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1、4 平摆线和渐开线,汉滨高级中学,1、摆线的定义,思考：,如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？,同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。,我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。,上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？,摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。,2、摆线的参数方程,根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。,设圆的半径为r。,所以，摆线的参数方程为：,3、摆
2、线的参数方程,4、渐开线的定义,探究：,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？,动点（笔尖）满足什么几何条件？,我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，,相应的定圆叫做渐开线的基圆。,E,C,D,5 渐开线的参数方程:,设圆的半径为r，则动点M的初始位置的坐标为（r,0),则动点M的坐标为（x,y), 是以OA为始边、OB为终边的正角令 为参数，此时AB的弧长为r .,做MEOx,BCOx，垂足分别为E,C;,作MDBC，垂足为D，则MBD=AOB= ，由此可得：,O,这就是圆的渐开线的参数方程。,6、渐开线的参数方程,渐开线的应用：,由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。,设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。,在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。,小结：1、圆的渐开线，渐开线的参数方程2、平摆线、摆线的参数方程,
