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1、一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的_,可先把所求函数写为_,其中_,然后再根据题设条件求出这些_.这种通过求_来确定变量之间的关系的方法叫做待定系数法.,一般形式,一般形式,系数待定,待定系数,待定系数,1.已知 ,且过(-2,4),则k的值为( )A.-4B.-8C.-2D.8,解: ,k=-8.故选B.,2.已知一次函数f(x)=ax+b,它的图象经过(-1,2),且它的斜率为,则a+b的值为( )A.-1 B.1 C.3D.2,解:斜率为,a=,f(x)的图象过(-1,2), ,a+b=3.,3.若二次函数f(x)=x2+bx+c的顶点坐标为(2,-3),则f(1)的值为( )A
2、.-1B.1 C.-2D.2,解: , 4+2b+c=-3, b=-4,c=1.f(x)=x2-4x+1,f(1)= -2.,4.已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点,其中一交点坐标为(1,4),则另一交点为( )A.(-1,)B.(,) C.(-,)D.(-,),解:(1,4)在y=ax2上,也在y=kx+1上,a=4,k=3. 4x2-3x-1=0.x1=1,x2= -.抛物线与直线的另一交点为(-,).,1.待定系数法的定义: 一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求的函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来
3、确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.2.待定系数法的应用: 利用待定系数法求正比例函数,反比例函数,一次函数,二次函数等的解析式所需的条件,如下表所示.,3.解题方法指导利用待定系数法解题的关键是根据已知正确地列出等式或方程,主要从以下几个方面着手分析:(1)利用对应系数相等列方程;(2)由恒等的概念用数值代入法列方程;(3)利用定义本身的属性列方程;(4)利用几何条件列方程.,有的时候根据题意设立等式后,为简化运算, 回避繁复的解方程(组)过程,对等式中的某些待定系数的确定是依靠选择一些简单特殊和便于运算的数值直接代入等式,通常称为任意值法.,例1:已知f(x)是一次函数,且满足f(3x)
4、+2f(2x+1)=7x-4,求f(x).解:本题用待定系数法求解.设f(x)=ax+b(a0),则有 f(3x)+2f(2x+1)=3ax+b+2a(2x+1)+b =7ax+2a+3b=7x-4 a=1, b=-2, f(x)=x-2.,规律技巧:设出一般形式y=ax+b(a0),再由已知条件去求待定系数a与b值即可.,练1:(1)已知f(x)是一次函数, 且ff(x)=4x-1, 求f(x); (2)已知f(x)是二次函数, 且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x, 求f(x).,解:(1)f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b(a0),则ff(x)=f(ax+b)=a(ax
5、+b)+b=a2x+ab+b,又ff(x)=4x-1,a2x+ab+b=4x-1.即 , 解得 f(x)=2x- 或f(x)=-2x+1.,(2)f(x)是二次函数, 设f(x)=ax2+bx+c(a0).由f(0)=1,得c=1. 由f(x+1)-f(x)=2x,得 a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x, 即2ax+(a+b)=2x,由恒等式原理知f(x)=x2-x+1.,例2:已知二次函数y=f(x)图象过A(0,-5)B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,求这个二次函数的解析式.剖析:因为函数中有三个未知量a,b,c,这就需要列三个方程来求解.由题意得,图象过AB
6、两点,可代入原函数,再利用对称轴的条件,可设顶点式,也可设一般式求解.,解:解法1:由题给条件,图象的对称轴为x=2,所以设函数的解析式为y=a(x-2)2+k.把(0,-5)(5,0)代入上式得解析式为y=(x-2)2-9,即y=x2-4x-5.,规律技巧:用待定系数法求函数解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式,再由已知条件列方程或方程组,然后解出待定系数即可.当已知函数的类型是二次函数一次函数反比例函数时,可以设出所求函数的一般形式,为y=ax2+bx+c(a0)y=kx+b ,然后根据题设寻找恰当的条件把待定系数求出.,练2:已知二次函数f(x)满足f(1+x
7、)=f(1-x),且f(x)的最大值为15,它的图象与x轴两交点间的距离为 ,求f(x)的解析式.,解:f(1+x)=f(1-x),f(x)的对称轴为x=1.f(x)的最大值为15,设f(x)=a(x-1)2+15(a0).即f(x)=ax2-2ax+a+15(a0).设它的图象与x轴的交点坐标为(x1,0)与(x2,0),则|x1-x2|= .,|x1-x2|=,a=-6.f(x)=-6(x-1)2+15.f(x)=-6x2+12x+9.,例3:已知一条直线与一条抛物线交于 (0,1),(-1,3),且抛物线还经过点(1,-3), 求该直线与抛物线的函数表达式.剖析:已知抛物线上三点可设抛物
8、线解析式的一般式,直线的解析式可设为一次函数.,解:设直线的解析式为y=kx+m,由于直线过(0,1),(-1,3), m=1,-k+m=3,m=1,k=-2. 直线的解析式为y=-2x+1.设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,抛物线过(0,1),(1,-3),(-1,3),抛物线的表达式为y=-x2-3x+1.,练3:已知a,b为常数, 若f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10 x+24, 求5a-b的值.,解法1:利用对应系数相等列方程f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3 =a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3 =x2+1
9、0 x+24.,解法2:任意值法令x=-5,f(-5a+b)=(-5)2+10(-5)+24=-1,由f(x)=x2+4x+3=-1,x=-2.即f(-2)=f(-5a+b)=-1.5a-b=2.,1.已知一次函数y=kx+b,当x=-1时,y=-2,且它在y轴上的截距是-5,则它的解析式为( )A.y=3x+5B.y=-3x-5C.y=-3x+5D.y=3x-5,2.已知函数f(x)=mx2-2,m是一个正常数,且ff(2)=-2,则m的值为( ) A. B.1 C.2 D.4,解:ff(2)=m(4m-2)2-2=-2,m(4m-2)2=0,m0,4m-2=0,m=.,3.已知函数f(x)
10、=ax2+bx+c(a0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx是( )A.奇函数 B.偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数解:f(x)是偶函数,b=0.g(x)=ax3+cx, 故g(x)是奇函数.,5.已知f(x)=x2+1,g(x)是一次函数且是增函数,若ff(x)=9x2+6x+2,则g(x)的解析式为( )A.g(x)=3x+2 B.g(x)=3x+1C.g(x)=3x-1 D.g(x)=-3x+1,解:设g(x)=kx+b,k0,则ff(x)=(kx+b)2+1=9x2+6x+2,k2x2+2kbx+b2+1=9x2+6x+2.,6.函数f(x)=a
11、x2+2x-3的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为( ),解:当a=0时,f(x)=2x-3,满足图象与x轴有一个交点;当a0时,=4+12a=0,a= .综上a=0或 .,7.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为_.解:当x=3时,可得a0+a1+a2+a3=27, 当x=1时,a0-a1+a2-a3=1. a0+a2=14. 当x=2时,a0=8. a2=6.,8.已知f(x)=ax2+bx+2=a(x+)(x- )恒成立,求a+b=_.,解:f(x)=ax2+bx+2=ax2+ . , .a=-12, b=-2.a+b=-1
12、4.,9.已知二次函数f(x)=ax2+bx满足f(2)=0,且方程f(x)=x有两个相等实根.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的值域.,解:(1)f(2)=0,4a+2b=0, 又f(x)=x有两个相等实根,ax2+bx=x, ax2+(b-1)x=0,=(b-1)2-4a0=0, b=1代入,a=-, f(x)=-x2+x.,(2)f(x)=-(x2-2x)=-(x-1)2+.f(x)的值域为(-,.,10.定义在-6,6上的奇函数f(x),在0,3上为一次函数,在3,6上为二次函数, 且x3,6时, f(x)f(5)=3,f(6)=2, 求f(x).,解:当x3,6时,f(x)
13、f(5)=3,可设f(x)=a(x-5)2+3.f(6)=2,f(6)=a(6-5)2+3=2, 解得a=-1.f(x)=-(x-5)2+3, x3,6.f(3)=-(3-5)2+3=-1,即x0,3和x3,6时, f(x)均过点(3,-1).,x0,3时,f(x)为一次函数,可设f(x)=kx+b.f(x)在x-6,6上是奇函数,f(0)=0.b=0,即f(x)=kx.,11.已知a,b,cR,f(x)=ax2+bx+c.若a0,且f(x+2)=f(2-x),且方程f(x)=0两实根的平方和为10,函数y=f(x)的图象过点(0,3),求函数y=f(x)的解析式.,解:f(x+2)=f(2-
14、x),函数f(x)的对称轴为 ,又函数图象过点(0,3),c=3,设方程f(x)=0的两根为x1,x2,则x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2= 由得a=1,b=-4,c=3,函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4x+3,12.已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当x-1,2时,f(x)的最小值为1,且f(x)+g(x)为奇函数,求函数f(x)的表达式.,解:设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3,又f(x)+g(x)为奇函数,a=1,c=3,f(x)=x2+bx+3,对称轴x= ,当 2时,b-4,f(x)在-1,2上为减函数,f(x)的最小值为f(2)=4+2b+3=1,b=-3,
