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1、第四章 频域图像增强,2,4.1 背景,法国数学家Jean Baptiste Joseph Fourier在1807年和1822年提出傅立叶变换60年代出现快速傅立叶变换傅立叶变换域也称为频域,3,4.2 傅立叶变换傅立叶积分, 调谐信号：,其中j2=-1,4,傅立叶变换的定义(一维),f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：,其反变换为：,F(u)=R(u)+jI(u),幅度谱：相位谱：,能量谱（谱密度）,5,变换分析的直观说明,把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。,6,一维傅立叶变换举例,方波信号：,经过傅立叶变换后：,7,一维离散傅立叶变换(DFT),一维离散傅立叶变换公式
2、为：,逆变换为：,8,二维傅立叶变换,二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：,逆变换：,幅度谱：相位谱：,F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v),9,二维傅立叶变换举例,对于二维方波信号,傅立叶变换为：,幅度：,10,二维离散傅立叶变换,对于二维傅立叶变换，其离散形式为：,逆变换为：,幅谱(频谱)、相谱：,11,12,13,二维离散傅立叶变换的性质,1. 线性性质：,2. 比例性质：,3. 可分离性：,14,15,4. 空间位移：,5. 频率位移：,图像中心化：,当u0=v0=N/2时，,16,6. 周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN,y+bN)
3、,7. 共轭对称性：,8. 旋转不变性：,9. 平均值：,如果f(x,y)为实数,说明图像的谱是对称的,17,10. 卷积定理：f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v),11. 相关定理：互相关：f(x,y)Og(x,y) F *(u,v)G (u,v)f *(x,y)g (x,y) F(u,v) OG(u,v)自相关：f(x,y)Of(x,y) |F(u,v)|2 |f(x,y)|2 F(u,v) OF(u,v),20,12. 帕塞瓦定理（能量定理）：,若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：,信号在空域的总能量等
4、于其频域的总能量。,21,频率位移性质,当图像在频率域移动时需要用到频率位移性质：,图像中心化,把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上,22,周期性和共轭对称性,周期性不难证明。共轭对称性：,f *(x,y)的傅立叶变换：,23,周期性和共轭对称性的应用,1. 图形的频谱分析和显示,2. 图像中心化,24,25,26,平均值,平均值定义：,由傅立叶变换定义：,因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：,27,卷积, 卷积积分：如果函数 y(t) 满足下列关系式,则称函数 y(t) 为函数 x(t) 和 h(t) 的卷积, 卷积积分的图解表示：,1,1,28
5、, 卷积积分的图解表示（续）：,位移,h(t1- ),2,y(t),1,t,积分,29, 卷积积分的步骤：,1 折迭：把 h() 相对纵轴作出其镜像,2 位移：把 h(-) 移动一个 t 值,3 相乘：将位移后的函数 h(t-) 乘以 x(),4 积分： h(t-) 和 x() 乘积曲线下的面积即为 t 时刻的卷积值,30, 包含脉冲函数的卷积：即 x(t) 或 h(t) 中有一个为脉冲函数，则它们的卷积是一种最简单的卷积,-T0,T0,h(t)*x(t),t,A,A,31, 卷积定理：如果 x(t) 和 h(t) 的富里叶变换分别为 X(f) 和 H(f) ,则x(t) * h(t) 的富里
6、叶变换为 X(f)H(f)。即, 卷积定理的简单推导：,=,=,=,=,令 =t-,32,35,38,频域滤波,在傅立叶变换域，变换系数反映了图像的某些特征。频谱的低频分量对应于图像的平滑区域，而外界叠加噪声、边缘对应于频谱中频率较高的部分等。,39,基本步骤,图像乘以,计算,图像 乘以滤波器函数,计算,的反变换,得到实数部分,将结果乘以,滤波后图像,40,41,基本滤波器及其性质,构造一个低通滤波器，使低频分量顺利通过而有效地阻止高频分量，即可滤除频域中高频部分的噪声，再经逆变换就可以得到平滑图像。高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺利通过，而使低频分量受到削弱。陷波滤波器：使图像的
7、均值为0。,43,44,45,4.3 频域平滑滤波器,频域基本的滤波模型为H(u,v) : A Filter transfer function.F(u,v) : Fourier transform of the imageG(u,v) : Objective image,46,4.3.1 理想低通滤波器,D(u,v) is the distance from point (u,v) to the origin of the frequency rectangle. Image size is M*N.,二维理想低通滤波器的传递函数,47,48,在每个点 (u,v)处的能量,49,51,ILP
8、F的模糊和振铃现象可以用卷积定理来解释。,in spatial domain,in frequency domain,52,53,4.3.2 Butterworth低通滤波器,阶数为n、截止频率为D0 的Butterworth 低通滤波器(BLPF)被定义为,54,55,57,4.3.3 Gaussian低通滤波器,二维高斯低通滤波器(GLPFs)的传递函数为 令 , 则,58,60,61,62,4.3.4 低通滤波器的附加例子,64,高分辨率辐射计图像,65,4.4 频域锐化滤波器,图像的锐化可以通过高通滤波过程实现，减弱傅立叶变换的低频成份，而不改变高频信息。是低通滤波的相反过程。,68,
9、4.4.1 理想高通滤波器,2-D ideal highpass filter (IHPF) is defined as,69,4.4.2 Butterworth高通滤波器,70,4.4.3 Gaussian高通滤波器,71,4.4.4 频域的Laplacian变换,73,4.4.4 The Laplacian in the Frequency Domain,We form an enhanced image g(x,y) by subtracting the Laplacian from the original image,4.4.5 非锐化掩模、高频增强、高频强调滤波,Unsharp maskingHigh-Boost FilteringHigh-Frequency Emphasis Filtering,77,4.5 同态滤波器,用滤波器,处理,变换到空域,令,80,
