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1、离散型随机变量的期望与方差习题课,要点梳理1.若离散型随机变量X的分布列为,(1)均值 称E(X)=_ 为随机变量X的均值或_.它反映了离散型随机变量取值的_.,x1p1+x2p2+xi pi+xn pn,数学期望,平均水平,平均偏离程度,2.离散型随机变量的均值与方差,其中_为随机变量X的标准差.,注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,3.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=_. (2)D(aX+b)=_.(a,b为常数)4.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)
2、=_. (2)若XB(n,p),则E(X)=_,D(X)=_.,aE(X)+b,a2D(X),p(1-p),np(1-p),np,【例1】设随机变量具有分布P(=k)= k=1,2,3,4,5,求E2,D(2-1),题型一、 均值与方差性质的应用,解 利用性质E(a+b)=aE()+b, D(a+b)=a2D().,D(2-1)=4D()=8,1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望和方差;(3) 求“所选3人中女生人数X1”的概率.,超几何分布,题型二、 求离散型随机变量的期望、方差,练1.有一批产品,其中
3、有12件正品和4件次品,从中任取 3件,若表示取到次品的个数,则E()=_. 解析 的取值为0,1,2,3,则,练2.(2009上海理，7)某学校要从5名男生和2名女生 中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E()=_(结果用最简分数表示). 解析 的可能取值为0,1,2,2.某运动员投篮的命中率为p=0.6. (1)求一次投篮时命中次数的均值;方差; (2)求重复5次投篮时,命中次数的均值与方差.,(1)投篮一次，命中次数的分布列为：,则E=00.4+10.6=0.6,D=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.(2)重复5
4、次投篮，命中次数服从二项分布，即B(5,0.6)，故E=50.6=3.D=50.60.4=1.2.,求离散型随机变量的均值和方差，首先应明确随机变量的分布列.,3. (2009湖南理,17)为拉动经济增长,某市决 定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分 别占总数的 有3名工人独立地从中任选一 个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望.,二项分布,解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai
5、、Bi、Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai ,Bj ,Ck(i、j、k=1,2,3且i ,j、k 互不相同)相互独立,且,(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3),(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知,4.某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有5个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为 ，且每个问题的解答互不影响(1)求该同学答对问题的个数的期望与方差；(2)设答对一个题目得10分，否则扣一分，求该同学得分的期望与方差,5.袋中有
6、相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的 球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量为此时已 摸球的次数, (1)随机变量的概率分布列； (2)随机变量的数学期望与方差.,解 (1)随机变量可取的值为2,3,4,所以随机变量的概率分布列为：,(2)随机变量的数学期望随机变量的方差,6.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次 统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够 学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每 个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通 过测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当,每次 测试通过与否互相独立. (1)求该
7、学生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参 加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望.,解 (1)记“该学生考上大学”为事件A，其对立事 件为 (2)参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5.,故X的分布列为：答 该生考上大学的概率为 所求数学期望是,1.甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：,用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。,解：,表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在810环。,题型三 均值与方差的实际应用,问题1
8、：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？,问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,解：,因为EX1=EX2，DX1 DX2，所以两个单位工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散。这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大些，就选择乙单位。,从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考察甲较稳定从至少完成2题的概率考察，甲通过的
9、可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强,(2)设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为：,基础自测1.已知 的分布列 则在下列式子中： 正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解析 答案 C,2.若随机变量X的分布列如表,则E(X)等于 ( ) A. B. C. D. 解析 由分布列的性质, 可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1, E(X)=02x+13x+27x+32x+43x+5x =40 x=,C,3.设随机变量 则 ( ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 解析,A,4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放 回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)= _. 解析,
