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1、基础知识一、双曲线的定义第一定义： 叫做双曲线第二定义： 叫做双曲线,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹,平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离的比是常数(e1)的动点C的轨迹,二、双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示),F1(c,0)，F2(c,0),F1(0，c)，F2(0，c),|F1F2|2c,c2a2b2,关于x轴、y轴和原点对称,(a,0)，(a,0),(0，a)，(0，a),实轴长2a，虚轴长2b,ex1a,ex1a,(ex1a),(ex1a),ey1a,ey1a,(ey1a),(ey1a),归纳拓展：(1)求双
2、曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设双曲线的方程为Ax2By21(AB0)(2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两端点构成的三角形)研究它们之间的相互关系,易错知识一、忽视焦点的位置产生的混淆1若双曲线的渐近线方程是y焦距为10，则双曲线方程为_,二、性质应用错误2已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为()答案：D,解题思路：正确应用和区分椭圆、双曲线中a、b、c间的关系，求出的比值从而求出双曲线的渐近线方程yx.故选
3、D.失分警示：1.将椭圆中a2与b2的顺序用反认为a25n2，b23m2，再由条件找到m、n的关系，而误选B项2这里不用具体求出m、n的值只要能找到m、n之间的倍数关系即可解决问题,三、忽视判别式产生混淆3已知双曲线C：2x2y22与点P(1,1)，则以P为中点的弦是否存在？_.答案：不存在,回归教材解析：若方程表示双曲线，则(2m)(m3)0(m2)(m3)0m2或m3.故选B.答案：B,2(2009天津，4)设双曲线的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为() 解析：由题意得b1，c，a，双曲线的渐近线方程为y即y故选C.答案：C,3(教材改编题)已知双曲线的离心率e2，则该双曲线两
4、准线间的距离为()于是双曲线方程为故两准线间的距离为 答案：C,4已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为()解析：c4，e2，b2c2a2，a2，b212.又双曲线焦点在x轴上，双曲线方程为故选A.答案：A,5双曲线的焦点到渐近线的距离等于_解析：渐近线方程为bxay0. 取焦点(c,0)，则答案：b,【例1】(1)动点P到定点F1(1,0)的距离比它到定点F2(3,0)的距离小2，则点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C一条射线 D两条射线,(2)已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(
5、)解析(1)由条件，知|PF2|PF1|2，且|F1F2|312，故点P的轨迹为一条射线，选C,(2)如右图，动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都相外切，动圆M与两圆都相内切；动圆M与圆C1外切、与圆C2内切动圆M与圆C1内切、与圆C2外切. 在情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x0；在的情况下，设动圆M的半径为r，则,|MC1|r，|MC2|r故得|MC1|MC2|在的情况下，同理得|MC2|MC1|由得|MC1|MC2|根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线，且ac4，b2c2a214，其方程为由可知，选择D.,答案(1)C(2
6、)D总结评述(1)中要注意轨迹不满足双曲线定义中的必要条件；(2)中要注意在“分类思想”指导下利用双曲线的定义,给出问题：F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，则|PF1|PF2|8，即|9|PF2|8，得|PF2|1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上_.,答案：该学生回答不正确，应为|PF2|17解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|PF1|2a，|PF2|17.,(2008长沙一中月考七)已知双曲线在左支上一点M到右焦点F1的
7、距离为18，N是线段MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|等于()A4B2C1 D. 答案：A,解析：数形结合，ON綊|MF1|MF2|2a10，|MF2|8，|ON|4，故选A.,【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与双曲线有共同的渐近线，且过点(3,)；(2)与双曲线有公共焦点，且过点(，),分析设双曲线方程为，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程解答法一：(1)设双曲线的方程为(a0，b0)，由题意得 解得 双曲线的方程为,(2)设双曲线方程为 由题意易求c又双曲线过点又a2b2a212，b28. 故所求双曲线的方程为,法二：
8、(1)设所求双曲线方程为将点(3, 代入得，双曲线方程为(2)设双曲线方程为将点代入得k4，双曲线方程为,方法技巧求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程axby0，可设双曲线方程为a2x2b2y2(0),温馨提示在法二中设共焦点的双曲线方程时容易出现因弄错与椭圆、双曲线共焦点的椭圆、双曲线方程设法而出错正确的设法是：与椭圆(ab0)有共同焦点的双曲线方程可设为 (b2ka2)与双曲线,若双曲线的渐近线方程为2x3y0.请根据下列条件，求双曲线方程(1)若双曲线经过点(2)若双曲线的焦距是解析：法一：由双
9、曲线的渐近线方程为y可设双曲线方程为,(2)若0，则a29，b24，c2a2b213.由题设2c1，所求双曲线方程为若0，则a24，b29，c2a2b213.由2c1，所求双曲线方程为故所求双曲线方程为,法二：(1)由双曲线渐近线的方程可设双曲线方程为 双曲线过点P(2)，m0，n0.又渐近线斜率故所求双曲线方程为,【例3】(2007湖北，7)双曲线C1：(a0，b0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则命题意图考查双曲线与抛物线的定义、几何性质及综合运用知识的能力,解析如图，设|MF2|d，双曲线的离心率为e，M在抛物线
10、上，M到双曲线的左准线的距离|MN|d.M在双曲线上，|MF2|e(d)ed2a，ded2a，得d|MF2|又由|MF1|2a|MF2|,答案A,(2009宁夏银川一模)已知双曲线(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为() 答案：C,(2009湖南，12)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_ 解析：如图，cb，B1F1B260,【例4】(2008上海，20)已知双曲线C：(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)已知点M的坐标为(0,1)设P是双
11、曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点记 求的取值范围；(3)已知点D、E、M的坐标分别为(2，1)、(2，1)、(0,1)，P为双曲线C上在第一象限内的点记l为经过原点与点P的直线，s为DEM截直线l所得线段的长试将s表示为直线l的斜率k的函数,解析(1)所求渐近线方程为(2)设P的坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(x0，y0)的取值范围是(，1,(3)若P为双曲线C上第一象限内的点，则直线l的斜率k由计算可得，当ks表示为直线l的斜率k的函数是,已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为( 0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且 (其中O为原点)，求k的取值范围,1区分双曲线中的a，b，c线关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.2双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1),4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点,请同学们认真完成课后强化作业,
