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1、5.4 整函数与亚纯函数,1、整函数,2、亚纯函数,在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.,(5.14),设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=为孤立奇点,且可设,于是显然有,1、整函数,定理5.10 若f(z)为一整函数,则(1)z=为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c. (2)z=为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多项式,(3)z=为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这样的f(z)为超越整函数).,定义5.6 在z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数.,2. 亚纯函数,定理5.11 一函数f(z
2、)为有理函数的充要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点外没有其它类型的奇点.,(2)但mn时,z=必为f(z)的可去奇点,只要置,其中 与 分别为z的m次多项式,且彼此互质.则 (1)当mn时,z=必为f(z)的m-n级极点;,证 必要性 设有理函数,就是f(z)的解析点;,(3) 的零点必为f(z)的极点.,充分性 若f(z)在扩充z平面上除极点外没有其它类型的奇点,则这些极点的个数只能是有限个.因若不然,这些极点在 扩充z平面上的,聚点就是f(z)的非孤立奇点.与假设0矛盾. 今命f(z)在z平面上的极点为,其级数分别为 则函数,至多以z=为极点,而在z平面上解析.故g(z)必为一多项式(或常数).即必f(z)为有理函数.,由此可见,每一有理函数都是亚纯函数.,定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚纯函数,
