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1、第一章：一些典型方程和定解条件的建立,肖龙胜,1.1 数学物理方程的建立,数学物理方程的建立定解条件的建立定解问题,本章提要：,对实际问题（物理及一般问题），分析考察量的变化规律，建立相应的微分方程写出考察量所满足的相 关条件根据微分方程和相关条件，求出考察量的解讨论解的适用条件,精确描述线性增长阶段,例子:人口增长问题,(Malthus模型),什么是数学物理方法？,用数学物理方法处理实际问题:第一步它是最重要的一步也是最困难的一步：数学物理方程的建立,数学物理方法的核心：,1.1 数学物理方程的建立,统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法
2、具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。,建立数理方程的方法,基本方程（泛定方程）的建立,物理模型（现象、过程）,数学形式表述（建立偏微分方程并求解）,目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。,微元法步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2）在系统内部，任取一微元，
3、利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化简整理，得到偏微分方程。,不含初始条件不含边界条件,物理状态描述:设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。,平衡位置,弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。,一. 均匀弦的横振动方程的建立,横向指全部运动出现在一个平面上，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动,微小指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，以致它们的高于一次方的项都可以忽略,平衡位置:弦被绷紧，内部有张力(设为 T )，长度为 L ，水平安置(位于 x 轴),x,0,0,x,初始
4、状态:（例如）弦被拉成下列形状：,L,L,任意 t 时刻弦的形状 :,0,x,u,现在的问题：任意时刻 t 弦上任意点 x 离开其平衡位置的位移 u (x, t) ？,x,u,L,平衡位置,任意截取一小段，并抽象性夸大。,一. 均匀弦的横振动方程的建立,微元法：弦振动方程,X,1、建立坐标系，选定微元2、微元s的动力学方程（牛顿第二运动定律）,u,o,s,M1,N1,M2,N2,x,x+dx,T1,T2,X,1、建立坐标系，选定微元,u,o,2、微元s的动力学方程（牛顿第二运动定律）,(1),(2),水平方向：,竖直方向：,(忽略重力),弦s的质量:,0,x,x,u,水平方向：,竖直方向：,3
5、、忽略与近似,对于微振动:,T1T2，说明张力不随地点而变，它在整根弦中取同一数值。,tangential,导数,关于函数的某种形式的极限 （实质）,函数在某点上的变化率 （数学结构）,某点上切线的斜率 （几何意义）,(弦振动方程),或者， 是 的变化量，可以用微分近似代替，即,(一维波动方程),0,x,x,u,水平方向：没有变化,竖直方向：,强迫振动方程：,若弦还受到时空依赖的外力的作用(设弦单位长度受力为F(x,t)，其方向竖直于x轴):,强迫振动方程,注:,齐次方程:只含有对u的各种运算,非齐次方程：含有对 u 运算之外的项 f (x,t), 被称为驱动项, 或非零自由项,弦振动方程的解
6、 u (x, t) 表示位于 x 处的“弦点”在任意 t 时刻离开其平衡位置的位移。其实，弦振动方程就是波动方程，因为波是振动的传播。因此解 u(x, t) 也表示空间任意点 x 的波形。,t,u,空间任意点 x 的波形,弦振动方程 = 波动方程,自然界许多弹性振动，例如机械振动、建筑物的剪振动、潮汐波、地震声波、声波以及电磁波等都可以用波动方程来描述。,波动方程的应用:,L,二. 传输线方程(电报方程)的建立,对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效
7、应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体，每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。,物理状态描述:,设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻 R、电感 L、电容 C 和电导 G 是按单位长度计算其对应的物理量，并且在 x+dx 范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为 dx。,电容元件：,电感元件：,换路定理:,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。,电路准备知识,什么是传输线？传输线的始端接信号源，终端接负载。其间的电压、电流信号都是时空依赖的。整个传输线可以看成由许多微元x级
8、联而成。从中取一个微元x：它的等效电路由下列 4 种原件构成：,信号源,电阻: R电感: L电容: C电导: G,微元 的等效线路：,负载,微元足够小，每个原件的尺度均为,单位长度的值,微元法：传输线方程,在长度为x的传输线中，电压降：在结点：流入的电流等于流出的电流：,电流-电压耦合方程：,传输线方程：,(1)对x微分：(2)两端乘以C：(4)两端对t 微分：(3)-(5)：,（2）,（3）（4）,（1）,（5）（6）,将(2)中 的代入(6)：,电流方程,(2)对x微分：(1)两端乘以L：(4)两端对t 微分：(3)-(5)：,（2）,（3）（4）,（1）,（5）（6）,将(1)中 的代入
9、(6)：,电压方程,电流与电压有完全相同的变化规律,在高频传输情况下，电阻（电导）所产生的效应可以忽略不计，这样高频传输线的方程约化为波动方程：结论：同一个方程可以描述不同的物理现象,L/C:分布参数,热传导: 当物体内部各点的温度不一样时，热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方流动，这样温度是空间和时间的函数。热传导方程就是温度所满足的偏微分方程，它的解给出任意时刻物体内的温度分布。,微元法: 热传导方程,热传导的傅里叶定律:在场中之任一点处，沿任一方向的热流强度（即在该点处单位时间内流过与该方向垂直的单位面积的热量）与该方向上的温度变化率成正比,x,高温,低温,热流,热流沿 x 方向传递
10、,任意x 处的温度为u,温度梯度为 ，q 表示在单位时间内流经单位面积的热量（热流强度），k 是热传导系数，负号表示热流方向与温度梯度方向（温度增大的方向）相反。,单位面积,q,0,0,u,热传导的傅里叶定律:,温度梯度：低温高温,热流动：高温低温,如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着整个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。如果这物理量是数量，称这个场为数量场（标量场）；若是矢量，称为矢量场。例如温度场、密度场、电位场等为数量场，力场、速度场等为矢量场。场是一种特殊物质，看不见摸不着，但确实存在。场把物理状态作为空间和时间的函数来描述。若物理状态与时间无关，称为
11、静态场（稳定场）；反之，为动态场或时变场（不稳定场）。,关于场：,分布在数量场中各点处的数量u是场中之点M的函数u=u(M）（在直角坐标系中写成 u=u(x,y,z)）。一个数量场可以用一个数性函数来表示，假定该函数单值、连续且有一阶连续偏导数。由场中使函数u取相同数值的点所组成的曲面，称为等值面。如等温面、等位面。 u(x,y,z)=c，（c为常数）在函数u=u(x,y)所表示的平面数量场中具有相同数值的点，组成此数量场的等值线。如等高线、等温线、等压线等。 u(x,y)=c,若在数量场u(M)中的一点M处，存在这样一个矢量G，其方向为函数u(M)在点M处变化率最大的方向，其模也正好是这个最
12、大变化率的数值。则称矢量G为函数u(M)在点M处的梯度，记作G=grad u。梯度的定义与坐标系无关，由数量场u(M)的分布所决定。,梯度的方向就是函数在点增长最快的方向。数量场u(M)中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(M)增大的方向。例如：电场中的电场强度等于电位的负梯度。,在直角坐标系中表示为：,关于梯度：,梯度运算的基本公式：,c是常数,均匀细杆的长度为L，横截面积为S，杆的两个端点处于x=0和x=L。假定杆在初始t=0时刻的温度分布为(x)，在随后的时间（t0），热量在杆中流动。求在任意t时刻、杆中任意位置x（0 xL）的温度u(x,t)。,均匀细杆：热传导方程,
13、微元长度 , 横截积面 , 体密度 :,0 x x,Q1 Q2,在t 时间内从 x截面流入的热量,在 时间内从截面 流出的热量,比热定义,体积元 吸收的净热量表现为温度的升高,均匀细杆的热传导方程,比热容(specific heat capacity) 简称比热(specific heat)，是单位质量物质的热容量，即是单位质量物体改变单位温度时的吸收或释放的内能。比热容是表示物质热性质的物理量。通常用符号c表示。,在英文中，比热容被称为：Specific Heat Capacity(SHC）。 用比热容计算热能的公式为：Energy=MassSpecific Heat CapacityTem
14、perature change 可简写为：Energy=SHCMassTemp Ch，即Q=cmT,其中 , 而,热传导方程:,能量守恒要求:,三维热传导方程:有源热传导方程:,统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。,建
15、立数理方程的方法：,电磁波的经典理论是麦克斯韦方程，它可以用来描述所有波段的电磁现象：射线，x 射线，紫外，可见，红外，太赫兹(THz)，微波，毫米波,麦克斯韦方程：,规律法的例子：,电子学和光子学的交叉区域,基本电磁场量 场的物质方程 Maxwell方程,电场强度磁场强度电感应强度磁感应强度,介质的介电常数磁导率电导率,传导电流的面密度电荷的体密度,Vector difference operator,三. 电磁场方程的建立,简单曲面的一般特征是一块没有重点的连续曲面。为了区分双侧曲面的两侧，常规定其中的一侧作为曲面的正侧，另一侧作为负侧。例如对于封闭曲面，按习惯总是取其外侧为正侧。这种规定
16、了正侧的曲面，叫做有向曲面，规定其法矢n恒指向我们研究问题时所取的一侧。设有矢量场A(M)，沿其中有向曲面S某一侧的曲面积分 称为矢量场A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。,矢量场的通量和散度：,矢量运算基础：,设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个邻域内作包含M点在内的任一封闭曲面S，设其所包围的空间区域为，以V表其体积，以表从其内穿出S的通量。若当以任意方式缩向M点时，比式,之极限存在，称此极限为矢量场A(M)在点M处的散度，记作divA。,在一般矢量场A(M) 中，对于穿出封闭曲面S的通量，当其不为零时，根据其正或负而说S内有产生通量的正源或负源。,为了了解源在S内的分布情况以及源的
17、强弱程度等问题，引入矢量场的散度。,电学中Gauss定理：穿出任一封闭曲面S的电通量，等于其内各点电荷的代数和。由此可知，电位移矢量D的散度等于电荷分布的体密度。,散度divA为一数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。当divA的值不为零时，其符号为正或负，顺次表示该点处有散发通量的正源或有吸收通量的负源；当divA的值为零时，表示在该点处无源.,散度运算的基本公式：,c是常数,奥氏公式：,穿出封闭曲面S的通量，等于S所围的区域上的散度在上的三重积分。,u是数性函数,矢量场的环量和旋度：,设有矢量场A(M)，则沿场中某一封闭
18、的有向曲线l的曲线积分称为矢量场按积分所取方向沿曲线l的环量。,环量面密度,M为矢量场A(M)中一点，在M点处取定一个方向n，再过M点任作一微小曲面S，以n为其在M点处的法矢，对此曲面，同时又以S表示其面积，其周界l之正向取作与n构成右手螺旋关系，则矢量场沿l之正向的环量与面积S之比，当曲面S在保持M点于其上的条件下，沿着自身缩向M点时，比式,之极限存在，称此极限为矢量场A(M)在点M处沿方向n的环量面密度（环量对面积的变化率），记作n。,若在矢量场A中的一点M处存在这样一个矢量R，矢量场A在点M处沿其方向的环量面密度为最大，其模也正好是这个最大的数值。则称矢量R为矢量场A在点M处的旋度，记作
19、R=rot A。,旋度矢量在数值和方向上表出了最大的环量面密度,斯托克斯公式：,旋度之于环量面密度，犹如梯度之于方向导数,旋度运算的基本公式：,c是常数,u是数性函数,函数u(x,y,z)和矢量E(x,y,z)有连续的一阶偏导数,称为哈米尔顿算子或（读作代尔）算子,哈米尔顿（W. R. Hamilton）引进了一个矢量微分算符（子）：,算子本身无意义，是一种运算符号，具有矢量和微分的双重性质,运算规则：,矢量运算公式：,数性微分算子：,梯度：散度：旋度：,矢量运算公式：,拉普拉斯算符(子)：,作用于函数u给出,作用于函数E给出,矢量运算基础,再将 代入上式，得,这是一个关于磁场强度的二阶微分方
20、程,为进一步化简，利用 Hamilton 算子的运算性质,磁场强度、磁感应强度的散度为零。,如法炮制，可得关于电场强度的方程,如果介质不导电（=0），上述方程简化为：,三维波动方程,将 代入上式，得,麦克斯韦方程:,物质方程:,(矢量运算公式),(电磁场方程),规律法: 电磁场方程,目标: 建立关于电位 u 的方程 由电感应强度 与电场强度 的定义知：,（电荷体密度）,而电场强度与电位之间的关系，由下式确定,由此可得：,依据Hamilton 算子的运算性质：,这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程,若静电场是无源的，即 ，上式又可写成,这个齐次方程称为拉普拉斯（Laplace）方程,上式
21、可写成,E,泊松方程:,拉普拉斯方程:,(非齐次:有源场),(齐次:无源场),电场强度与电位的关系定义为:,电位方程,u,以上建立的数学物理方程都是线性的（函数及各阶导数都是一次的），现在建立一个非线性数学物理方程。,一个区域有 500 只老鼠，其中 5只患上了传染病。它们可以通过接触传染给别的老鼠。问任意时刻患上传染病的老鼠有多少？,统计法：传染病问题,在任意 t 时刻：病鼠数目： 健康鼠数目： 病鼠数目的变化率正比于乘积 uv：,(比例系数 ),非线性项刻画老鼠的接触性传染,传染病: 数理方程的建立,方程:初始条件:结果:,传染病: 方程、初始条件、结果,拐点：,饱和值：,初始值：,T,N
22、,S曲线,讨论：,能够相当好地描述人口增长，在人口学中被称为“Logistic”模型。,马尔萨斯模型：,S曲线的广泛应用：,引入非线性相互作用项-u2的一个等价表述：生物个体数u的相对增长率不应该是简单的常数，而一个是随 u 增大而逐步减小的函数：,在种群发展初期，个体数量 u(t) 远小于饱和值M，这时比值 u / M 很小，相对增长率(1-u/M) , Logistic模型化为马尔萨斯模型。随着u(t) 的增大，相对增长率下降，种群扩展的速率逐步趋缓。,Logistic 模型：,用增长率函数 代替常数 ，便给出,非线性模型：,能够相当好地描述人口增长，在人口学中被称为“Logistic”模型。在生物学中被称为“Population model”，能够很好地描述有机体数目的增长，例如群体动物（鱼类），原生动物（水蚤类），及微生物（细菌类）等。在社会经济领域也有广泛的应用，例如耐用消费品的销售量服从S曲线。 ,S曲线的广泛应用,
