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1、解析函数的孤立奇点与留数,留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。,一.孤立奇点及其分类:,1.定义 若f(z)在z0不解析, 但在z0的某一去心邻域0|zz0| 内解析, 则称z0为f(z)的孤立奇点.,由定义可知，若z0为f(z)的孤立奇点，则意味着在z0的某个领域里只有z0一个奇点。并非所有的奇点都孤立，例如：,1).若无负幂项, 则称z0为f(z)的可去奇点；,2).若只有有限个负幂项, 则称z0为f(z)的极点；,若c-m 0, 而cn = 0 (n-m), 则称z0为f(z)的m级极点,2.分类,由Laurent级数中负幂项的个数来分类,3).
2、若有无穷多个负幂项, 则称z0为f(z)的本性奇点。,判别：(1)如果z0为f(z)的可去奇点,(2) z0为f(z)的极点,(3) z0为f(z) 的本性奇点：,二. 零点与极点的关系,(1)定义: 若解析函数f(z)能表示成 f(z) = (zz0)m(z),其中(z0)0, 且(z)在z0处解析, m为某一正整数, 则称z0为f(z)的m级零点.,(2)性质,(a)如果f(z)在z0处解析, 那么z0为f(z)的m级零点,f (n)(z0) = 0 (n = 0, 1, 2, , m1), f (m)(z0) 0.,例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：,三. 函数在无穷远点的性态,(1
3、)分类:,则称为f(z)的孤立奇点.,令t = 1/z, 则t = 0是(t) = f(1/t)的孤立奇点.,我们规定: 若t = 0是(t) = f(1/t)的可去奇点,(m级极点, 本性奇点), 则称z=是f(z),的可去奇点(m级极点, 本性奇点).,若f(z)在z = 的去心邻域R|z|+内解析,(2)判定,若f(z)在R|z|+内解析, 则在此圆环内有,(*),关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。,例2. z = 是,的可去奇点.,z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z
4、2 3z + 2的二级极点.,四 .留数,无穷远点处的留数,留数计算法：,2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式,的系数 中可能有一个或几个为零而已，这不影响证明结果。,例3 求下列函数的奇点并计算留数：,例如：,0 |z1| +,所以z = 1是f(z)的本性奇点, 且Resf(z), 1 = c-1 = 0.,思考：,可去奇点留数是否必为零？,留数为零的(有限远奇点)是否一定是可去奇点？,故Resf(z), = 10.,五.留数定理,设函数f(z)在区域D内除去有限个孤立奇点z1, z2, , zn外处处解析, L是D内包围诸奇点的任意一条逆
5、时针简单闭曲线, 则,由复合闭路定理,可得,留数定理1,利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分，转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数。,如果函数f(z)在扩充复平面内除去有限个孤立奇点外处处解析, 那么f(z)在所有奇点(包括点)的留数的总和等于零.,留数定理2,利用留数计算复积分,六 . 用留数计算某些实积分,其中zk (k=1,2,n)为f(z)在|z|1内的孤立奇点.,例6. 计算,其中a 0且a 1.,注: 若R(cosx, sinx)为x的偶函数, 则,仍然可令z = eix, 将,化为单位圆周上的积分.,例7. 应用留数计算实积分,例8. 计算积分,例13. 计算积分,(m 0).,例14. 计算积分,
