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1、摘要:改革开放以来，随着人民生活水平的不断提高，食品的卫生和安全问题也越来越受到人们的关注。本文通过建立数学模型来研究如何进行食品安全的抽检等问题。对于问题一，我们在查阅相关资料的基础上，将食品分为初级植物产品、初级动物产品、植物类加工食品、动物类加工食品、多种成分的加工食品、其他类食品；将影响食品安全的因素分为食品固有因素、农药和化肥、激素、食品添加剂、生物因素、物理因素、生产技术水平等七大类。在此基础上，我们运用层次分析法对影响食品安全的因素及其危害性的大小做了定量分析。从结果来看，生物因素、农药和化肥、食品添加剂对食品的危害程度排在七大因素的前三位。在问题一的基础上，我们建立了多层次划分
2、法抽样模型来抽取样本，然后在已经求得的权重的基础上，进一步建立了基于权重的检测模型来解答问题二。该模型的优点是在确定抽检方案时，可以依据权重的大小分配检测的批数，具体的抽检方案见正文。最后，我们针对上述两个模型建立了(N，1，0)误差分析模型，给出了详细的误差分析方法。在求解问题三时，我们首先引入了“当前因素缺乏率”这一概念来描述各待检测因素对面粉质量的影响，并沿用了问题二的两个抽检模型来对“营养强化面粉”进行检测，制定了相应的抽检方案，如下所示（N表示总检测批数）：因素 过氧化苯甲酞钙维生素A维生素B2铁批数0.187N0.057N0.041N0.067N0.180N因素 维生素B1锌维生素
3、B11维生素B5水分批数0.024N0.165N0.208N0.047N0.026N问题四要求对问题三中的面粉进行跟踪检测，我们在对面粉的第一次检测的基础上，引入了各品牌面粉的“风险度系数”来修正三中的模型，进而建立了基于高优指标的最优化模型，解决了既考虑抽样成本又保证检测可靠性的抽检批次的分配问题。对于问题五我们主要从食品自身的安全性和政府部门的监管两个角度进行了回答，深入分析了食品安全存在的隐患和根源，并提出了有效可行的解决问题办法和建议，可供主管部门和市民参考。关键词：食品安全抽检 层次分析法 多层次划分法抽样模型 基于权重的检测模型 基于高优指标的最优化模型1、 问题的重述随着人民生活
4、水平的不断提高，以及近年来接连发生的一些食品安全事故，食品安全和卫生的检测已成为全社会，乃至政府有关部门重点关注的问题之一。食品的质量和卫生问题涉及多个环节，例如:原材料的使用、生产加工、运输与贮存、流通与销售等环节。在任何一个环节上出现差错，都将导致食品出现安全和卫生问题，因此食品质量和卫生的检测工作在实际中显得非常重要。但是，由于食品的种类、品牌和批次繁多，从生产加工到销售食用中间环节复杂，质检部门不可能对所有食品做到全面的质量检测，一般只能做一定的抽检。当然，对食品进行抽检也需要一定人力、物力和财力（即成本费用），抽检的越多检测效果就越好，但需要的时间就越长，其成本费用也就越高。因此，应
5、该如何抽检，才能在保证较好的检测效果的前提下，尽可能地节省时间和成本费用？根据实际情况，建立数学模型分析研究下列问题：（1）根据主要食品的分类，分析影响各类食品安全的因素，并对其可能的危害性做出定量的比较评估分析。（2）针对部分主要食品，结合实际建立合理的抽检模型，给出检测误差分析的方法，即指出如何分析检测的可靠性，并对模型进行模拟检验。（3）面粉是我国中北部地区主要的主食原材料，不妨就已推广食用的“营养强化面粉”抽检问题进行讨论，“营养强化面粉”的配方标准如表1（参见附录）所示。假设某地区现有12个品牌的营养强化面粉产品，每个品牌每月将有不少于60个批次（即同一企业、同一条生产线、同一批投料
6、、同一班次生产的产品为1个批次）的产品在市场上销售，质检部门要做一次全面的质量检查，请你帮助制订一种合理的抽检方案，并分析其检测的可靠性。所需要检验项目、标准、成本和工时如表2（参见附录）所示。（4）针对问题（3），如果质检部门需要连续进行多次跟踪抽检，请给出相应的抽检策略和最佳的抽检数量，使其检测可靠性尽量高、成本尽量低、工时尽量少，并用计算机进行模拟检验。（5）请根据上述研究，深入分析食品安全存在的隐患和根源，并提出有效可行的解决问题办法和建议，供主管部门和市民参考。2、 问题的分析我们经过讨论和分析后，认为本题在整体上属于运筹优化类问题，在求解的过程中将会使用统计学和概率论的相关知识。对
7、于第一问，我们参考国际上通用的对食品的划分方法，并结合我国居民的饮食结构和特点，将食品划分为以下六大类：初级植物产品、初级动物产品、植物类加工食品、动物类加工食品、多种成分的加工食品、其他类食品。接下来，我们又参考食品科学中的相关理论，将影响各类食品安全的因素具体划分为以下七种：食品本身固有因素、农药和化肥、激素、食品添加剂、生物因素、物理因素、生产技术因素。为了定量分析每一种因素对食品安全的影响程度的大小，我们认为应该使用层次分析法来求得每一种因素对食品安全的权重，从而通过比较权重来确定危害程度的大小。问题二要求针对主要食品建立合理的抽检模型，并给出误差分析方法。我们在第一问的基础上将这一问
8、的模型具体划分为抽样模型、检测模型这两个子模型。为保证所抽取的样本的代表性，可以建立多层次划分法抽样模型来抽取样本，即对将要抽取的对象进行适当的分类，然后按照各类所占的权重按适当的比例抽取，这样就能保证所抽取样本的代表性。在对所抽取的样本进行检测时，按照“重点抽查易出问题的环节，兼顾其他环节”的原则，我们建立了基于权重的检测模型，即依据各个环节以及其内部影响因素的权重来进行检测次数的分配，这样可以保证检测的针对性，进而可以在以较少投入的前提下尽可能多的检测出有问题的食品及其生产企业。对于误差分析，我们以一次性检测为例，应用抽样特性函数中的OC函数进行误差分析。问题三要求以某地面粉的抽检为例来制
9、定适当的抽检方案。由于面粉需要检测的主要有水分、过氧化苯甲酞、维生素A、维生素B1 、维生素B2、维生素B5、维生素B11、铁、锌、钙等因素，我们在分析了附表所给的数据后，决定利用层次分析法和基于权重的检测模型进行解答。在构造判断矩阵时，我们根据题目附件所给的参考数据，引入了“当前因素缺乏率”的概念，通过对当前因素缺乏率的计算来判断该因素对面粉质量的影响程度的大小，进而通过比较不同因素的当前因素缺乏率来建立判断矩阵。对于问题四，由于是在第三问的基础上进行多次跟踪抽检，考虑到第三问已经有了相应的抽检数据，于是我们可以在基于权重的抽检模型的基础上引入风险系数，进而将问题转化为线性规划模型，风险系数
10、可由历史数据求得。最后可以建立基于高优指标的最优化模型，来制定最佳抽检方案。对于问题五，我们认为应该从食品自身和政府监管两个角度来阐述。3、 模型假设1. 假设食品能且仅能分为六大类，其他没有被分类的食品对食品安全性所造成的影响忽略不计。2. 假设影响食品安全性的因素能且仅能分为七大类，其他没有被分类的因素对食品安全性所造成的影响忽略不计。3. 假设调查样本在一定的范围内是均一的。4. 假设所有食品生产厂商的信誉度均相同。5. 假设抽检不受国家相关政策的影响。6. 假设检测不同环节、不同因素的成本和工时相同。4、 符号说明O : 目标层；C : 准则层；P : 方案层；aij : 准则层两个因
11、素Ci和Cj对目标层的影响程度之比；C.I.: 判断矩阵一致性指标;bij : 方案层两个因素Pi和Pj对准则层的影响程度之比；W， W1， W2 Wn : 权重向量；max : 最大特征值；R.I.: 平均随机一致性指标；m ：判断因子m , m=1表示因素对生产环节有影响，m=0表示无影响：当前因素缺乏率wi：第i各因素在食品安全中所占的权重：表示第i环节在食品安全中所占的权重：表示第j各因素在第i各环节所占的权重：风险系数五、模型的建立与求解（一）问题一模型的建立与求解经过分析，对于第一问我们建立“层次分析法”模型进行求解。应用层次分析法分析问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个
12、有层次结构的模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分，这些元素又由隶属性及关系形成若干层次，上一层元素作为准则对下一层次某些元素起支配作用。这些层次课分为三类：最高层为目标层(O)：问题决策的目标或理想结果，只有一个元素。中间层为准则层(C)：包括为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一因素为一准则，当淮则多于9个时可分为若干个子层。最低层为方案层(P)：方案层是为实现目标而供选择的各种措施，即为决策方案。一般说来，各层次之间的各因素，有的相关联，有的不一定相关联；各层次的因素个数也未必一定相同。实际中，主要是根据问题的性质和各相关因素的类别来确定。下面构造判断矩阵。构造判断矩阵主要是
13、通过比较同一层次上的各因素对上一层相关因素的影响作用，而不是把所有因素放在一起比较，即将同一层的各因素进行两两对比。比较时采用相对尺度标准度量，尽可能地避免不同性质的因素之间相互比较的困难。同时，要尽量依据实际问题具体情况，减少由于决策人主观因素对结果造成的影响。设要比较n个因素，对上一层(如目标层)O的影响程度，即要确定它在O中所占的比重。对任意两个因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对O的影响程度之比，按19的比例标度来度量aij(i,j1，2，n)。于是，可得到两两成对比较矩阵A(aij)nn，又称为判断矩阵，显然 aij0 , aij=1/aji , aii=1 (i,j1，2，n)
14、因此，又称判断矩阵为正互反矩阵。比例标度的确定：aij取19的9个等级，而aji取aij的倒数，如下表所示：标度定义与说明1 两个元素对某个属性具有同样重要性3 两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要5两个元素比较，一元素比另一元素明显重要7两个元素比较，一元素比另一元素重要得多9两个元素比较，一元素比另一元素极端重要2,4,6,8表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度1/aij两个元素的反比较由正反矩阵的性质可知，只要确定A的上（或下）三角矩阵的n(n-1)/2个元素即可。在特殊情况下，如果判断矩阵A的元素具有传递性，即满足 aikakj= aij (i,j,k1，2，n)则称A为一致性矩阵
15、，简称为一致阵。下面检验一致性。通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性实际中，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的范围内主要考查以下指标：判断矩阵一致性指标C.I.(Consistency Index) 最大特征根的计算方式如下（和积法）：（1） 将判断矩阵的每一列元素作归一化处理，其元素的一般项为： （2） 将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为： （3） 对向量W=（ W1， W2 Wn)T归一化处理: (i=1,2n) W=（ W1，W2 Wn)T为所求的特征向量的近似解。(4) 计算判断矩阵最大特征根max：
16、以上方法即可求得最大特征根。一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大， C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般判断矩阵的阶数n越大，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越小。对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标R.I.(Random Index),下表给出了1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标 。n12345678RI000.580.901.121.241.321.41n9101112131415RI1.461.491.521.541.561.581.59当n3时，判
17、断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵一致性指标 C.I.与同阶平均随机一致性指标R.I. 之比称为随机一致性比率C.R.(Consistency Ratio)。当C.R.0.10时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致性。当C.R.0.10时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足C.R.c不合格批错误不合格批dc合格批错误不合格批dc不合格批正确为计算误差，我们引入抽检方案的接受概率P, 它指出现事件“”的概率，易知接受概率是P的减函数，称为OC函数，记作： 如果规定当批次的不合格率p不超过p0时，这批食品是合格的，那么当某批次食品的时，应判为合格，判为不合格的概率即I型误差为；当pp0时，应判为不合
18、格，判为合格的概率为。抽检方案（N,1,0）的OC函数为： 其对应取值如下表所示：p(%)0102030405060708090100L(p)1.000.900.800.700.600.500.400.300.200.100.00因而在时合格的整批食品被误判为不合格的概率为;而在p0.05时，不合格的整批食品误判为合格的概率为，的最大值为0.95，可见此方案虽然对食品生产企业有利，但对消费者却极不负责，因为存在很大的可能性将不合格的食品当成合格的食品投放市场。4.模型的模拟检验为了进行模型的模拟检验，我们设置以下情形进行检测模拟。情形模拟：某市现要进行一次食品质量安全检测，要求制定一份合理的抽
19、检方案。已知食品的生产过程可以分为原材料使用、生产加工、运输与存储、流通与销售四个环节，具体表现为食品固有因素、农药与化肥、食品添加剂、生物激素、物理因素、生物因素、生产技术因素，其中一个环节中可能包含上述七种因素中的一个或几个，其影响程度也有区别，要求每个环节至少抽查5次以上，而由于检测成本费用和检测时间投入的限制，要合理的分配抽查，以达到最佳的抽查效果。模拟抽检：（1）确定抽检方案现已N表示需抽检的总次数（待定），由已求得的各因素对各生产环节的权重确定对各生产环节所分配的抽检次数：生产环节原材料使用生产加工运输与存储流通与销售权重0.3384N0.3436N0.1590N0.1590N然后
20、将各环节的次数具体分配到每一个因素上去，参见下表： 环节 因素原材料使用生产加工运输与存储流通与销售食品固有因素0.0446N0.0476N00农药与化肥0.1163N000食品添加剂00.1072N00生物激素0.0603N00.1167N0.1167N物理因素00.0209N00生物因素0.1167N0.1232N00生产技术因素00.0447N0.0423N0.0423N由表中的数据得知检查次数最少的为生产加工阶段的物理因素环节，于是 得到最少检测次数为239次。于是有以下分配：原材料使用生产加工运输与存储流通与销售食品固有因素111100农药与化肥28000食品添加剂02600生物激素
21、1402828物理因素0500生物因素282900生产技术因素0111010总次数81823838（2）样本的抽取由于在同一市区，我们可以忽略地域对生产的影响。首先按照生产规模将本市的食品生产商分为超大规模生产商，大规模生产商，中等规模生产商，小规模生产商。然后根据其数量的多少按照比例随机抽取一定的生产商按照上述的检测方案进行检测。（三）问题三模型的建立与求解对于第三问，由于面粉需检测的因素主要有水分、过氧化苯甲酞、维生素A、维生素B1 、维生素B2、维生素B5、维生素B11、铁、锌、钙等，而且各因素的重要性也不相同，因此为了进行全面、重点、高效的检测，我们需要利用层次分析法计算各因素对面粉质
22、量的权重，这里我们的主要的任务是构造判断矩阵。经过对题目附件所给的相关数据的分析后，我们引入了“当前因素缺乏率”的概念，即某因素的当前人均摄入量和建议摄入量差额的绝对值与建议摄入量的百分比，以表示，则 值越大表示此种因素越需要引起注意。于是我们可以得到各因素的值，如下表所示：实际量建议量差额维生素A (g)152.9750597.1079.1%维生素B1 (mg)1.05049.098.0%维生素B2 (mg)0.81.40.642.8%维生B11(mg)89.812-77.80642%钙(mg)390.6900509.465.6%铁(mg)23.320-3.316%锌(mg)11.415 3
23、.615%然后根据当前因素缺乏率来构造各个因素的判断矩阵，进而根据层次分析法软件YAAHP求解个因素的权重，层次分析决策图和求得的结果如下所示： 以下是求得的权重：影响面粉质量的各因素的权重值备选方案权重过氧化苯甲酞0.1868钙0.0561维生素0.0414维生素0.0666铁0.1798维生素0.0240锌0.1650维生素0.2083维生素0.0466水分0.0256在所求权重的基础上，我们建立了基于权重的检测模型，进而得到了面粉的抽检方案，即假设要进行N次检测，我们需要将这N次检测根据权重分配到每一个因素中去，如下表：抽检面粉的各个因素的次数分配备选方案检测次数过氧化苯甲酞0.1868
24、N钙0.0561N维生素A0.0414N维生素B20.0666N铁0.1798N维生素B10.0240N锌0.1650N维生素B110.2083N维生素B50.0466N水分0.0256N表中的检测次数由相关部门根据检测的规模和投入的成本来确定。当确定了对每一个因素的检测次数后，我们需要确定检测的对象。由于共有12个品牌，每个品牌有不少于60个批次的产品在市场上销售，我们需要对这些批次进行抽检。抽样时我们可以借用第二问建立的多层次划分法抽样模型划分层次抽样。（四）问题四模型的建立与求解对于第四问我们首先建立了基于高优指标的最优化模型，具体的模型如下：1.基于高优指标的最优化模型由于已经有了第一
25、次检测的相应数据，我们在进行跟踪检测前需要对第一次抽检的数据进行整理分析。有了第一次抽检的数据后，跟踪检测可以转化为利用线性规划求最大风险度的问题。我们建立基于高优指标的最优化模型来求解，过程如下所示：为建立模型，我们引入风险系数，其定义为 其中i表示第i个因素，j表示第j个品牌，我们规定品牌为1，2，312，因素按照过氧化苯甲酞、钙、维生素A、维生素B2、铁、维生素B1、锌、维生素B11、维生素B5、水分的次序依次为1，2，310。为第i项因素的权重，在第三问中我们已经求出其值： 由于其值越大，它所对应的因素就越重要，我们称之为高优指标。表示第j个品牌第i个因素在第一次检测时出现问题的次数，它可以由第一次抽检的数据中得到。由以上定义式我们可以计算出各个品牌、各项因素的风险系数。另外，我们需要计算利用基于权重的抽检模型所分配给各项因素的抽检次数，因此假设一共要进行N次批检测，于是我们可以得到分配次数表，如下表所示：抽检面粉的各个因素的次数分配备选方案检测次数过氧化苯甲酞0.1868N钙0.0561N维生素A0.0414N维生素B20.0666N铁0.1798N维生素B1
