成是具有质量m*、动量为 的准电子，使我们能够只考虑外力作用下这样的准电子的运动。 由于通常晶体周期场的作用是未知的，也不象外力那么容易求出，所以引入这两个量，给处理问题带来很大的方便。,3.6.2 电子导电和空穴导电,其中s是能带序数，Es(kx)=Es(-kx)。,在-ks状态的粒子平均速度为：,波矢为ks的状态和波矢为-ks的状态中，电子的速度大小相
26、等方向相反。,在没有外电场时，在一定的温度下，电子占据某个状态的几率同该状态的能量有关。Es(kx)电子占有kx状态的几率等于它占有-kx状态的几率，因此在这两个状态的电子电流互相抵消，晶体中的总电流为零。,电子导电：,有外场存在时，充满了电子的能带和不满的能带对电流的贡献有很大差别。,在满带情况，在外场的作用下，电子可能由一个状态跃迁到另一个状态，必有其他电子回填，所有的状态仍为满态。因此即使有电场作用，晶体中也没有电流，电子没有导电作用。,在未满带情况，在外场的作用下，电子在布里渊区的分布不再对称，如下图，向左方运动的电子比较多，总电流不为零。即在不满的能带中，由于电子的运动，可以产生电流
27、。,在电场作用下，一个充满了电子的能带不可能产生电流。,如果孤立原子的电子都形成满壳层，当由N个原子组成晶体时，能级过渡成能带，能带中的状态是能级中的状态数目的N倍。原有的电子恰好充满能带中所有的状态，这些电子并不参与导电。,如果孤立原子壳层不满，则在外场作用下可以产生电流。,例如金属钠，1s2,2s2,2p6,3s1。当N个原子组成晶体时，3s能级过渡成能带，能带中有N个状态，可容纳2N个电子。但Na只有N个3s电子，能带是半满。在电场作用下，可以产生电流。属于导电金属。,空穴导电：,假设在满带中有一个状态k未被电子占据，此时能带不满，在外场下有电流Ik产生。,在该空位处引入一个电子，则该电
28、子产生的电流等于-ev(k)。引入这个电子后，总电流为零。,Ik+-ev(k)=0,Ik=ev(k),当状态k是空的时，能带中的电流就像是由一个正电荷e所产生的，而其运动的速度等于处在k状态的电子运动的速度v(k)。,在电场作用下，空穴的位置变化和周围电子的能态变化是一样的。空穴状态k的变化规律为：,带顶附近电子的有效质量m*是负的。令mh=-m*，则mh0。,空穴多位于带顶，因为满带顶的电子比较容易受热而激发到导带。,带顶附近电子的加速度犹如一个具有正电荷e、正质量mh的的粒子所产生的加速度。,当满带顶附近有空穴状态k时，整个能带中的电流以及电流在外磁场作用下的变化完全如同一个带正电荷e，具
29、有正有效质量mh和速度v(k)的粒子，我们将这种假想的粒子称为空穴。,空穴：带有正电荷e，正有效质量，准粒子，代表近满带中所有电子的集体行为。,空穴不能脱离晶体而单独存在，对于讨论半导体的许多物理性质起到很大的作用。,3.6.3 导体、半导体和绝缘体的区别,直到能带理论建立以后，才对为什么有导体，半导体和绝缘体的区分提出了理论上的说明。,未被电子占据的能带,一个能带最多能容纳2N个电子。,能带被电子充满,满带,空带,满带中的电子不能起导电作用；导带中的电子能够产生一定的电流。,部分被填充的能带,导带,在极低温度下，半导体和绝缘体都属于非导体类型。,温度升高，少数电子被热激发，从满带跳到邻近的空
30、带中，形成导带和近满带，从而具有导电性。这种现象被称为本征导电。,半导体的禁带宽度小，绝缘体的禁带宽度大。,半导体容易形成本征导电性，绝缘体很难形成本征导电性。,能量较高的满带称作价带。它由形成化学键的价电子所占据。,满带中缺少电子则形成空穴。,满带顶附近的空穴参与的导电-空穴导电。,导带底附近的电子参与的导电-电子导电。,相同数目的空穴和电子构成的混合导电-本征导电。,导带中的电子和满带中的空穴-载流子。,半导体除了具有本征导电性外还由于存在一定的杂质，而具有“杂质”导电性能。,电子填充能带的情况与价电子的多少和实际的能带结构都有关系。,3.7 实际晶体的能带,极值点附近能量的一阶导数为零，
31、能量E在k0附近泰勒级数展开可得：,一般只有能带顶附近或能带底附近的电子对材料电特性的影响较大，因此，通常情况下，只要讨论能带极值附近E(k)与k的关系就可以了。,极值点附近的等能面为椭球面，椭球面的形状决定了有效质量。,实际晶体的能带结构取决于其晶体结构和组成元素，而载流子的有效质量则是反映能带结构的重要参量。,3.7.1 回旋共振和有效质量,对于许多半导体已经能够利用回旋共振方法测定导带和价带边附近的载流子的有效质量。,载流子被加速，并在绕经磁场轴的螺旋轨道上运行，其旋转角频率为：,当射频频率等于回旋频率时，垂直于经磁场的射频电场的能量被共振吸收。,通过测量吸收峰的位置而直接计算有效质量，
32、这就是回旋共振实验。,（等能面为球面）,等能面不为球面时：,吸收峰的位置与外加磁场相对等能面椭球主轴的相对取向有关。,如果能带极值不在k空间的原点，并且晶体具有某种对称性，则k空间的能量极值点将不止一个，相应的等能面椭球也就不止一个。,这样不仅交变场吸收峰的位置会随B的取向而变化，吸收峰的数目也会改变。,由回旋共振吸收峰的位置与数目随B变化的实验结果而导出锗的导带结构。,3.7.2 硅和锗的能带结构,1 硅和锗的导带结构,对于N型Si，磁感应强度相对于晶轴有不同取向时，改变磁场强度可以得到数目不等的吸收峰。,如果认为Si导带底附近等能面是沿100方向的旋转椭球面，椭球长轴与该方向重合，Si导带
33、最小值不在k空间原点，而在100方向上。,根据Si晶体的对称性要求，在与100等价的其他方向上也必须有同样的能量极值。,共有6个旋转椭球面。,分别取100,010,001为x，y，z方向。则三个方向的有效质量有不同取值。,（b）平行于y轴的椭球， = 、 = = ,（a）平行于x轴的椭球， = 、 = = ,（c）平行于z轴的椭球， z = 、 = y = ,根据上式讨论B沿不同方向时上面三种情况对应的有效质量。,（1）B沿100方向，则，,上面三种情况的有效质量分别为：,有效质量有两种不同的取值，对应两种不同的回旋频率，可以观察到两个吸收峰。,（2）B沿110方向，则，,上面三种情况的有效质
34、量分别为：,有效质量有两种不同的取值，对应两种不同的回旋频率，可以观察到两个吸收峰。,（3）B沿111方向，则，,有效质量有一种取值，对应一种回旋频率，可以观察到一个吸收峰。,（4）B沿任一确定的方向，则a，b，c三种情况的有效质量各不相同，因此可以观察到三个吸收峰。,Si纵向和横向有效质量的实验数据分别为，（m0为惯性质量）：,类似实验对N型锗进行，锗的导带极值位于方向的边界上，共有8个。,每个椭球面有半个在第一布里渊区，第一布里渊区内共有4个椭球。,Ge纵向和横向有效质量的实验数据分别为，（m0为惯性质量）：,仅从电子回旋共振实验还不能确定导带极值的确切位置。,2 硅和锗的价带结构,但等能
35、面并非球面，而呈“扭曲”的形状。,价带包含三支，能量关系表示为。,等能面在k空间原点附近为球面。,另外两支在k=0处简并，能量表示式为：,这两支价带相应的有效质量并不一样。,理论和实践相结合得出的Si，Ge沿和方向上的能带结构图。,若半导体材料的导带底与价带顶能量对应的波矢相同（例如均在布里渊区的中心），则这种半导体称为直接禁带半导体，例如GaAs，ZnO等。,下式规律减小,3.7.3 GaAs的能带结构图,除了族元素半导体Ge、Si外，-族化合物也是重要的半导体材料，例如GaAs。,所有-族化合物半导体，都具有闪锌矿结构，布里渊区同面心立方的一样。,导带极小值位于布里渊区中心k=0处，等能面
36、为球面，导带底电子的有效质量为0.067m0。,在布里渊区边界处各有一个极小值，电子的有效质量分别为0.55m0和0.85m0。,室温下，导带的三个极小值与价带顶能量差分别为1.424eV、1.708eV和1.900eV。,AsGa价带具有一个重空穴带，一个轻空穴带和由于自旋轨道耦合分裂出来的第三个能带。重空穴的极大值稍微偏离布里渊区的中心。,重空穴的有效质量为0.45m0，轻空穴的有效质量为0.082m0，第三个能带的分裂距离为0.34eV。,作业：,2.简述你理解的，在晶体体系中，能级分裂进而出现能带的物理图像及决定性因素是什么。,3.设一维晶体的电子能带可以写成,其中a为晶格常数，计算,（1）能带的宽度；（2）电子在波矢k状态时的速度；（3）能带底部和能带顶部电子的有效质量,4.晶格常数为2.5的一维晶格，当外加102V/m和107V/m的电场时，试分别估算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间。,1.已知一维金属晶体共含有N个电子，晶体长度为L。设T=0K，试求：,（1）电子的能态密度；（2）证明晶体的费米能级为 。,
