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1、高中数学选修（24）空间向量与立体几何测试题一、选择题1 .若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）A.一个圆B.一个点C.半圆D.平行四边形答案：A2在长方体A8CO-A8C。中，下列关于的表达中错误的一个是IiiiAC1AAA1+A1B1+A1D1C.AD+CC.+D答案：BbAB+DD1+D1C1D.(ABi+CD)+AG3若a,b。为任意向量，meR,下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)c=ac+bcC.n(a+b)=ma+mbD.(ab)c=aSe)答案：D4 .若三点A,BC共线，P为空
2、间任意一点，而-4PBXC-,则-的值为()A.1B.-1C.1D.-22答案：B5 .设=,。=(32z),且力，则XZ等于()4,3)64A.-4B.9C.-9D.-9答案：B6已知非零向量e,e不共线，如果=e+e-3e,则四点12AB12,=21+8e2D=312A,BCD（）A.一定共圆B.恰是空间四边形的四个顶点心C.一定共面D.肯定不共面答案：C7如图1,空间四边形43Co的四条边及对角线长都是。，点E,/7G分别是AB,ADCD的中点，则等于（）A.2BAACB.2ADBDC.2FCAD.2EF：CB答案：B8. =+e2+e31lb=ei-e2+c=ei+e2-e3fd=ei
3、2e2+3e3且d=xa+yb+zc,q贝L,yZ的值分别为()A.1,-JB.C.LID.-,LI22222222答案：A9.若向量=(l,2)与b=(2,-12)的夹角的余弦值为8,则=()9A.2B,-2C.-2或，D.2或5555答案：C10.已知ABCD为平行四边形，且A(41,3),B(2-51)C(37-5),则顶点。的坐标为()(7冷.，4-p.(2,4p.(-2,14D.(5,1,3-3)I一答案：D则Go与A0所成角的（）在正方体ABCD-AeGR中，O为AC,B。的交点,A.60B.90C.arccosI3D.arccosI答案：D2给出下列命题:己知。JLb，则(+c)
4、+c(b-a)=bc；A,8MN为空间四点BA,BM若不构成空间的一个基底，那么A,BMN共面；已知a_Lb,则b与任何向量都不构成空间的一个基底；若&b共线，则&b所在直线或者平行或者重合.正确的结论的个数为()A.1B.2C.3D.4答案：C二、填空题13.已知=8b=(12-3)f向量C与Z轴垂直，且满足Ca=9Cb=-4,则C=1,5)答案：产2,一2；0、(亍亍JU已知A,BC三点不共线，。为平面A8C外一点，若由向量UP=LuA+luB+定确定的点尸与A,BC共面，那么.53答案：2155已知线段AB_L面，BCU,CDlBCf面于点尸，N。CF=30,且D,A在平面的同侧，若AB
5、=BC=CD=2,则4。的长为.答案：2126在长方体ABeo-ABC0中，坛C和CQ与底面所成的角分别为60和45,则异面直线5C和G。所成角的余弦值为.答案：.4三、解答题17.设=2i-j+A,a1=i+3j-2ka,=-2i+j-3ka4=3i+2j5k,试问是否存在实使4=4+42+%成立？如果存在，求出，；如果不存在，请写出证明.答案：解：假设处=+。2+成立.Vfl1=(2,1,1,),aa3=(-21-3)4=(325),=(13-2)，(2+2,9T-9+323)=(325).解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=勿I)C所以存在=-2；,=1y=-3使得a=-加+%-3
6、%理由即为解答过程.做口图2,正三棱柱ABC-A向G的底面边长为侧棱长为2a,求AG与侧面A88M所成的角.C1解：建立如图所示的空间直角坐标系，NIS则府，。，0,),。0)Al(Oo碗)C1Iy2aI.4(011由于n=(-l,00)是面ABBH的法向量,TTT_坐41ACjn=故AG与侧面A8为4所成的角为309如图3,直三棱柱A8C-ASG中，底面是等腰直角三角形，NAC8=90。，侧棱1=2,OE分别是CG与Af的中点，点E在平面48。上的射影是A8O的重心G,求点A到平面AEQ的距离.从而GE丁, T- 3 3 3jBD= (0-2ai).照gQ,Q,),8,GQ,O(OOl)At
7、(2a02)E(aa1)G由GELBD=四而=0,得=L则MQ,O,2,),E(Ill)./00)自Al作4”_L面AEZ)于M,并延长交XO)，面于H,设H(x,则T“-2,y-2).又4。=(-2,01),AE=(-1,1).1A1H1AD,Jf-2(x-2)-2=0=JX=b得”(1,10).由】AH_LAE=-(x-2)+y-2=01v=l,又AlM=IAAlCOSAa1=NAleOS而.前=2i_2,0已知正方体ABCO-AsGR的棱长为2,R。分别是反；8上的动点，且PQ=3,确定Q的位置，使QBlPD1.解：建立如图所示的空间直角坐标系，设8P=/,得CQ=J2-(2)2,D=2
8、-2-(2-r)2.那么,0,(022)P(2/0)Q(2-20),2,),D2-(2-1)22从而QBl=(I(20,-22),PD1=(-2,2-2),由QBIP=s产华=qb.PR即-2乜忒2*2(2)+4=0nP=1.故B。分别为4CO的中点时，QBJPD-2如图4,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCO中，ZABC=90o,SAABCD,SA=AB=BC=1AD=L,求面SCO与面SAA所成二面角的正2切值.解：建立如图所示的空间直角坐标不，1X弧曲)Q,Q,),3,GC(-110)DlOOS(OOl).2延长CO交X轴于点尸，易得尸(1,00),作AE_LSF于点E,连结QE,图4则
9、NQEA即为面SC。与面SBA所成二面角的平面角.又由于SA=A尸且SAlAFf得gl，一，O，那么高L&-fd-/1I(22)I522J从而CoS（E4,你ElrJ6=.-,=,EAED3因此tan（丽凡F=*.故面SCO与面S8A所成二面角的正切值史.22平行六面体ABCD-11C1D1的底面ABCD是菱形，且NGCB=ZC1CD=ZBCD,试问：当上的值为多少时，AC，面。8。？请予以证明.CO1解：欲使ACJ_面GBO,只须AC_LG。，且AICJ.C1B.欲证ACICO,只须证一一一=0,*CAC1D即（CA+AAl）（CD-CC1）=O，也就是（而+既+花）石）二Z）=0,u,1C
10、D-(fc,+CCDCoSkBCo-CB7C1coszjc1C=0.显然，当I而I=&m寸，上式成立；同理可得，当I而寸，AclG8.Cn因此，当二=1时，AeJ面C8。.IICC1一.选择题：（10小题共40分）1己知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点0,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA-B-OCC.OM=OA+D.OM=功+；8+!碇233332直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA=a,CB=b,CC=乙则AB=()-*A.a+h-cB.a-h+cC.-a+b+cD.-a+b-c3若向量w直向量源反向量=+伏,R且、工
11、0）则（）A.mnB.mlnC,7不平行于;也不垂直于:D.以上三种情况都可能4以下四个命题中，正确的是（）A.若。户=1et+c芹,则P、A、B三点共线23B.设向量是空间一个基底，则1+讥fe+C,2+才构成空间的另一个基底C. （ah）c=a-bcD. ABC是直角三角形的充要条件是ABAC=O5对空间任意两个向量4,伙人工。）,匕的充要条件是（）A.a=bB.a=-bC.b=cD.c=b6.已知向量。二（0,2,1）,。二（一1,1,一2）,则与8的夹角为（）A.0oB.45C.90D.1807在平行六面体ABCQ A6G中，M为Ae与BD的交点,若A= a、AI Z) b, A A
12、= c 则下列向量中与附T相等的是1- 1TI- C 1一 IZ 1 A+_b+_c B. _a + _h+_c 222222Cl-It-C. _a-_b +c 22D-La-Li+c228.已知-=（+1,0,2）力二（6,2 -1,2）,若/区财与的值分别为（）a.L1B.5, 211 C.,5 2D.-5, -29己知a=3i+2j-k,b=i-j+2Z,则5。与的的数量积等于A.-15B.-5C.-3D.-1D在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为AB和BBl的中点，那么直线AM与CN()D.巫10所成角的余弦值是223A.B._C._555二.填空题：(4小题共
13、16分)IL若A(m+1,n-l,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n=.12 .已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),若IaI=百,且：17b,al就,则向量的坐标为.13 .已知L是空间二向量，若IJ=3,向=2,H=、7,则涌力的夹角为.1已知点G是AABC的重心，O是空间任一点，若M+赤无厕的值为.三.解答题：(10+8+12+14=44分)i如图：ABCD为矩形，PA_L平面ABCD,PA=AD,M、N分别是PC、AB中点，(1)求证：MN_L平面PCD；(2)求NM与平面ABCD所成的角的大小.i一条线段夹在一个直二面角
14、的两个面内，它和两个面所成的角都是30,求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.正四棱锥S-ABCD中，所有棱长都是2,P为SA的中点，如图.求二面角B-SC-D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小.A如图,直三棱柱ABC-ABG,底面AABC中,CA=CB=I,ZBCA=90o,棱AA产2,M、N分别是A1B1,A1A的中点；求诉的长；求CoS的值;求证：AN_LGM.(4)求CBi与平面AlABBl所成的角的余弦值.(3)略(4)亚1010C1M=高中数学选修2-1测试题(10)一空间向量(1)参考答案DDBBDCDAAB11.012.(1,1,1)13.6014.315.略(2)4
15、516.45。117.(1)-318.Wt18.如图，建立空间直角坐标系0xyz.(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)：.BN=(I-O)J+(0-l)2+(l-0)2=、3.(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B.(0,1,2)BA1=-l,-1,2,CB1=0,1,2,BA1CB1=3,=6,CBIl=逐cos=BA1CBl_13I丽Mox11_(3)证明：依题意，得G(0,0,2)、M(f2),1=-1,1,2,11115,5，0).A1BC1M-+0=0,A1BClM,A1BC1M.，22评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.
