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1、2.2 随机变量的数学期望,分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?,1,两种分法,1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4,2,2.2.1 数学期望的概念,1654年帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下去，则甲最终所得X为一个随机变量，其可能的取值为0或100，分布列为,X 0 100,P 1/4 3/4,甲的“期望” 所得是：0
2、1/4 +100 3/4 = 75.,3,上式中 为各种可能的身高，而,4,5,2.2.2 数学期望的定义,6,7,E(X)=,8,例2.2.1,解,E(X) =,10.2+00.1+10.4+20.3 = 0.8.,X 1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.4 0.3,9,10,11,12,13,数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.,注 意 点,14,2.2.3 数学期望的性质,定理2.2.1 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X) 存在，则,15,例2.2.5 设随机变量 X 的概率分布为,求 E(X2+2).,X 0 1 2,P 1/2 1
3、/4 1/4,16,17,例2.2.7,某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这种原料的市场需求量X(单位:吨)服从(300,500)上的均匀分布.每售出1吨该原料,公司可获利1.5(千元);若积压1吨,则公司损失0.5(千元).问公司该组织多少货源,可使平均收益最大?,18,19,数学期望的性质,(1) E(c) = c,(2) E(aX) = aE(X),(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X),20,练习1,设 X ,求下列 X 的函数的数学期望.,(1) 2X1, (2) (X 2)2,解: (1) E(2X 1) = 1/3,(2) E(X 2)2 =
4、11/6.,21,2.3 随机变量的方差与标准差,引例： 两个牌号手表的日走时误差情况如下表。问哪一种牌号的手表走时更为准确？,22,问题：能否用一个数值来刻画随机变量X与其数学期望的偏离程度呢？,23,2.3.1 方差与标准差的定义,定义2.3.1 若 E(XE(X)2 存在，则称 E(XE(X)2 为 X 的方差，记为,Var(X)=D(X)= E(XE(X)2,24,25,(2) 称,注 意 点,X = (X)=,(1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 方差越大, 则随机变量的取值越分散.,为X 的标准差.,标准差的量纲与随机变量的量纲相同.,26,2.3.2 方差的性质,(1
5、) Var(c)=0. 性质 2.3.2,(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3,(3) Var(X)=E(X2)E(X)2. 性质 2.3.1,27,例2.3.1 设 X , 求 E(X), Var(X).,解: (1) E(X)=,= 1,(2) E(X2) =,= 7/6,所以,Var(X) = E(X2)E(X)2,= 7/6 1 = 1/6,28,课堂练习,29,随机变量的标准化,设 Var(X)0, 令,则有 E(Y)=0, Var(Y)=1.,称 Y 为 X 的标准化.,30,2.3.3 切比雪夫不等式,设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则 对任意正数，有下面不等式成立,31,切比雪夫不等式也可以写成,32,在概率论中,注 意 点,称为大偏差.,称为大偏差发生的概率。,其概率,33,例2.3.2设 X,证明,证明:,E(X) =,= n+1,E(X2) =,= (n+1)(n+2),所以,Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1,(这里, = n+1),由此得,34,定理 2.3.2,Var(X)=0,P(X=a)=1,35,
