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1、5.4 频率域稳定判据,1. 数学基础2&3. 稳定判据和对数频率稳定判据4. 条件稳定,1. 数学基础,（1）复变函数的映射规律（2）幅角原理（3）幅角原理的等价表述（4）函数的平移映射（5）运用Nyquist 围线后的幅角原理,（2）幅角原理,设 s 平面上封闭曲线 s 包围复变函数 F(s) 的 Z 个零点和 P 个极点，那末当变量 s 沿s 顺时针绕一周时，它的映象绕F(s)平面原点 的周数 R 满足以下关系式,说明R为正时，表示“逆时针”；为负，表示“顺时针”。,（3）Nyquist 稳定判据的基本原理,奈氏路径：设有封闭曲线C，它不经过G(s)H (s)的极点，且顺时针包围了整个s
2、右半平面，称C为奈氏路径，其组成为：1）正虚轴：sj:02）半径为无限大的右半圆sRej:-/2 .3）负虚轴： sj:- 0 在F(s)平面上绘制与C相对应的C。如果在右半平面存在F(s)的Z个零点和P个极点，当s沿C曲线顺时针移动一周，则C在F(s)平面上将以顺时针防线围绕原点旋转N圈。 可利用幅角定理判断系统稳定性，并得出频率法的系统稳定性的图解判据Nyquist稳定判据,考虑,函数形式后的幅角原理表述：,Nyquist 稳定判据的图示,Gs 的选择考虑：使它包围整个 s 右半平面。,Z : (s)闭环传递函数在 s 右半平面上的极点数。,P ：开环 G(s)H(s) 在 s 右半平面上
3、的极点数。,R ：Nyquist围线逆绕 GH(s) 平面 （- 1 , 0）的圈数。,R：逆绕 F(s) 平面原点的圈数。,Z : Gs 所包的F(s) 在 s 平面上的零点数。,P ：Gs 所包的F(s) 在 s 平面上的极点数。,简单平移；围线形状不变；旋转方向不变。,R：逆绕 GH(s) 平面 （- 1 , 0）的圈数。,P：Gs 所包的 G(s)H(s) 开环 在 s 平面上的极点数。,（4）函数 G(s)H(s)=F(s)-1 所实现的映射,Z: (s)闭环传递函数在 s 右半平面上的极点数。,R：顺绕 GH(s) 平面 （- 1 , 0）的圈数。,P ：Gs 所包的 G(s)H(
4、s) 开环 在 s 平面上的极点数。,Z: Gs 所包的(s)闭环函数在 s 平面上极点数。,考虑,函数形式后的幅角原理表述：,（5）运用Nyquist Contours后的幅角原理,Gs 的选择考虑：使它包围整个 s 右半平面。,Z : (s)闭环函数在 s 右半平面上的极点数。,P ：开环 G(s)H(s) 在 s 右半平面上的极点数。,R ：Nyquist围线顺绕 GH(s) 平面 （- 1 , 0）的圈数。,（1） S 平面上封闭路径Gs 的选择（2） S 平面上封闭路径Gs 在G(s)H(s) 平面上的映象（3） Nyquist Criterion（4） Nyquist Criter
5、ion 的几种等价表述,2.稳定判据和对数频率稳定判据,（1）S 平面上封闭路径Gs 的选择,对封闭路径Gs 的要求：能包含整个S右半平面。 也就是说，假如开环传递函数G(s)H(s) 具有“正实部极点”，那末这些极点一定被封闭路径Gs 所包围。,图 1,图2,若G(s)H(s) 在虚轴上没有极点，则选择图 1 所示的路径。它由两部分组成：整条虚轴；半径无穷大的右半园。,若G(s)H(s) 在虚轴上有极点，则选择图 2 所示的路径。它由三部分组成： 包围虚轴上极点、半径无穷小的、右半圆；扣除极点后的虚轴；半径无穷大的右半园。END,（2）S 平面上封闭路径Gs 在G(s)H(s) 平面上的映象
6、,S 平面上虚轴， jw ：w 从 - + 。它在G(s)H(s) 平面上的映象就是开环幅相频率曲线。S 平面上无穷大半径的右半圆，,它在G(s)H(s) 平面上的映象:为 G(s)H(s) 平面坐标原点（如图），当G(s)H(s)的 nm 时 。为G(s)H(s) 平面实轴上的 K* （开环根轨迹增益）点，当G(s)H(s)的 n=m 时 。,。,S 平面上虚轴极点的邻域 e 右半小圆：,A. 当pi = 0 时，参见下图。,B. pi 非0 时，本课程不研究。,(B)含有等幅振荡环节：,R：逆绕 GH 平面（- 1 , j0）的圈数。,Z: Gs 所包的(s) 闭环函数在 s 右半平面上极
7、点数。,P ：Gs 所包的G(s)H(s)开环函数 在 s 右半平面上的极点数。,闭环系统 F(s) 稳定的充分必要条件是：Nyquist曲线不穿过 （-1, j0 ）点，且顺时针包围（-1, j0 ）点的圈数 R等于开环传递函数 G(s)H(s) 的正实部极点数 P 。,（3）Nyquist Criterion,根据半闭合曲线判别系统稳定性的Nyquist稳定判据,Z : Gs 所包的(s) 闭环函数在 s 右半平面上极点数。,P ：Gs 所包的G(s)H(s)开环函数 在 s 右半平面上的极点数。,R ： Nyquist曲线逆绕 GH 平面 （- 1 , j0）的圈数。,N ：半Nyqui
8、st曲线逆绕 GH 平面 （- 1 ,j 0）的圈数。,R=-2 R=0 R=0 R=-1 R=-3,Z : Gs 所包的(s) 闭环函数在 s 右半平面上极点数。,P ：Gs 所包的G(s)H(s)开环函数 在 s 右半平面上的极点数。,R ：半Nyquist曲线逆绕 GH 平面 （- 1 ,j 0）的圈数。,N + ：半Nyquist曲线自上向下穿越 GH 平面 (-, - 1)区间的次数。,N - ：半Nyquist曲线自下向上穿越 GH 平面 （-, - 1 ）区间的次数。,根据正、负穿越情况判别系统稳定性的Nyquist稳定判据,N + ：半Nyquist曲线自上向下穿越 GH 平面
9、 （-, - 1 ）区间的次数。,N - ：半Nyquist曲线自下向上穿越 GH 平面 （-, - 1 ）区间的次数。,N + ：对数频率相频曲线自下向上穿越 “w w c 段的 180度线”的次数。,N - ：半Nyquist曲线“以相角减小方式”穿越 GH 平面 （-, - 1 ）区间的次数。,N - ：对数频率相频曲线自上向下穿越 “w w c 段的 180度线”的次数。,N + ：半Nyquist曲线“以相角增大方式”穿越 GH 平面 （-, - 1 ）区间的次数。,【例5-4-3】某单位反馈系统：其开环传递函数的“正实部极点数” NP = 0 , 系统类型号 n =1 。已知在 增
10、益 K = 10 时，有如图5-4-3所示的Nyquist图。试确定系统闭环稳定时K的取值范围。,（1）把开环传递函数表达为,（2）据题给条件可知：Nyquist曲线与负虚轴交点处有以下关系,（3）根据交点坐标和（-1，0）之间关系求出各临界K值。 因为增益K的变化，只影响幅相频率曲线的“幅值”。因此可写出,4. 条件稳定系统,具有下图曲线的开环传递函数如果没有“正实部”极点，那末相应闭环系统是稳定的，因为曲线“正、负”穿越“红线”的次数的差为0。但当增益增大或减小到某范围时，都可能是导致系统不稳定。,所谓条件稳定是指：只有当开环传递函数的某个（或某些）参数在一定范围内取值时，闭环系统所具有的
11、稳定。已讨论过的“系统稳定的参数取值范围”研究方法：Routh表法；根轨迹法。闭环系统稳定范围也可以通过“Nyquist Plot”或“Bode Diagram”来讨论。,【例】某单位反馈系统：其开环传递函数的“正实部极点数” P = 0 , 系统类型号 n =1 。已知在 增益 K = 10 时，有如图5-4-3所示的Nyquist图。试确定系统闭环稳定时K的取值范围。,（1）把开环传递函数表达为,（2）据题给条件可知：Nyquist曲线与负虚轴交点处有以下关系,（3）根据交点坐标和（-1，0）之间关系求出各临界K值。 因为增益K的变化，只影响幅相频率曲线的“幅值”。因此可写出,（4）据算得的临界K值和题给幅相频率曲线，可得到结论：,说明 在计算频率曲线包围(-1, 0) 圈数或穿越（-, - 1 ）轴线段次数时，一定要注意频率曲线的完整性。比如，本例只有补画了那段“蓝线”后，才是完整的半Nyquist围线。当增益等于临界K值时，闭环系统将包含纯虚极点，使得阶跃响应中包含等幅振荡分量。在经典控制论中也认为是不稳定的。END,
