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1、,存在定理的概念,广义积分,定积分,定积分的性质,定积分的计算法,牛顿-莱布尼茨公式,第五章 定积分及其应用,定积分的应用,(1)定积分的定义,定义,1.定积分的概念,记为,积分上限,积分下限,积分和,(1). 定积分表示一个数，它只与被积函数及积 分区间有关，而与积分变量的记法无关，即,注意：,(3)可积的必要条件：,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,(2)定积分的几何意义,性质1,性质2,性质3 （区间可加性）,2.定积分的性质,性质5,推论（比较定理或有序性）：,（1）,（2）,性质4,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6:,估值性质,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,
2、解,令,于是,例1,解,例3.证明：,证明：令,则,令,得驻点为：,因为,所以,从而,即,变上限的定积分函数,3.变上限的定积分函数及其导数,变上限的定积分函数的性质,说明：变上限的定积分函数对积分上限x的一阶导数等于将被积函数表达式中的变量记号t改写为积分上限x所得到的函数，而与积分下限a无关。,补充,解根据定理 ，得,例 2,求 F (x).,解根据定理 ，得,例 3,求 (x).,解, (x),例4 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证,证,令,由零点存在定理知，在（0，1）之间至少存在一点,定理 3（微积分基本公式）,牛顿莱布尼茨公式,4.牛顿莱布尼茨公式,（1）直接积分
3、法,5.定积分的计算,（2）凑微分法（第一类换元法）,（3）变量替换法（第二类换元法）,（4）分部积分法,则有,定积分换元公式,（1）定积分的换元法,定积分的分部积分公式,（2）定积分的分部积分法,设,有连续的导数,则,定理2,由不定积分的分部积分法,及N-L公式.,类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,三角函数的定积分公式,周期函数的定积分公式,（3）重要公式,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,且有,则,则,例,例,三角函数的定积分公式,周期函数的定积分公式,这个公式就是说：,周期函数在任何长为一周期的,区间上的定积分都相等.,例1 设 ,
4、 求 .,解,例2 求,解,例3 计算,解,例 4计算下列定积分.,解,例5,解,解,令,原式,例6：,例7 计算,解,令,则,例8 计算,解,故,思考：,例11,解,法一,法二,即,6. 广义积分,（1）无穷限的广义积分 （2）无界函数的广义积分,（1）无穷限的广义积分,例1 计算广义积分,解,例2 计算广义积分,解,证,（2）无界函数的广义积分,例4 计算广义积分,解,证,7. 定积分的应用,1、平面图形的面积,2、旋转体的体积,3、平面曲线的弧长,1 平面图形的面积,(1) 直角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,(2) 参数方程所表示的函数,2、 旋转体的体积,绕固定轴旋转所成旋转体的体积,选 为积分变量,解: 由,得交点,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,例4：求由,所围平面,解：,计算由椭圆,所围图形绕 x 轴,旋转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),例5,方法2 利用椭圆参数方程,则,解：,3、 平面曲线的弧长,弧长,(1) 曲线弧为,弧长,(2) 曲线弧为,(3) 曲线弧为,弧长,解,所求弧长为,
