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1、Nanjing University of Technology,第六章 圆轴扭转,第二篇 材料力学,杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转, 工程中承受扭转的圆轴, 扭矩与扭矩图,应用截面法可以确定受扭杆件横截面上的内力扭矩，扭矩用T表示。, 扭矩, 扭矩T的符号规定：,作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转递n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：,其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。,如果功率P的单位用马力（1马力
2、=735.5 Nm/s），则, 功率与扭矩间的换算关系：,主动轮上的外力偶矩（输入力偶矩）的转向与轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶矩（输出力偶矩）的转向与轴的转动方向相反，是阻力偶矩。,扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。, 扭矩图,例题,圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。,试画出圆轴的扭矩图。,解：,2、应用截面法，由平衡方程确定各段圆轴内的扭矩 。,3、建立Tx坐标系，画出扭矩图,1、分段,例题：图示传动轴，主动轮A输入功率PA=50 马力，从动轮B、C、D输出功
3、率分别为 PB=PC=15马力 ，PD=20马力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。,解：,mB,mD,四轮有无更好的排列方式？,例题,作扭矩图,解：,T1= -m,T(x)=-m+2m-tx=m-(2m/a)x,T,m,3m,m, 圆轴扭转剪应力, 变形特征, 变形几何分析,剪应变的分布规律是什么？, 横截面上的剪应力, 物性关系与应力分布,剪切虎克定律, =G ,剪应力的分布规律是什么？, 静力学方程,其中：,故：,代入剪应力表达式有：,GIp扭转刚度,Ip 截面的极惯性矩, 剪应力公式及其讨论, 剪应力分布规律, 最大剪应力,最大剪应力不超出材料的剪切比例极限线弹性范围, 在圆轴
4、的任一或指定横截面上,令抗扭截面系数：,最大剪应力出现在哪？, 求轴内的最大剪应力,等直意味着IP(x)const，max(x)=const，即WP(x)const，因此圆轴中的最大剪应力,2、等直圆轴：,1、一般圆轴（非等直）：,注意：如果对于象阶梯轴一样的分段等直轴如何计算？,对整根轴而言，TT(x)， = (x)，IPIP(x) ，故：,该式的求解可采用函数极值的计算方法进行, 圆截面的极惯性矩与抗扭截面系数,=d / D, 对于实心圆截面, 对于圆环截面,例题：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。,
5、解：,例题：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比d2D20.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。,解：由,得：,例题：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？,解：,设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内、外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为1,E轴将功率一半传给C轴，一半传给H轴，已知，P114kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=3
6、5mm. 求:各轴横截面上的最大切应力。,例题,P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,解：计算各轴的功率与转速,Mx1=T1=1114 N.m,Mx2=T2=557 N.m,Mx3=T3=185.7 N.m,计算各轴的扭矩,计算各轴的横截面上的最大切应力, 圆轴扭转时的强度条件,实验表明：在静载作用下，同一种材料在纯剪切和拉伸时的力学性能之间存在一定的联系，因而通常可以从材料的许用拉应力值来确定其许用剪应力值,钢：,铸铁：,考虑到受扭圆轴的动荷载等因素，所取的许用剪应力一般比静荷载下的许用剪应力还要低一些,可进行三类计算,例题 一空心轴=d/D=
7、0.8，转速n=250r/m, 功率P=60kW， =40MPa，求轴的外直径D和内直径d。,解：,例题 汽车传递轴用45号无缝钢管制成，外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作时最大扭矩T=1.5KNm，材料的许用剪应力 =51MPa,1、校核轴的强度；2、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径；3、比较实心轴和空心轴的重量。,解：,1、校核轴的强度,轴的强度符合要求,2、确定实心轴的直径,根据题意，实心轴的最大剪应力,3、比较实心轴和空心轴的重量,两轴材料相同、长度相等，重量比等于横截面面积比,例题：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多
8、少?,解：设实心轴的直径为 d1 ，由,得：, 圆杆扭转时的变形及刚度条件, 受扭圆轴的相对扭转角,圆轴扭转时，任意两截面间绕轴线相对转动的角度称为该两截面间的相对扭转角，如AB,沿轴线方向积分，得到,dx微段的相对扭转角,对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：,对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：,为了排除长度的影响，采用单位长度相对扭转角表示圆轴的扭转变形程度，即扭转角的变化率。,例题：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。,解：,例题：圆截面橡胶棒的直径d=40mm
9、，受扭后，原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90变为 88。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩m。,解：由,例题：图示钢制实心圆截面轴，d=70mm，G=80GPa，lAB300mm，lAC500mm，m11592Nm，m2955N m，m3637N m，求截面C相对截面B的扭转角。,解：,假设A截面不动,方向同m3,第一种解法,第二种解法 叠加法,在线弹性、小变形条件下，分别求出在m1和m3单独作用下，C截面相对B截面的扭转角，然后叠加。,正负号表明了转向, 扭转超静定问题解法,例题：两端固定的圆
10、截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。,解：,静力平衡方程为：,变形协调条件为：,即：, 受扭圆轴的刚度设计准则,为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计,将最大单位长度相对扭转角限制在允许的范围内，即为刚度设计准则或称刚度条件：,对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又可以写成：, 为许用的单位长度相对扭转角。 精密机械的轴 (0.250.5) ()m；一般传动轴 (0.51.0) ()m；刚度要求不高的轴 2 （）m。,需要注意的是：刚度设计中要注意单位的一致性。上式不等号左边的单位为rad/m
11、；而右边通常所用的单位为()m。 因此，在实际设计中，若不等式两边均采用radm，则必须在不等式右边乘以（180）；若两边均采用()m，则必须在左边乘以（180）。,钢制空心圆轴的外直径D100 mm，内直径d50 mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1.5，材料的剪切弹性模量G80.4 GPa。,例 题,解：根据刚度设计准则，有,1. 求该轴所能承受的最大扭矩； 2. 确定此时轴横截面上的最大剪应力。,由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为,空心圆轴截面的极惯性矩,轴所能承受的最大扭矩为,9.688103 N.m9.688 kN.m, 矩形截面杆扭转剪应力, 非圆截面杆的扭转,
12、圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设 的基础上。 对于非圆截面杆，受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。,因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。,非圆截面杆在扭转时有两种情形:,1、自由扭转或纯扭转 在扭转过程中，杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力，而没有正应力。,2、约束扭转,扭转时,由于杆的端部支座的约束，使杆件截面翘曲受到一定限制，而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同，将在横截面上产生附加的正应力。,对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很
13、小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是不能忽略的。,重点讨论矩形截面杆扭转, 矩形截面杆的扭转,1、在截面周边各点处的剪应力均与周边平行，且组 成一个与扭转方向相同的环流；2、截面的四个角上剪应力均为零；3、最大剪应力发生在长边中点处；4、短边中点处的剪应力为该边上各点处剪应力中的 最大值。,表,4.1,矩形截面杆扭转时的系数,h/b,1.0,1.2,1.5,2.0,2.5,3.0,4.0,6.0,8.0,10.0,0.208,0.219,0.231,0.246,0.258,0.267,0.282,0.299,0.307,0.313,0.333,当h/b10时，截面为狭长矩
14、形：,=1/3,沿长边各点的剪应力基本相等，仅在角点处迅速变为零；剪应力沿厚度方向近似线性分布。,例 题：横截面为h=100mm、b=45mm的矩形截面杆，受扭矩T=3KNm作用，试求横截面上长边中点处和短边中点处的扭转剪应力。如采用横截面面积相等的圆截面杆，试比较两者的最大剪应力。,解：,（1）矩形截面：,h/b=2.0时，=0.246, =0.796h/b=2.5时， =0.258, =0.767,线性插入法,h/b=2.0,=0.246,2.5,0.258,2.22,=?,h/b=2.22时,长边中点处的剪应力为横截面上的最大剪应力,短边中点处的剪应力为该边上各点处剪应力的最大值,（2）
15、圆形截面：,圆形截面面积A,矩形截面面积A=10045=4500,d=75.7mm,在面积相等的情况下，矩形截面的最大剪应力比圆形截面的最大剪应力大。矩形截面愈狭长，其结果愈显悬殊。, 总结与讨论,& 圆轴强度与刚度设计的一般过程, 根据轴传递的功率可确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。, 应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的外加扭矩时，需画扭矩图。, 根据扭矩图，确定危险面。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。, 计算危险截面上的最大剪应力或单位长度上相对扭转角。, 根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核，设计轴的直径以及确定许用载荷。,& 圆轴扭转剪应力计算公式的应用条件, 必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面, 材料必须满足胡克定律，处在线弹性范围内，否则：, 上述条件满足才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结论，才会得到剪应力公式：,
