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1、可积系研究和组合计数方法,从KdV方程族的无穷多个守恒律说起,Integrable System and Enumerative Combinatorics,1,谢谢观赏,2019-8-26,十分感谢朱佐农教授给了我一个很难得的机会向在座各位老师和同学学习交流。 胡星标研究员最近在讲课中提到可积系研究中的一些有趣的进展，比如正交多项式，代数编码（BCH Goppa decoding algorithm），组合数学等领域和可积系的交叉研究。对此我深感兴趣，特别是组合计数方法在可积系研究中的应用，和我在这两个领域里的工作相关。下面是我阅读有关文献的一个读书报告。因为所读有限，遗漏之处请予指正。我谨
2、在此感谢胡星标提供的文献资料。,2,谢谢观赏,2019-8-26,如所周知，可积系研究涉及到数学物理许多方向：微分方程，微分几何，代数几何，李代数，复分析， 群论，力学，规范场理论等等。可积系出现在众多领域这一事实表明可积系研究的价值和它的潜在的美。数学理论中的内在美一直是推动其进展的强大动力。,3,谢谢观赏,2019-8-26,何谓可积系?为何要研究可积系?,何谓可积系?这是个大题目,可以讲上几天.我们只能笼统的讲,所谓可积系是指一组微分或差分方程,它具有足够多的互相对合的初次积分.对于经典的可积系曹策问教授有精湛的综述文曹策问: 经典可积系统, 孤立子理论与应用，谷超豪等著 浙江科技出版社
3、 (1990), pp.176-215对于无穷维连续系统言,可以指他们能写成所谓的广义Hamilton形式并有无穷多个彼此对合的守恒量。这里J是所谓的辛算子。下面讨论到的KdV方程就是一例。为何研究可积系?原因很多,最吸引人的是他们具有一系列有趣的性质;出现在许多数学物理领域中;其研究结果有应用前景,其研究方法有理论价值.,4,谢谢观赏,2019-8-26,Bernoulli数和Bernoulli 多项式和KdV方程的无穷多个守恒密度之积分的关系；Bell 多项式，di Bruno公式和KdV方程族的明显表达式及Hirota的双线性方法的关系；计数反演公式和可积系理论中达布变换中的应用.一些可
4、供进一步研究的问题。,报告摘要,5,谢谢观赏,2019-8-26,Bernoulli 数出现在很多数学领域。比如一些初等函数如tan(x)的Tylor 展开式.,Bernoulli 数和Bernoulli多项式有很多有趣的公式,其详及下面将提到的Bell多项式 di Bruno公式，生成函数，反演公式等可见我的编著 屠规彰 组合计数方法及其应用，科学出版社，1981。,6,谢谢观赏,2019-8-26,自然数数列的幂次和及Faulhaber多项式Bernoulli数和Bernoulli多项式可以用来写出自然数数列的幂次和,Bernoulli数还可以用来写出自然数数列倒数的偶次幂的和这和数论里有
5、名的Riemann采他函数有关, 这里就不提了. 有趣的是自然数数列的奇幂次和都可以用自然数数列的和表示出来:,称作Faulhaber多项式,7,谢谢观赏,2019-8-26,KdV方程的孤子解和无穷多个守恒量,或,是可积系理论中最著名的方程.可以说可积系理论中所有新方法,新思想都是从KdV方程入手发展起来的. 该方程的一个显式解是,这一解的图形如一个单峰波形, 称作单孤子解. KdV方程还有双孤子及多孤子解. 双孤子解代表的两个波峰对向运行时,两个峰重叠后会复原,继续各自向前,犹如两个粒子.此乃孤子名字的由来. KdV方程有许多美妙的性质. 其一是有无穷多个守恒量:,这里我们假设u(x,t)
6、在x等于正负无穷时迅速递减至零。,8,谢谢观赏,2019-8-26,KdV方程守恒量和Faulhaber多项式,上面的 成为守恒量是因为 是所谓的守恒密度,也即存在,使得, 事实上我们有,2001年Fairlie 和 Veselov发现了KdV方程的守恒量和Faulhaber 多项式之间有一个出人意料的关系 Bernoulli polynomials and solitons, Physica D 152153 (2001) 4750,如果上面的守恒量I被表示成Bernoulli数的一些线性组合,并不出人意料;但不多不少恰好等于一个Faulhaber多项式的值实在让人惊讶.,2005年 Gro
7、sset 和 Veselov受上述结果的启发在文 Bernoulli Numbers and Solitons，J. Nonlinear Math. Phys. V12 (2005), 469474 中证明了Bernoulli数和KdV方程单孤子解的关系式,其证明很长。2007年Boyadzhiev利用Fourier变换和Parseval定理给出了上述结果的一个稍为简单些的证明 A note on Bernoulli polynomials and solitons,J. Nonlinear Math. Phys. V14 (2007), 174178,9,谢谢观赏,2019-8-26,KdV
8、方程的无穷多个守恒律的推导,Fairlie 和 Veselov从当Schrdinger算,具有离散谱,这一结果导出上面提到的关系式的. 我觉得他们的证明,并不令人信服. 在他们的文中并没有提到各个守恒量的递推关系，更没有守恒量的明显表达式。事实上当Iu和Ju是KdV方程的守恒量时，其线性组合也是同一方程的守恒量。所以我们需要弄清楚究竟什么样的守恒量才引出Faulhaber多项式？ 下面我们来回顾一下导出KdV方程无穷多个守恒密度的两种算法。,10,谢谢观赏,2019-8-26,Miura方法,假设u(x,t)是KdV方程的解,令,可得,由此可见若w满足方程,则u满足KdV方程. 将w按 展开,
9、则各个 均为守恒密度,这是一个非线性的递推式,它包含w的二次项. 其奇数序号的项都是全导数, 所以都是平凡的守恒密度.只有偶数序号的项才给出非平凡的守恒密度. 这样为了计算下一个守恒密度需叠代两次.,11,谢谢观赏,2019-8-26,KdV方程族和递推式,KdV方程实际上是所谓的KdV方程族中的一员。方程族成员间存在着一个微分递推关系。下面我们使用所谓的零曲率方程方法来导出KdV方程的无穷多个守恒密度,并说明由这无穷多个守恒密度之导数便可得到KdV方程族. 我们从经典的李代数 出发。 乃由复数域 上所有迹为0的所有矩阵组成。它的基是,对此我们有 然后我们考虑相应的所谓loop 李代数,有关l
10、oop代数在可积系研究中的应用的更详细的讨论见我的综述文：屠规彰 Kac-Moody代数与可积系，孤立子理论与应用，谷超豪等著 浙江科技出版社 (1990), pp.268-342,12,谢谢观赏,2019-8-26,Step1:求解驻定方程,将U,V的表达式代入驻定方程,易得,或即,经过简单的推导即可得,由此可得,算子 在下面的推演中将起到重要作用. 它的形式共轭乃是所谓的遗传对称 (hereditary symmetry),在可积系的双Hamilton理论中有很多讨论.,13,谢谢观赏,2019-8-26,Step2. KdV方程族的导出,我们对上面驻定方程的解作进一步处理,代入上面的驻定
11、方程,上式左边与 相关,而右边与,因此两边都只与,有关.于是,比较 我们需要消去和h相关的一项。为此我们引入,易证明零曲率方程族,引出KdV方程族,当n=2时便是KdV方程,14,谢谢观赏,2019-8-26,Step3. KdV方程族的Hamilton结构,下面我们要论证上面导出的 乃是KdV方程族的守恒密度,也是这一方程族的彼此对合的Hamilton量. 为此我们需要应用一个很有用的工具:迹恒等式,Gui-zhang Tu: The trace identity, a powerful tool for constructing the Hamiltonian structure of i
12、ntegrable systems. J.Math.Phys., v.30 (1989), pp.330-338,上述等式乃对多位势 建立的，并已推广到离散可积系和高维1+2的情形。很多作者利用这一等式成功地找到了一系列新的可积系的Hamilton 结构。在今之情形,我们有,于是迹恒等式给出,比较等式两边 的系数即得,令n=2 可定出常数,于是,这样KdV方程族,便可写成Hamilton形式:,15,谢谢观赏,2019-8-26,容易证明上面得到的Hamilton量彼此对合：,其中, 表示Poisson刮号:,从上面的推导可以得出结论, 由递推式 算得的列 乃是KdV方程族的无穷多个守恒密度.
13、 而且其导数 给出KdV方程族 右边的表示式.,为了更好地了解Faulhaber多项式和KdV方程的关系,我们来推导 或 的一般表达式. 换言之下面的任务就是求解下面的微分差分方程的明显表达式.,或在方程两边施以算子,16,谢谢观赏,2019-8-26,KdV方程族守恒密度的一般表示式,上面我们推导出KdV方程实际上是KdV方程族中的一员。它们共有一组无穷多个守恒密度。若将这组守恒密度规范化，将其最高阶导数项的系数取作1，则KdV方程族可以写成,2000年Avramidi 和 Rainer:在文 A new explicit expression for the Korteweg-De Vri
14、es hierarchy, Math. Nachr. (219 (2000) 4564), 中给出了一个G的一个很复杂的所谓一般表达式,17,谢谢观赏,2019-8-26,Avramidi 和 Rainer还考察了微分多项式 G 的构造。他们提到G中次数最高而阶数最低的项为,而次数最低阶数最高的项为,文中还观察到G中包含 u的低阶项与Bernoulli数的关系,守恒密度Gu的构造,其实早在1987年Rosenhouse 和 Katriel就得过KdV方程族的表达式The Kortewegde Vries hierarchy of isospectral transformations: Tow
15、ards a general explicit expression, J. Math. Phys. 28, 1344 (1987)他们得到的表达式也是非常的复杂。为了导出KdV方程族的表达式也许从Hirota的双线性方法入手会更有效。,18,谢谢观赏,2019-8-26,KdV方程族守恒密度的l另一表示式,Polterovich：From Agmon-Kannai expansion to Korteweg-de Vries hierarchy (1999) part of Ph.D thesis,上面提到的三种表达式都十分的复杂。为了导出KdV方程族的一个简洁些的表达式，也许从Hirota
16、的双线性方法入手会更有效。,19,谢谢观赏,2019-8-26,Hirota导数和他的双线性方法,Hirata发现很多有孤子解的偏微分方程可以经由应变量的代换化为所谓的双线性方程。由这些双线性方程入手他成功地找到了N-孤子解。有关他的方法的详细陈述可见广田良吾：孤子理论中的直接方法。王红艳，李春霞，赵俊霄，虞国富译，胡星标校。清华大学出版社 2008,Hirata导数定义为,对于KdV方程 引入变换 便可将之写成Hirata的双线性行式。,写成通常行式便是,20,谢谢观赏,2019-8-26,复合函数高阶导数的 di Bruno 公式,如所周知，对复合函数 我们有下面的求导公式,这一公式看似简
17、单,实际上用它来计算复合函数的高阶导数却很繁杂.次之di Bruno公式给出了复合函数高阶导数的一般表达式.,上述公式可以推广到 情形.特别当 r = 2 时有,其中和式遍及所有的分划,21,谢谢观赏,2019-8-26,Hirota导数的一个表达式,应用上面的di Bruno 公式我在1993年得到Hirata 导数的一个表达式,其中和式遍及所有的分划,Gui-zhang Tu: A combinatorial formula relating to Hirotas bilinear equations, Discrete Math. v.123 (1993) pp.121-129,易知,特
18、别有,例:因6=2+4=2+2+2,所以我们有,此式与 Sawada-Kotera方程相关,22,谢谢观赏,2019-8-26,Bell多项式,将前面的di Bruno 公式应用于复合函数 可得,右边的多项式称为Bell多项式。,Gilson, Lambert, Nimmo 和 Willox在文: On the Combinatorics of the Hirota D-Operators,Proc. R. Soc. Lond. A 1996 452, 223-234中讨论了Hirata导数和Bell多项式的关系。限于时间这里就不多言了。,23,谢谢观赏,2019-8-26,反演公式在可积系研
19、究中的应用,重排问题. 有n个人坐在n个不同的座位上, 今重排各人座位，每人不能回到原来的座位。问有几种排法1？ 当n=4时共有9种排法： 2143 2341 2413 3142 3412 3421 4123 4312 4321而如 4132， 因数字3在3号座，不合条件。 今以 记问题的解。则容易推出,为恰有r个,的排列,之个数. 既然全部排列的个数为n! 可见,应用下面的二项式反演公式便得,二项式反演公式,何谓反演公式？我们举个例子说明之。,24,谢谢观赏,2019-8-26,微分算子的易位变换,Gui-zhang Tu : An inversion formula and its app
20、lication to soliton theory, Advances Appl. Math. v.14 (1993) pp.416-429,我在1993年证明了这样一个定理。假设T和A各为1 阶和 n 阶微分算子,则存在唯一的 n 阶算子,使得,是个 0 阶算子, 也即,定理的证明是构造性的,也即给出了算子 中各系数 的表达式.,文中证明了 A 的系数 和 的系数 恰好满足一个组合反演公式 进而我们证明了若,则,这一结果可以用来的到微分方程解的 Darboux变换. 运用 Daboux 变换我们可以把,非线性偏微分方程的一个平凡解, 比如 u=0, 变成一个非平凡解.,25,谢谢观赏,20
21、19-8-26,Darboux 变换,Darboux 变换是可积系理论中一种生成解的工具. 其详可见专著,Gu Chaohao, Hu Hesheng, Zhou Zixiang Darboux transformation in integrable systems (2010) Springer,可积系除去前面提到的零曲率方程表示外,还有一种称为Lax对的表示.,若果我们可以选择 L 和 A 使得 A, L 的阶数为 n 1, 则上述Lax 对便构成 的一组方程。我们证明了,26,谢谢观赏,2019-8-26,Boussinesq方程的Darboux变换,27,谢谢观赏,2019-8-26
22、,P. di Francesco Integrable combinatoricsPlenary talk given at the International Congress of Mathematical Physics, Aalborg, Denmark, August 10, 2012.)Abstract. We review various combinatorial problems with underlying classical or quantumintegrable structures.P. van Moerbeke Combinatorics and integra
23、ble GeometryThis lecture illustrates application of integrable systems to unitary matrix integrals and ultimately to combinatorics and probability theory.P. Deift Integrable systems and combinatorial TheoryNotices of AMS V47, No. 6 (2000) pp.631-640,28,谢谢观赏,2019-8-26,I. Goulden and D. Jackson A fami
24、ly of combinatorial solutions to the KP hierarchyABSTRACT. We give a new explicit solution to the KP hierarchy. This is written in terms of Schur symmetric functions, and uses the known characterization of solutions to the KP hierarchy in terms of solutions to the Plucker relations. Our solution to
25、the Plucker relations involves a countable set of variables for content, a combinatorial parameter for partitions (which themselves arise because they index the Schur functions). By specializing the content variables, we obtain a number of solutions to the KP hierarchy, including Okounkovs result fo
26、r the double Hurwitz series. Another specialization gives the m-hypermap series, which contains the double Hurwitz series as the leading coefficient. In turn this specializes to the series for hypermaps and maps in an orientable surface. For the latter series, we use one of the KP equations to obtain a remarkably simple recurrence for triangulations in a surface of given genus, with a given number of faces.,29,谢谢观赏,2019-8-26,30,谢谢观赏,2019-8-26,谢谢Thanks,31,谢谢观赏,2019-8-26,
