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1、1,第一节 定积分的元素法,第二节 平面图形的面积,内容提要：,重点：,难点：,定积分的元素法,平面图形的面积的求法.,定积分的元素法,平面图形的面积的求法.,定积分的元素法,第六章 定积分的应用,2,（2）近似计算：,（4）取极限：,（3）求和：,设第 i 个小曲边梯形的面积为,则：,第一节 定积分的元素法,3,（2）A对于区间a,b具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于 所有小曲边梯形面积的和。,在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质：,（1）A是一个与变量x的区间a,b有关的量；,即：,4,（3）写出A的积分表达式，即：,求A的积分表达式的步骤可简化如下：,（1）确定积分变量x及积分区间
2、a，b；,（2）在a,b上任取小区间,即：,叫做面积元素,记为,5,具体步骤是：,那么这个量就可以用积分来表示。,（叫做积分元素）,（3）写出 U 的积分表达式，即：,（1）根据具体问题，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定 它的变化区间a,b；,（2）在a,b上任取小区间 x, x+ dx，求出 U 在这个小区间上的近似表达式,这种方法叫做 定积分的元素法。,一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：,（1）U是与一个变量x的变化区间a，b有关的量；,（2）U对于区间a，b具有可加性；,6,一、直角坐标情形,这两条抛物线所围成的图形如图所示,取x为积分变量，积分区间为,面积元素
3、为,故所求面积为,第二节平面图形的面积,解,解方程组,，,7,注：当然所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即,8,注：当然这个题也可以用元素法来解。,这个图形如右图所示，,以y为积分变量，所求的面积为,解,9,例3 求椭圆,所围成的图形的面积,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法，令,则：,设椭圆在第一象限部分的面积为,解,则椭圆的面积为,10,一般地，当曲边梯形的曲边:,则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知， 曲边梯形的面积为,连续,11,二、极坐标情形,所以曲边扇形的面积为：,面积元素为：,圆扇形面积公式为,12,例4 计算阿基米德螺线,上相应于 从0 变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积。,在此区间上任取小区间 ，,于是所求面积为,面积元素为,解,积分变量为,积分区间为,13,因此所求图形的面积 A 是极轴以上部分图形面积 的两倍，,注：当然这个题可以用定积分的元素法来解。,解,如图所示，这个图形关于极轴对称,即,
